高中數(shù)學(xué)：斯蒂芬矩陣教案蘇教版選修(編輯修改稿)
2025-07-04 23:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 劃，空間一個(gè)向量要用三個(gè)數(shù)來(lái)刻劃，普通幾何中向量的概念正是這些量的抽象。但有很多事物，如多項(xiàng)式、方程等，需要更多的數(shù)才能刻劃，這就需要n維向量的概念。將向量看成特殊的矩陣會(huì)帶來(lái)很大的方便。我們可以用矩陣來(lái)解釋向量，但向量本身又有其特殊性。我們有：向量的線性表示、向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、向量組的等價(jià)。167。7 矩陣的秩矩陣的秩是反映矩陣的某種本質(zhì)屬性的一個(gè)概念，矩陣的秩與向量的秩的概念有關(guān)。向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩?？梢宰C明：向量組的任何極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相等；等價(jià)的向量組具有相同的秩。一個(gè)矩陣的秩就是它的行（列）向量組的秩，即矩陣的秩等于行秩=列秩。實(shí)際上，矩陣的秩等于與它等價(jià)的對(duì)角形矩陣中1的個(gè)數(shù)。167。8 線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系給出了齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；非齊次線性方程組未必有解，有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，且解的結(jié)構(gòu)可以借助于導(dǎo)出的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及特解來(lái)描述。167。9 變換變換這個(gè)詞的意義比較廣泛，前面我們給出了矩陣的初等變換，我們現(xiàn)在涉及的變換是指幾何的變換，而且是說(shuō)平面幾何中關(guān)于點(diǎn)的變換，不是指其它變換。如，把平面上的每個(gè)點(diǎn)都向右移動(dòng)2厘米；把平面上每個(gè)點(diǎn)都繞一個(gè)固定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度；把平面上每個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條固定直線對(duì)稱等都是變換。一般地，把平面內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)變成同一個(gè)平面內(nèi)的和它相應(yīng)的唯一的一點(diǎn)，不同的點(diǎn)所變成的點(diǎn)不相同，并且平面內(nèi)的每一點(diǎn)都是由某一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)變成的，這就是平面內(nèi)的點(diǎn)的一個(gè)變換。變換就是一個(gè)映射，而且是一個(gè)一一映射。換句話說(shuō)，變換就是從平面內(nèi)的點(diǎn)的集合到同一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)的集合的一個(gè)一一映射。把兩個(gè)變換復(fù)合起來(lái)就得到了一個(gè)新的變換。變換的復(fù)合一般不具有交換性。恒等變換是一個(gè)不動(dòng)的變換，它把平面上的每個(gè)點(diǎn)都變成它自己。把變換的復(fù)合看成變換的乘積，可得到變換的逆變換的概念。變換的逆變換就是這樣一種變換，無(wú)論它從左或從右復(fù)合，結(jié)果都得到恒等變換。每一個(gè)變換都有逆變換。167。10 反射變換一個(gè)關(guān)于直線l的反射有逆變換，它的逆變換就是關(guān)于直線l的反射本身。反射具有保距的性質(zhì)。即，經(jīng)過(guò)反射，兩個(gè)原象之間的距離等于相應(yīng)的兩個(gè)象之間的距離。一條線段上的所有點(diǎn)經(jīng)反射后得到的是一條線段上的所有點(diǎn)；一條射線經(jīng)過(guò)反射得到一條射線；一條直線經(jīng)過(guò)反射得到一條直線。反射的保距性質(zhì)蘊(yùn)涵了反射的保角性質(zhì)。一個(gè)反射將兩條垂直線變成兩條垂直線，將兩條平行線變成兩條平行線；將多邊形變成全等的多邊形。[例]一面直貼墻壁的鏡子，要使身高從160cm到190cm的人都可以自己看到全身，那么鏡長(zhǎng)至少是多少？假定一個(gè)人的眼睛位于頭頂下方10cm處。關(guān)于直線l的反射使A為固定（不動(dòng)）點(diǎn)的充分必要條件是A在直線l上；關(guān)于直線l的反射使直線m上的每個(gè)點(diǎn)都為固定點(diǎn)的充要條件是m=l；關(guān)于直線l的反射使直線m為固定直線的充要條件是m=l或m與l垂直。167。11 平移變換把平面上的每個(gè)點(diǎn)都按一定的方向移動(dòng)一定的距離，這樣的一個(gè)變換是一個(gè)平移。如果移動(dòng)的距離為0就為恒等變換，因此，恒等變換是平移變換的一個(gè)特例。把A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)有且僅有一個(gè)平移，即A，B兩點(diǎn)確定一個(gè)平移。經(jīng)過(guò)平移之后，兩個(gè)原象之間的距離等于相應(yīng)的兩個(gè)象之間的距離，即平移也具有保距性。由此，把一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)進(jìn)行平移得到的是與原圖全等的圖形。分別對(duì)平行線l和m的兩個(gè)反射的復(fù)合是一個(gè)平移，這個(gè)平移的方向是從l到m而垂直于直線l（或m）的方向，這個(gè)平移的距離等于平行線l與m間距離的2倍。反之也對(duì)。也就是說(shuō)，反射與平移之間有下面的關(guān)系：兩個(gè)關(guān)于兩條平行線的反射是一個(gè)平移，而一個(gè)平移可以寫(xiě)成兩個(gè)關(guān)于兩條平行線的反射的積。在這個(gè)意義上，反射是比平移更簡(jiǎn)單的一種變換。167。12 旋轉(zhuǎn)變換把平面內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都繞一個(gè)定點(diǎn)按一定的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的一個(gè)變換是一個(gè)變換，這個(gè)定
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