【文章內容簡介】 知 :如圖 ,點 P在線段 AB外 ,且 PA= :點 P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結論時 ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ? ∠ APB的平分線 PC交 AB于點 C P作 PC⊥ AB于點 C且 AC=BC AB中點 C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點 C,還是取 AB中點 C,連接 PC或過點 P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結論 ,選項 A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022湖南湘西 ,14,4分 )一個等腰三角形一邊長為 4 cm,另一邊長為 5 cm,那么這個等腰三角 形的周長是 ? ( ) cm cm cm或 14 cm 答案 C 當等腰三角形的腰長為 4 cm時 ,三角形的三邊長分別是 4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形 的三邊關系 ,此時 ,等腰三角形的周長為 13 cm。 當等腰三角形的腰長為 5 cm時 ,三角形的三邊長分別是 5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三邊關 系 ,此時 ,等腰三角形的周長為 14 cm,故選 C. 3.(2022淄博 ,8,4分 )如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,∠ B=60176。,將△ ABC沿對角線 AC折疊 ,點 B的對 應點落在點 E處 ,且點 B,A,E在一條直線上 ,CE交 AD于點 F,則圖中的等邊三角形共有 ? ( ) ? 答案 B ∵ △ ABC沿對角線 AC折疊 ,點 B,A,E在一條直線上 ,∴∠ E=∠ B=60176。,∴ △ BCE是等邊 三角形 。∵ AD∥ BC,∴∠ EAF=∠ B=60176。,∴ △ EAF是等邊三角形 ?！?BE∥ CD, ∴∠ D=∠ EAF=60176。,∠ E=∠ DCF=60176。, ∴ △ CDF是等邊三角形 . 4.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標系中 ,已知 A(2,2)、 B(4,0).若在坐標軸上取點 C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點 C的個數是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,①當 AB=AC時 ,以點 A為圓心 ,AB長為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 (點 B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點 C0與 A、 B兩點共線 ,不符合題意 。②當 AB=BC時 ,以點 B為圓心 ,AB長 為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 ,均符合題意 。③當 AC=BC時 ,作 AB的垂直平分線 ,與坐標軸有 兩個交點 ,均符合題意 .所以滿足條件的點 C有 5個 ,故選 A. ? 5.(2022貴州黔西南 ,18,3分 )已知一個等腰三角形的兩邊長分別為 3和 6,則該等腰三角形的周長 是 . 答案 15 解析 當腰為 3時 ,3+3=6,∴ 6不能組成三角形 。 當腰為 6時 ,3+6=96, ∴ 6能組成三角形 , ∴ 該三角形的周長為 =3+6+6=15. 6.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,17,3分 )有一面積為 5? 的等腰三角形 ,它的一個內角是 30176。,則以它的 腰長為邊的正方形的面積為 . 3答案 20? 或 20 3解析 在等腰△ ABC中 ,設 AB=AC= ∠ A=30176。時 ,如圖 1,作 CD⊥ AB,垂足為 D.∵ sin 30176。= ? =? ,∴ CD=? x,∴ ? x? x=5? ,∴ x2=20? , 即以它的腰長為邊的正方形的面積為 20? 。 當底角 ∠ B=∠ ACB=30176。時 ,如圖 2,作 CD⊥ BA,交 BA的延長線于 D.∵∠ DAC=∠ B+∠ ACB=60176。, ∴ sin 60176。=? =? ,∴ CD=? x,∴ ? x? x=5? ,∴ x2=20,即以它的腰長為邊的正方形的面積 為 20. 綜上 ,以它的腰長為邊的正方形的面積為 20? 或 20. ? AC12 121212 3332 321232337.(2022湖北恩施州 ,18,8分 )如圖 ,△ ABC、△ CDE均為等邊三角形 ,連接 BD,AE,BD與 AE交于點 O,BC與 AE交于點 :∠ AOB=60176。. ? 證明 ∵ △ ABC和△ ECD都是等邊三角形 , ∴ AC=BC,CD=CE,∠ ACB=∠ DCE=60176。, ∴∠ ACB+∠ BCE=∠ DCE+∠ BCE, 即 ∠ ACE=∠ BCD, 在△ ACE和△ BCD中 , ? ∴ △ ACE≌ △ BCD(SAS), ∴∠ CAE=∠ CBD, ∵∠ BPO=∠ APC, ∴∠ BOP=∠ ACP=60176。,即 ∠ AOB=60176。. ,A C B CA C E B C DC E C D???? ? ?????8.(2022內蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,BD,CE分別是兩腰上的中線 . (1)求證 :BD=CE。 (2)設 BD與 CE相交于點 O,點 M,N分別為線段 BO和 CO的中點 .