北京四中高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題二十八簡(jiǎn)單幾何體(編輯修改稿)
2025-07-04 16:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（ ） A. B. C. D. 分析：考察4個(gè)鋼球在正四面體容器內(nèi)的存在狀態(tài)，注意到正四面體的一個(gè)內(nèi)切球的球心到頂點(diǎn)距離為3r，所以，當(dāng)4個(gè)球都與正四面體的面相切時(shí)，正四面體的高分為三部分：4個(gè)鋼球中最上端的球心到頂點(diǎn)的距離為3，下面三個(gè)球心到底面的距離為1，中間部分即四個(gè)球心構(gòu)成的正四面體的高為 ，于是已知此時(shí)正四面體的高為 ，本題應(yīng)選C?！ ?.（2005江西卷）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（ ） A. B. C. D. 分析：本題主要考察空間想象能力，在審題過程中迅速找到球心位置?！ ≡O(shè)矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，則點(diǎn)O到A、B、C、D各項(xiàng)點(diǎn)距離相等，距離為 ，折疊后，點(diǎn)O到空間圖形中A、B、C、D的距離不變?！ ?O為四面體ABCD的外接球的球心，球面半徑為 ?！ ?，應(yīng)選C。 二、填空題 1.（2005全國(guó)卷 II ）下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： ?、俚酌媸堑冗吶切危瑐?cè)面與底面所成二面角都相等的三棱錐都是正三棱錐； ②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐； ③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐； ?、軅?cè)棱與底面所成角都相等，且側(cè)面與底面所成二面角都相等的三棱錐是正三棱錐?！ ∑渲?，真命題的編號(hào)是 （寫出所有真命題的編號(hào)） 分析：逐一分析各個(gè)命題。對(duì)于①，由題設(shè)得各側(cè)面上底邊上的高相等，因而各側(cè)棱相等，故為正三棱錐；對(duì)于②，側(cè)面上PA=PB=AB=BC=CA≠PC滿足題設(shè)，但不是正三棱錐；對(duì)于③，以②中的反例為基礎(chǔ)考察側(cè)面面積相等的情形，可知它為假命題；對(duì)于④，由題設(shè)知頂點(diǎn)在底面上的射影既是底面正三角形的外心，又是它的內(nèi)心，故此時(shí)的三棱錐為正三棱錐，于是得答案為①④。 2.（2005江西卷）如圖，在直三棱柱 中， ， ， ，E、F分別為 、 的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路經(jīng)的長(zhǎng)度為 。 分析：注意到幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離即幾何體表面的某展開圖上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間的直線距離，對(duì)直三棱柱相關(guān)表面的展開分類討論。 ?。?）將側(cè)面 和 展開成平面圖形 此時(shí) （2）將側(cè)面 與底面 展開成平面圖形 此時(shí)由 得B，B1，C1三點(diǎn)共線，取BB1中點(diǎn)為D， 則 ?。?）將側(cè)面 和底面 展開成平面圖形，仿（2）可得 此時(shí) 于是可得所求最短距離為 3.（2005上海卷）有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為 ，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a，4a，5a（a0），用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍為 ?！ 》治觯航鉀Q此題的關(guān)鍵是如何拼成三棱柱或四棱柱?！ 。?）將它們拼成新的三棱柱，只有將它們摞起來一種情形，其全面積為 ； （2）將它們拼成四棱柱，則有三種情形——將兩個(gè)相同的三棱柱分別沿其相同的側(cè)面對(duì)接，其全面積分別為 ， ， ，顯然S2＞S3＞S4?！ ?只需S1＞S4 ∴ ，解得 即 ∴ 所求a的取值范圍為 三、解答題 1.（2005天津卷）如圖，在斜三棱柱 中， ，AB=AC， ，側(cè)面 與底面ABC所成二面角為120176。，E、F分別是棱 、 的中點(diǎn)。 ?。?）求 與底面ABC所成的角； ?。?）證明： 平面 ； ?。?）求經(jīng)過AA、B、C四點(diǎn)的球的體積?！ 》治觯簽榱吮硎荆?）中目標(biāo)，需要構(gòu)造平面ABC的垂線，而一旦尋出或作出平面ABC的垂線之后，又可以此為基礎(chǔ)作出已知的側(cè)面 與底面ABC所成二面角的平面角。因此，解題結(jié)構(gòu)是平面ABC的垂線切入，通過構(gòu)造及求解 突破?！ 〗猓骸 。?）作 平面ABC于H，連結(jié)AH并長(zhǎng)交BC邊于G，連結(jié)EG， ， 則 為 與底面ABC所成角?！ ∮? ∴ AG為 的平分線（證明從略） ∵ AB=AC，∴ 即 而AH是 在底面ABC上的射影 ∴ ∴ 平面 注意到 平面 ，且 ， ∴ ∴ 為二面角ABCE的平面角 ∴ 又四邊形AGEA1為平行四邊形 ∴ 即 與底面所成角為60176?！ 。?）連結(jié) 交EG于點(diǎn)P，則P為EG的中點(diǎn)，連結(jié)FP?！ ?F為 的中點(diǎn) ∴ ∴ 四邊形 為平行四邊形 ∴ 又 面 ， 面 ， ∴ 面 ?！ 。?）連結(jié) ，由（1）知HB=HC ∴ ∴ 由已知得 ∴ 三棱錐 為正三棱錐 ∴ 它的外接球球心O在高AH上， 又連結(jié)OF，則 ，且 ∴ 即球半徑 ， ∴球的體積 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1），通過作 平面ABC于H，將已知二面角的平面角與構(gòu)造所求的直線與平面所成角納入同一個(gè)作圖與論述過程之中，這一過程一旦完成，“已知”與“目標(biāo)”的聯(lián)系便呼之欲出了。對(duì)于（3）解題的關(guān)鍵是認(rèn)知所給四點(diǎn)構(gòu)成正三棱錐，認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，即問題轉(zhuǎn)化為求正三棱錐 的外接球體積，于是，化生為熟便得以實(shí)現(xiàn)?！ ?.（2005全國(guó)卷I）已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB∥DC， 底面ABCD，且 ，M是PB的中點(diǎn)?！ 。á瘢┳C明：面PAD⊥面PCD； ?。á颍┣驛C與PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小?！ 》治觯骸 ?duì)于（Ⅰ），注意到 面PAD，得證； 對(duì)于（Ⅱ），當(dāng)四棱錐內(nèi)難以找到AC或PB的平行線時(shí)，要想到在四棱錐外部構(gòu)造AC與PB的平行線； 對(duì)于（Ⅲ），則要想到利用（Ⅰ），（Ⅱ）推理中的認(rèn)知與結(jié)論來構(gòu)造或計(jì)算二面角的平面角?！ 》椒ㄒ唬骸 。á瘢┳C明： ∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂線定理得：CD⊥PD?！ ∫蚨?，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD?！ ∮諧D 面PCD， ∴面PAD⊥面PCD。 ?。á颍┙猓骸 ∵^點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA， 則∠PBE是AC與PB所成的角?！ ∵B結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE= ，又AB=2， 所以四邊形ACBE為正方形?！ ∮蒔A⊥面ABCD得∠PEB=90176?！ ≡赗t△PEB中BE= ,PB= , ∴cos∠PBE= , ∴AC與PB所成的角為arccos . (Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN。 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC， ∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角。 ∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB,所以CM=AM。
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