【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 區(qū)間[－10，10]內(nèi)的圖形是拋物線，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。根據(jù)排除法可知正確答案應(yīng)是D。也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證：因?yàn)樵谥付▍^(qū)間[－10，10]內(nèi)，有故是單調(diào)增加函數(shù)。正確的選項(xiàng)是D。例2 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（ ）。解 用求導(dǎo)數(shù)的方法，因?yàn)榱顒t，則函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是。例3 函數(shù)的駐點(diǎn)是　　 　 　.解 根據(jù)駐點(diǎn)定義，令，得。應(yīng)該填寫 例5 已知需求函數(shù)為，則需求彈性= .解 因?yàn)? ，且=所以應(yīng)該填寫 例6 已知需求函數(shù)，當(dāng)時(shí)，需求彈性為（ ）． A． B． C． D．解 因?yàn)? ，且= 故正確選項(xiàng)是C 例7 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品臺(tái)時(shí)的邊際成本（元/臺(tái)），邊際收入為 試求獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量。解 這是一個(gè)求最值的問(wèn)題。 = =令，求得唯一駐點(diǎn)。因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，且利潤(rùn)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為2000時(shí)，可使利潤(rùn)達(dá)到最大。例8 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為 （萬(wàn)元）其中q是產(chǎn)量，單位：臺(tái)。求使平均成本最小的產(chǎn)量。并求最小平均成本是多少？解 平均成本 解得q1=50（臺(tái)），q2=－50（舍去）。 因有意義的駐點(diǎn)唯一，故q=50臺(tái)是所求的最小值點(diǎn)。當(dāng)產(chǎn)量為50臺(tái)時(shí)，平均成本最小。最小平均成本為 （萬(wàn)元） 例9 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定費(fèi)用是1000萬(wàn)元,每多生產(chǎn)1臺(tái)該種產(chǎn)品，其成本增加10萬(wàn)元，又知對(duì)該產(chǎn)品的需求為q=1202p(其中q是產(chǎn)銷量，單位：臺(tái)。 p是價(jià)格,單位:萬(wàn)元).求(1) 使該產(chǎn)品利潤(rùn)最大的產(chǎn)量。(2) 該產(chǎn)品的邊際收入.解（1）設(shè)總成本函數(shù)為C(q)，收入函數(shù)為R(q)，利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)，于是 C(q)=10q+1000(萬(wàn)元) R(q)=qp=(萬(wàn)元) L(q)＝R(q)C(q)=(萬(wàn)元) 得到 q=50(臺(tái))。 因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，故q＝50臺(tái)是所求最小值點(diǎn)。即生產(chǎn)50臺(tái)的該種產(chǎn)品能獲最大利潤(rùn)。 (2) 因 R(q)=，故邊際收入R162。(q)=60－q(萬(wàn)元/臺(tái)) 。 第五章典型例題例1 在某區(qū)間上，如果F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，c為任意常數(shù)，則下式成立的是（ ）。 A. B. C. D. 解 如果F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則F（x）＋c都是f（x）的原函數(shù)，故有，即正確的選項(xiàng)是C。 例2 如果，則f（x）=（ ） A. 2sin2x B. －2cos2x C. －2sin2x D. 2cos2x 解 根據(jù)不定積分的性質(zhì)可知 f（x）=正確的選項(xiàng)是D。例3 設(shè)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，則＝（ ）。 A． B. C. D. 解 因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)原函數(shù)，即有=，故＝=故正確的選項(xiàng)C。例4 設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是，則（ ）。 A. B. C. D. 解 因?yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)是，故（＝故正確的選項(xiàng)B。例5 設(shè)函數(shù), 則=( )。 A. x2+c B. C. D. 解 因?yàn)?，故，于?故正確的選項(xiàng)B。 例6 已知=sinx+c，則f（x）=( ) A. B. xsinx C. D. xcosx 解 對(duì)=sinx+c兩端求導(dǎo)，得 故f（x）=，正確的選項(xiàng)是C。例8．（ ）。 A． B. C. D. 解 兩種方法，其一是湊微分直接計(jì)算：其二是求導(dǎo)計(jì)算：四個(gè)備選答案中都含有項(xiàng)，對(duì)它求導(dǎo) 與被積函數(shù)比較可知，是的原函數(shù)。 正確的選項(xiàng)是B。例9 計(jì)算下列積分（1） （2） （3） （4） 解 （1） = = （2）= = = 　　　　　　 （3） （4）= xcos(1x) = xcos(1x) + sin(1x) + c 第六章典型例題例1 若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是( )． A． B．C． D． 解 由牛頓190。190。萊布尼茲公式可知，正確的選項(xiàng)是B。 例2 已知，那么常數(shù)a=（ ）。 解 因?yàn)? 故，即正確的選項(xiàng)是A。 例3 =( )。 A. －ln(x2+1) B. ln(x2+1) C. ln(x2+1)2x D.－ln(x2+1)2x解 根據(jù)變上限定積分的性質(zhì)可知＝－ln(x2+1) 故正確的選項(xiàng)是A。 例4 積分= 。解 在對(duì)稱區(qū)間上求定積分，首先要考慮被積函數(shù)的奇偶性，可以利用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算。因?yàn)槭桥己瘮?shù)，故=應(yīng)該填寫：1 例5 。