當△ ABC的重心到頂點 A的距離 與底邊長相等時 ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無需說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰△ ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 ,∴ AD=? AC,AE=? AB,∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ ABD≌ △ ACE,∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點 A的距離與底邊長相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 129.(2022黑龍江哈爾濱 ,24,8分 )已知 :△ ACB和△ DCE都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ DCE=90176。, 連接 AE,BD交于點 O,AE與 DC交于點 M,BD與 AC交于點 N. (1)如圖 1,求證 :AE=BD。 (2)如圖 2,若 AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下 ,請直接寫出圖 2中四對全等的直角三角形 . ? 解析 (1)證明 :如題圖 1,∵ △ ACB和△ DCE都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ DCE=90176。,AC=BC, DC=EC, ∴∠ ACB+∠ ACD=∠ DCE+∠ ACD, ∴∠ BCD=∠ ACE, 在△ ACE和△ BCD中 ,? ∴ △ ACE≌ △ BCD(SAS), ∴ AE=BD. (2)△ ACB≌ △ DCE,△ AON≌ △ DOM,△ AOB≌ △ DOE, △ EMC≌ △ BNC. ,A C B CA C E B C DC E D C???? ? ??? ??10.(2022重慶 A卷 ,25,12分 )如圖 1,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∠ BAC=60176。.點 E是 ∠ BAC角平分線上 一點 .過點 E作 AE的垂線 ,過點 A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點 D,連接 DB,點 F是 BD的中點 .DH⊥ AC,垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點 H是 AC的中點 ,AC=2? ,求 AB,BD的長 。 (2)如圖 1,求證 :HF=EF。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是不是等邊三角形 ?若是 ,請證明 。若不是 ,請說明理由 . ? 3 圖 1 圖 2 解析 (1)∵ 點 H是 AC的中點 ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。,∠ BAC=60176。, ∴∠ ABC=30176。,∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC, ∴∠ DAB=∠ DHA=90176。. ∴∠ DAH=30176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。, ∴ BD2=AD2+AB2. ∴ BD=? =2? .? (4分 ) (2)證明 :連接 AF,如圖 . 312 3 3 222 (4 3)?13? ∵ F是 BD的中點 ,∠ DAB=90176。, ∴ AF=DF,∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。. ∵∠ DHA=90176。,∠ DAH=30176。, ∴ DH=? AD. ∵ AE平分 ∠ BAC, ∴∠ CAE=? ∠ BAC=30176。. 1212∴∠ DAE=60176。,∴∠ ADE=30176。. ∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。, ∴∠ FDA∠ HDA=∠ FAD∠ EAD, ∴∠ FDH=∠ FAE.? (7分 ) ∴ △ FDH≌ △ FAE(SAS).∴ FH=FE.? (8分 ) (3)△ CEF是等邊三角形 .? (9分 ) 理由如下 :取 AB的中點 G,連接 FG, . ? 12∵ F是 BD的中點 ,∴ FG∥ DA,FG=? DA. ∴∠ FGA=180176?！?DAG=90176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, 點 G為 AB的中點 ,∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。, ∴ △ GAC為等邊三角形 .? (10分 ) ∴ AC=CG,∠ ACG=∠ AGC=60176。. ∴∠ FGC=30176。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。, ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 1212考點二 直角三角形 1.(2022浙江紹興 ,6,4分 )如圖 ,小巷左右兩側是豎直的墻 ,一架梯子斜靠在左側墻時 ,梯子底端到 左墻角的距離為 ,頂端距離地面 ,如果保持梯子底端位置不動 ,將梯子斜靠在右墻時 , 頂端距離地面 2米 ,則小巷的寬度為 ? ( ) ? 答案 C 如圖 ,由題意得 ,AC= ,BC= ,在 Rt△ ABC中 ,AB=? =(米 ),又因為 AB=BD,所以在 Rt△ BDE中 ,BE=? =? =(米 ),則小巷的寬度 CE=BC+BE=+