浙大版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題集和試卷(編輯修改稿)
2025-07-04 21:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 關(guān), 則它們獨(dú)立.思考題1. 1. 設(shè),求證: 2. 2. 設(shè). 證明: .第四講1. 1. 求下列分布的特征函數(shù):(1)(2)服從上的均勻分布。(3) 服從參數(shù)為的指數(shù)分布.2. 2. 設(shè)是特征函數(shù), 求證下列函數(shù)也是特征函數(shù):3. 3. 證明下列函數(shù)是特征函數(shù), 并找出相應(yīng)的分布.思考題1. 1. 試舉例說(shuō)明在逆極限定理中, 在處連續(xù)這一條件不能少.2. 2. 當(dāng)獨(dú)立時(shí), 則有第一講1. 1. 下列分布函數(shù)列是否弱收斂于分布函數(shù)? 2. 2. 設(shè)為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, 的分布列為, .求證的分布收斂于[1,1]上的均勻分布.第二講1. 1. 設(shè)某車間有200臺(tái)同型機(jī)床，工作時(shí)每臺(tái)車床60%的時(shí)間在開動(dòng), 每臺(tái)開動(dòng)時(shí)耗電1千瓦. ？2. 2. 一家火災(zāi)保險(xiǎn)公司承保160幢房屋, 最高保險(xiǎn)金額有所不同, 數(shù)值如下表所示: 最大保險(xiǎn)金額(萬(wàn)元) 10 20 30 50 100投保房屋數(shù)80 35 25 15 5假設(shè): (1) , 大于一次理陪概率為0。(2) 各幢房屋是否發(fā)生火災(zāi)相互獨(dú)立。(3)如果理陪發(fā)生, 理陪量從0到最高保險(xiǎn)金額間的均勻分布.記N為一年中理陪次數(shù), S為理陪總量, a. 計(jì)算N的數(shù)學(xué)期望和方差。b. b. 計(jì)算S的數(shù)學(xué)期望和方差。c. c. 確定相對(duì)保證附加系數(shù), 即(每份保單保費(fèi)收入–平均理陪量)/ 平均理陪量, .3. 3. 設(shè)為獨(dú)立同分布, 其分布列為泊松分布. 記計(jì)算的特征函數(shù), 并求時(shí)的極限, 從而驗(yàn)證林德貝格–勒維定理在這種情況成立.4. 4. 設(shè)各自獨(dú)立同分布, 也相互獨(dú)立. . 求證: 的分布函數(shù)弱收斂于思考題1. 利用中心極限定理證明: 第三講1. 設(shè)獨(dú)立同分布, 密度為, 令, 求證:.3. 3. 求證: (1)若, 則 (2)若, 則4. 4. 設(shè)獨(dú)立同分布, 都服從[0,1]上的均勻分布, 令, 求證: 并求出常數(shù).思考題1. (蒙特卡羅方法) 設(shè)是定義在[0,1]上的連續(xù)函數(shù), 且取值于[0,1]. 現(xiàn)在平面的正方形上做隨機(jī)投點(diǎn)試驗(yàn), 記為所投點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的頻率. 試說(shuō)明當(dāng)投點(diǎn)次數(shù)充分多時(shí), 可充分接近積分值概率論試卷（一）一、填充題（每空格3分）,則P(A∪B)_____P(B).,P(ξ=1)=P(ξ=3),則λ=_____.～N(0,1),i=1,2,…,n。 ～(n)分布.,η互不相關(guān),則Var(2ξη)=_____.=1的指數(shù)分布的特征函數(shù)是__________________________.二、是非題（每小題3分）（先回答‘對(duì)’或‘錯(cuò)’再簡(jiǎn)述理由）(ξ,η)為連續(xù)型隨機(jī)向量,如果聯(lián)合密度等于各自邊際密度的乘積,則ξ,η相互獨(dú)立.,η相互獨(dú)立的充分必要條件是E(ξη)=EξEη.{}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,～N(a,),=,則也服從N(a,). (t). 若→f (t),(n→∞),則.三、（16分）設(shè)ξ,η相互獨(dú)立，均服從p(x)=.（1）求U=ξ+η與V=ξ/(ξ+η)的聯(lián)合密度；（2）判斷U與V是否獨(dú)立；（3）？四、（16分）已知(～N(1,0。.（1）寫出的特征函數(shù)與密度； （2）求E,Varη；（3）求Cov()； （4）與η相互獨(dú)立嗎？為什么？五、（10分）某商店某種食品一塊從上柜到銷售出去時(shí)間（天）服從參數(shù)為λ=1/3的指數(shù) ，就要另行處理， 食品100塊，求（六天后）平均每天另行處理的這種食品的數(shù)量.六、（8分）設(shè){}相互獨(dú)立，P{, P{,P{, k=1,2,…. 求證：.七、（15分）(1)設(shè)，求證：. (2) 設(shè)（常數(shù)），求證.八 、（8分）設(shè)的密度為，n=1,求證：概率論試卷（二）一、填充題（每空格3分） ________________________________________的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?(ξ,η)～N(0,1。1,4,)，則ξ,η分別服從_________________________________.,相互獨(dú)立. 則()的特征函數(shù)為 ______________.,2,3,4,5五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)，所得號(hào)碼中最大的為ξ, 則ξ的分布列為 ______________.二、是非題（每小題3分）（先回答‘ 對(duì)’與‘錯(cuò)’，再簡(jiǎn)述理由） (1)設(shè)隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為p(x)=，則η=12ξ的密度為q(y)=. (2)Varξ=1,Varη=4,則Var(2ξ+η)=8. (3)(t)=sint是某隨機(jī)變量的特征函數(shù). (4)設(shè)分布函數(shù)與F(x)對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)分別為與f (t)，若則→f (t).(n→∞).三、（12分）甲乙兩廠獨(dú)立生產(chǎn)同類產(chǎn)品， 兩廠的該類產(chǎn)品3件與7件.（1）求它們都是一級(jí)品的概率；（2）在這10件中任取一件，求它是一級(jí)品的概率。（3）在這10件中任取一件，發(fā)現(xiàn)是一級(jí)品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率.四、（10分）隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=2k)=3 /,k=0,1,2,…. （1）求Eξ；（2）求ξ的特征函數(shù).五、（17分）()的聯(lián)合密度為p()=.求：（1）與的聯(lián)合密度；（2）的密度； （3）E()； （4）Var().六、（12分）設(shè)相互獨(dú)立，都服從正態(tài)分布N().（1）寫出其聯(lián)合分布的密度函數(shù)；（2）求證：服從正態(tài)分布N(n)。（3）求證：對(duì)任意正交變換U，η=Uξ（其中ξ=(）各分量也相互獨(dú)立， 同 方差.七、（15分）
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