等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)(編輯修改稿)
2025-07-04 21:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 bn}雖不是等差數(shù)列，但可尋找它與等差數(shù)列的聯(lián)系，通過分類討論，可將{bn}轉(zhuǎn)化，結(jié)果需用分段函數(shù)加以表述.例2．已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,……), a1=1,(1)設(shè)bn=an+12an(n=1,2,……),求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.(2)設(shè)Cn= (n=1,2,……),求證數(shù)列{Cn}是等差數(shù)列.(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式分析與解答:(1)因?yàn)镾n+1=4an+2 所以 Sn+2=4an+1+2以上兩式等號(hào)兩邊分別相減，得 Sn+2Sn+1=4an+14an(n=1,2,……) 即 an+2=4an+14an變形，得 an+22an+1=2(an+12an) 因?yàn)?bn=an+12an(n=1,2,……) 所以 bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.由S2=a1+a2=4a1+2, a1=1, 所以 a2=5, 所以 b1=a22a1=3,所以 bn=32n1(2) Cn= (n=1,2,……) 所以 Cn+1Cn= 將 bn=32n1 ，代入得，Cn+1Cn= (n=1,2,……)由此可知，數(shù)列{Cn}是公差為 的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)C1= ，故Cn= (n1)= n .(3)Cn= n = (3n1) 所以 an=2nCn=(3n1)2n2 (n=1,2,……) 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=4an1+2=(3n4)2n1+2由于S1=a1=1也適合此公式，故所求{an}的前n項(xiàng)和公式是Sn=(3n4)2n1+2.點(diǎn)評(píng):該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問題，解題時(shí)，要注意利用題設(shè)的已知條件，通過合理轉(zhuǎn)換，將非等差，等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差，等比數(shù)列，求得問題的解決利用等差（比）數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或
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