北京四中高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題二十八簡(jiǎn)單幾何體(文件)
【正文】 由已知得 ∴ 三棱錐 為正三棱錐 ∴ 它的外接球球心O在高AH上， 又連結(jié)OF，則 ，且 ∴ 即球半徑 ， ∴球的體積 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1），通過(guò)作 平面ABC于H，將已知二面角的平面角與構(gòu)造所求的直線與平面所成角納入同一個(gè)作圖與論述過(guò)程之中，這一過(guò)程一旦完成，“已知”與“目標(biāo)”的聯(lián)系便呼之欲出了?！ 。á瘢┳C明：面PAD⊥面PCD； ?。á颍┣驛C與PB所成的角； ?。á螅┣竺鍭MC與面BMC所成二面角的大小?！ ∮諧D 面PCD， ∴面PAD⊥面PCD?！ ≡赗t△PEB中BE= ,PB= , ∴cos∠PBE= , ∴AC與PB所成的角為arccos . (Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN。MC= ∴AN= 。 可知當(dāng) = 時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（ ），能使 此時(shí)， =（ ）， ，有 由 ， 得AN⊥MC，BN⊥MC 所以∠ANB為所求二面角的平面角 ∵ ∴ ?！ ?.（2005 ?。?II ）借重推證（ I ）的過(guò)程中對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，從導(dǎo)找或構(gòu)造平面AEF的垂線突破?！ 郋F⊥PB 由三垂線定理得PA⊥AB， ∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA?！ ? ?。á颍┙猓翰环猎O(shè)BC=1，則AD=PD=1。對(duì)于（ I ），重點(diǎn)在于證明與利用三角形全等；對(duì)于（ II ），則重點(diǎn)在于利用相似三角形溝通聯(lián)系。 方法一： （Ⅰ）證明： ?。á颍┙猓喝D的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE ∵△VAD是正三角形 ∴AE⊥VD，AE= AD ∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE 又由三垂線定理知BE⊥VD 因此， 是所求二面角的平面角 于是， ， 即得所求二面角的大小為 方法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系 ?。á瘢┳C明：不妨設(shè) ， 則 ， 由 ，得 又 ，因而 與平面 內(nèi)兩條相交直線VA，AD都垂直 ∴ 平面 ?。á颍┙猓涸O(shè) 為 中點(diǎn)，則 由 ，得 ，又 因此， 是所求二面角的平面角。因此，解題從尋找或構(gòu)造平面PAC的垂線切入。遼寧卷）已知三棱錐P—ABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB. ?。á瘢┳C明PC⊥平面PAB； ?。á颍┣蠖娼荘—AB—C的平面角的余弦值； ?。á螅┤酎c(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12π的球面上，求△ABC的邊長(zhǎng). 分析： ?。á瘢┳⒁獾筋}設(shè)條件中的正三角形與直角三角形，想到利用這些三角形的特性確定線線垂直關(guān)系； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的認(rèn)知尋找或構(gòu)造平面角； （Ⅲ）首先認(rèn)知這四點(diǎn)的特殊性，而后刻意化生為熟。江蘇卷）如圖，在五棱錐S－ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE= ,∠BAE=∠BCD=∠CDE=120176。這里能否證出 ，還要認(rèn)知底面多邊形切入?！ ∫虼?，△BFE為正三角形， ∴∠FBE=∠FCD=60176。所以BE=2 .從而cos∠SBE= ， ∴∠SBE=arccos . 所以異面直線CD與SB所成的角為arccos . ?。á颍┯深}意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120176。所以BC⊥BA ∵SA⊥底面ABCDE，BC 底面ABCDE， ∴SA⊥BC，又SA∩BA=A， ∴BC⊥平面SAB?！ 」省鰾FE為正三角形。 ∵AB∩SA=A， ∴BC⊥平面SAB。28。由此，在確認(rèn)底面有關(guān)線段間的垂直關(guān)系時(shí)，便將研究四邊形（或五邊形）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究三角形問(wèn)題，這是化繁為簡(jiǎn)，化生為熟，化難為易的轉(zhuǎn)化，也為（ II ）中論證出 埋下伏筆?！ 唷螦BC=90176?！ 唷鰿DF為正三角形，∴CF=DF。又∠FBE=60176?！ 逽A⊥底面ABCDE，且SA=AB=AE=2， ∴SB=2 ，同理SE=2 。 ∴△CDF為正三角形，∴CF=DF。為推證猜想中的BE//CD，也為了將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，考慮在底面ABCDE內(nèi)延長(zhǎng)BC與DE交于點(diǎn)F，解題由此進(jìn)入熟悉的境地?！ 。?）對(duì)于（Ⅲ），在認(rèn)定球面上四點(diǎn)P、A、B、C滿足條件PA、PB、PC兩兩互相垂直之后，解題便實(shí)現(xiàn)了“化生為熟”，進(jìn)入人們所熟悉的情境。在直面構(gòu)造或?qū)ひ捰龅嚼щy時(shí)，常運(yùn)用這一策略；解法二通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求解言簡(jiǎn)意賅，當(dāng)然是這一類問(wèn)題的最簡(jiǎn)解法?！ ?.（2005 4.（2005 由△EGH∽△BGA可知EG= GB，EG= EB，AG= AC= . 由△EGH∽△EBF可知GH= BF= . ∴sin∠GAH= = . ∴AC與平面AEF所成的角為arcsin 方法二： 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長(zhǎng)為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系. ?。á瘢┳C明： 設(shè)E（a，0，0）其中a0， 則C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0）， P（0，0，1），F(xiàn)（a， ， ）. =（0， ， ）， =（2a，1，1）， =（2a，0，0）?！ 郋F⊥FA. ∵PB、FA為面平PAB內(nèi)的相交直線?！ 郣t△BCE≌Rt△PDE ∴PE=BE?！ 。á瘢┣笞C：EF⊥平面PAB； ?。á颍┰O(shè) ，求AC與平面AEF所成的角的大小。一般地，當(dāng)你人為地構(gòu)造出某一圖形之后，都需要認(rèn)知并利用這一圖形的特殊屬性來(lái)解題； 對(duì)于（ III ），首先直接構(gòu)造出 ，而后再證明它是所求二面角的平面角?！ 」仕蟮亩娼菫閍rccos(－ ). 方法二： 因?yàn)镻A⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1, ). (Ⅰ)證明：因 =（0，0，1）， =（0，1，0），故 ，所以AP⊥DC 又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線， 由此得DC⊥面PAD，又DC在面PCD內(nèi)， ∴面PAD⊥面PCD?！ 逤B⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB,所以CM=AM?！ ∵B結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE= ，又AB=2， 所以四邊形ACBE為正方形?！ 》椒ㄒ唬骸 。á瘢┳C明： ∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂線定理得：CD⊥PD?！ ?.（2005 ?。?）連結(jié) 交EG于點(diǎn)P，則P為EG的中點(diǎn)，連結(jié)FP?！ 》治觯簽?
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