【文章內容簡介】 1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（　　 ）　　A. 　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D. 　　分析：考察4個鋼球在正四面體容器內的存在狀態(tài)，注意到正四面體的一個內切球的球心到頂點距離為3r，所以，當4個球都與正四面體的面相切時，正四面體的高分為三部分：4個鋼球中最上端的球心到頂點的距離為3，下面三個球心到底面的距離為1，中間部分即四個球心構成的正四面體的高為 ，于是已知此時正四面體的高為 ，本題應選C?！　?.（2005江西卷）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（　　 ）　　A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D. 　　分析：本題主要考察空間想象能力，在審題過程中迅速找到球心位置?！　≡O矩形對角線交點為O，則點O到A、B、C、D各項點距離相等，距離為 ，折疊后，點O到空間圖形中A、B、C、D的距離不變?！　　?O為四面體ABCD的外接球的球心，球面半徑為 ?！　　?，應選C?！　《?、填空題　　1.（2005全國卷 II ）下面是關于三棱錐的四個命題：　　①底面是等邊三角形，側面與底面所成二面角都相等的三棱錐都是正三棱錐；　　②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；　?、鄣酌媸堑冗吶切?，側面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；　?、軅壤馀c底面所成角都相等，且側面與底面所成二面角都相等的三棱錐是正三棱錐。　　其中，真命題的編號是　　　　　　　　 （寫出所有真命題的編號）　　分析：逐一分析各個命題。對于①，由題設得各側面上底邊上的高相等，因而各側棱相等，故為正三棱錐；對于②，側面上PA=PB=AB=BC=CA≠PC滿足題設，但不是正三棱錐；對于③，以②中的反例為基礎考察側面面積相等的情形，可知它為假命題；對于④，由題設知頂點在底面上的射影既是底面正三角形的外心，又是它的內心，故此時的三棱錐為正三棱錐，于是得答案為①④?！　?.（2005江西卷）如圖，在直三棱柱 中， ， ， ，E、F分別為 、 的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路經的長度為　　　　　　 ?！　》治觯鹤⒁獾綆缀误w表面上兩點間的最短距離即幾何體表面的某展開圖上對應兩點間的直線距離，對直三棱柱相關表面的展開分類討論?！　。?）將側面 和 展開成平面圖形 　　 　　此時 　?。?）將側面 與底面 展開成平面圖形 　　 　　此時由 得B，B1，C1三點共線，取BB1中點為D，　　則 　?。?）將側面 和底面 展開成平面圖形，仿（2）可得　　此時 　　于是可得所求最短距離為 　　3.（2005上海卷）有兩個相同的直三棱柱，高為 ，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，5a（a0），用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍為　　　　 ?！　》治觯航鉀Q此題的關鍵是如何拼成三棱柱或四棱柱?！　。?）將它們拼成新的三棱柱，只有將它們摞起來一種情形，其全面積為 ；　　（2）將它們拼成四棱柱，則有三種情形——將兩個相同的三棱柱分別沿其相同的側面對接，其全面積分別為 ， ， ，顯然S2＞S3＞S4?！　　?只需S1＞S4　　∴ ，解得 　　即 　　∴ 所求a的取值范圍為 　　三、解答題　　1.（2005天津卷）如圖，在斜三棱柱 中， ，AB=AC， ，側面 與底面ABC所成二面角為120176。，E、F分別是棱 、 的中點?！　。?）求 與底面ABC所成的角；　　（2）證明： 平面 ；　?。?）求經過AA、B、C四點的球的體積?！　》治觯簽榱吮硎荆?）中目標，需要構造平面ABC的垂線，而一旦尋出或作出平面ABC的垂線之后，又可以此為基礎作出已知的側面 與底面ABC所成二面角的平面角。因此，解題結構是平面ABC的垂線切入，通過構造及求解 突破?！　〗猓骸　。?）作 平面ABC于H，連結AH并長交BC邊于G，連結EG， ，　　 則 為 與底面ABC所成角?！　∮?　　∴ AG為 的平分線（證明從略）　　∵ AB=AC，∴ 即 　　而AH是 在底面ABC上的射影　　∴ 　　∴ 平面 　　注意到 平面 ，且 ，　　∴ 　　∴ 為二面角ABCE的平面角　　∴ 　　又四邊形AGEA1為平行四邊形　　∴ 　　即 與底面所成角為60176?！　。?）連結 交EG于點P，則P為EG的中點，連結FP?！　　?F為 的中點　　∴ 　　∴ 四邊形 為平行四邊形　　∴ 　　又 面 ， 面 ，　　∴ 面 ?！　。?）連結 ，由（1）知HB=HC　　∴ 　　∴ 由已知得 　　∴ 三棱錐 為正三棱錐　　∴ 它的外接球球心O在高AH上，　　又連結OF，則 ，且 　　∴ 　　即球半徑 ，　　∴球的體積 　　點評：對于（1），通過作 平面ABC于H，將已知二面角的平面角與構造所求的直線與平面所成角納入同一個作圖與論述過程之中，這一過程一旦完成，“已知”與“目標”的聯(lián)系便呼之欲出了。對于（3）解題的關鍵是認知所給四點構成正三棱錐，認識到這一點，即問題轉化為求正三棱錐 的外接球體積，于是，化生為熟便得以實現?！　?.（2005全國卷I）已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB∥DC， 底面ABCD，且 ，M是PB的中點。　?。á瘢┳C明：面PAD⊥面PCD；　　（Ⅱ）求AC與PB所成的角；　?。á螅┣竺鍭MC與面BMC所成二面角的大小?！　》治觯骸　τ冢á瘢?，注意到 面PAD，得證；　　對于（Ⅱ），當四棱錐內難以找到AC或PB的平行線時，要想到在四棱錐外部構造AC與PB的平行線；　　對于（Ⅲ），則要想到利用（Ⅰ），（Ⅱ）推理中的認知與結論來構造或計算二面角的平面角。　　方法一：　?。á瘢┳C明：　　∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，　　∴由三垂線定理得：CD⊥PD?！　∫蚨珻D與面PAD內兩條相交直線AD，PD都垂直，　　∴CD⊥面PAD?！　∮諧D 面PCD，　　∴面PAD⊥面PCD?！　。á颍┙猓骸　∵^點B作BE∥CA，且BE=CA，　　則∠PBE是AC與PB所成的角?！　∵B結AE，可知AC=CB=BE=AE= ，又AB=2，　　所以四邊形ACBE為正方形?！　∮蒔A⊥面ABCD得∠PEB=90176?！　≡赗t△PEB中BE= ,PB= ,　　∴cos∠PBE= ,　　∴AC與PB所成的角為arccos .　　(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結BN?！　≡赗t△PAB中，AM=MB，又AC=CB，　　∴△AMC≌△BMC，　　∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角?！　　逤B⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，　　在Rt△PCB中，CM=MB,所以CM=AM。