解 因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故0應(yīng)該填寫：0 例6 計(jì)算下列定積分（1） （2） （2） （4）（5）設(shè)函數(shù)，計(jì)算定分解 （1） = = =12 （2） 利用=，可知 ＝＝ 或設(shè)，則時(shí)， 。 時(shí)，原積分＝＝ （3）用分部積分法 ＝ = （4）用分部積分法= == （5）分段函數(shù)要分區(qū)間積分，故 例7 廣義積分= 。 解 因?yàn)?應(yīng)該填寫： 例8 下列無(wú)窮積分中收斂的是（ ）． A． B． C． D．解 因?yàn)?發(fā)散；==1所以正確的選項(xiàng)是B。 例9 若，則=（ ）． A．1 B．1 C． D. 2 解 因?yàn)?，即當(dāng)k =2時(shí)，成立。所以正確的選項(xiàng)是D 。第七章典型例題例2 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 (萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為 （萬(wàn)元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，若固定成本為10萬(wàn)元，問(wèn)（1）產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？（2）從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？解 （1）邊際利潤(rùn) 令 ，得 （百臺(tái)）又是的唯一駐點(diǎn)，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義可知存在最大值，故是的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大。（2）利潤(rùn)的變化 即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少20萬(wàn)元。 例3 已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬(wàn)元/百臺(tái))，x為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本為18(萬(wàn)元)，求最低平均成本. 解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為=當(dāng)x = 0時(shí)，C(0) = 18，得 c =18，即C(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺(tái))。該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)x = 3時(shí)，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬(wàn)元/百臺(tái)) 第九章典型例題例1 若A，B是兩個(gè)ｎ階方陣，則下列說(shuō)法正確是（ ）。A．B．C. 若秩 秩則秩D. 若秩 秩則秩 解 A： 只是的充分條件，而不是必要條件，故A錯(cuò)誤；B：，矩陣乘法一般不滿足交換律，即，故B錯(cuò)誤；C：由秩秩說(shuō)明A，B兩個(gè)矩陣都不是0矩陣，但它們的乘積有可能是0矩陣，故秩不一定成立，即C錯(cuò)誤；D：兩個(gè)滿秩矩陣的乘積還是滿秩的，故D正確。例2 矩陣的秩是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 化成階梯形矩陣后，可知有3個(gè)非0行，故該矩陣的秩為3。例3 設(shè)矩陣 A=，則矩陣A與B的乘積AB的第3行第1列的元素的值是 。 解 根據(jù)乘法法則可知，矩陣A與B的乘積AB的第3行第1列的元素的值是 32＋（－1）9＋90＝－3 應(yīng)該填寫3例4 設(shè)A是m180。n矩陣,B是s180。n矩陣, 則運(yùn)算有意義的是 。A． B．AB C．ATB D．ATBT 解 根據(jù)乘法法則可知，兩矩陣相乘，只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，它們的乘積才有意義，故矩陣有意義。正確的選項(xiàng)是A。例5 設(shè)方程XA－B=X，如果A－I可逆，則X= 。解 由XA－B=X，得XA－X=B，X(A－I)=B，故X= B(A－I)－1。應(yīng)該填寫B(tài)(A－I)－1例6 設(shè)矩陣 ，計(jì)算． 解：因?yàn)?= 所以 例7 已知矩陣，求常數(shù)a，b 。解 因?yàn)?由 ，得a = 3，b = 2 例8 設(shè)矩陣，求解矩陣方程． 解 因?yàn)? 所以 且 ． 例9 設(shè)矩陣，計(jì)算. 解 因?yàn)? == 且 所以 = 例10 設(shè)矩陣，求逆矩陣． 解：因?yàn)?，且 所以 第十章典型例題例1 線性方程組的系數(shù)矩陣是( )。 A．23矩陣 B． 32矩陣 C．3階矩陣 D．2階矩陣 解 此線性方程組有兩個(gè)方程，有三個(gè)未知量，故它的系數(shù)矩陣是23矩陣。正確的選項(xiàng)是A。 例2 線性方程組AX = B有唯一解，那么AX = 0 ( )。 A．可能有非零解 B．有無(wú)窮多解 C．無(wú)解 D．有唯一解 解 線性方程組AX=B有唯一解，說(shuō)明秩(A) = n，故AX = 0只有唯一解（零解）。正確的選項(xiàng)是D。例3 若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)＝（ ）時(shí)線性方程組有無(wú)窮多解。 A．1 B．4 C．2 D．解 將增廣矩陣化為階梯形矩陣，此線性方程組未知量的個(gè)數(shù)是2，若它有無(wú)窮多解，則其增廣矩陣的秩應(yīng)小于2，即，從而＝，即正確的選項(xiàng)是D。 例4 若非齊次線性方程組AmnX = B有唯一解，那么有 ( )。 A．秩(A，B)＝n B．秩(A)＝n C．秩(A)＝秩（A，B） D．秩(A）＝秩(A，B)＝n解 根據(jù)非齊次線性方程組解的判斷定理可知D正確。例5 設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況. 解 因?yàn)? 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因?yàn)閞(A) 185。 r()，所以方程組無(wú)解. 例6 求線性方程組 的一般解． 解： 因?yàn)橄禂?shù)矩陣 所以，一般解為：， 其中，是自由未知量． 例7 求解線性方程組 解 將增廣矩陣化成階梯形矩陣因?yàn)?秩(`A) = 秩(A) = 3， 所以 方程組有解。一般解為 (x4是自由未知量) 例9 設(shè)線性方程組 試問(wèn)c為何值時(shí)，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。 解 可見(jiàn)，當(dāng)c = 0時(shí)，方程組有解。且 原方程組的一般解為 （x3是自由未知量） 資料第一編 微分學(xué)第1