北京四中高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題二十八簡單幾何體-全文預(yù)覽
【正文】 了表示（1）中目標(biāo)，需要構(gòu)造平面ABC的垂線，而一旦尋出或作出平面ABC的垂線之后，又可以此為基礎(chǔ)作出已知的側(cè)面 與底面ABC所成二面角的平面角?！ ?只需S1＞S4 ∴ ，解得 即 ∴ 所求a的取值范圍為 三、解答題 1.（2005 （1）將側(cè)面 和 展開成平面圖形 此時(shí) ?。?）將側(cè)面 與底面 展開成平面圖形 此時(shí)由 得B，B1，C1三點(diǎn)共線，取BB1中點(diǎn)為D， 則 ?。?）將側(cè)面 和底面 展開成平面圖形，仿（2）可得 此時(shí) 于是可得所求最短距離為 3.（2005對于①，由題設(shè)得各側(cè)面上底邊上的高相等，因而各側(cè)棱相等，故為正三棱錐；對于②，側(cè)面上PA=PB=AB=BC=CA≠PC滿足題設(shè)，但不是正三棱錐；對于③，以②中的反例為基礎(chǔ)考察側(cè)面面積相等的情形，可知它為假命題；對于④，由題設(shè)知頂點(diǎn)在底面上的射影既是底面正三角形的外心，又是它的內(nèi)心，故此時(shí)的三棱錐為正三棱錐，于是得答案為①④。 ∴ ，應(yīng)選C?！ ?.（2005 注意到 ，欲求 ，首先尋找三棱錐OBCD的高OP 與正四面體的高AP的聯(lián)系，從構(gòu)造相似 切入?！ ∮终睦忮FPABCD的高 ， ∴ 而 ∴ 原幾何體體積為： ， 應(yīng)選A?！ ∮深}設(shè)得 ， ∴ 由 得 ， 由此解得 ，應(yīng)選B。 五、高考真題 （一）選擇題 1.（2005 分析：只要求出球的半徑R，為此，循著與球半徑的由遠(yuǎn)到近的關(guān)系，首先利用已知條件求出正三棱錐底面邊長AB，再而求出球的截面圓（ 的外接圓）半徑，進(jìn)而通過解 求得R的值。 解：由題設(shè)條件知： ， ， ∴ ，BC=1 取BC的中點(diǎn)為D，連結(jié)AD，OD 則 又 ∴ 平面OAD， ∴ 平面 平面OAD，且平面 平面OAD=AD?！ ?， ∴ 平面PBC ∴ 又在 中 ∴ ∴ ∴ ① 同理 ?、凇 ? ?、邸 ?①+②+③得 即 點(diǎn)評：為了溝通底面與側(cè)面的聯(lián)系， 對于（1），構(gòu)造出截面 并認(rèn)識到 ， 為等腰三角形為解題突破的關(guān)鍵； 對于（2），構(gòu)造出截面 并認(rèn)識到PH是 及其斜邊上的高則是上掛下連，化生為熟的重要一環(huán)。 分析： ?。?）為尋找側(cè)面與底面的聯(lián)系，取BC中點(diǎn)為E， 連結(jié)AE、PE，并且令 再連結(jié)AF，則 ， ， 為二面角PBCA的平面角?！ ≡?中， ∴在 中， 即 ∴所求側(cè)面AB1與側(cè)面AC1所成角為 ?。?）在這里，對于只用一個(gè)頂點(diǎn)A的∠A1AC、∠BAC、∠EAB有 （證明從略） ∴ ∴ (4) ∵O為AC中點(diǎn)， ∴ ， 即三棱柱的高為 ， 又 ∴ 點(diǎn)評： ?。?）這里借用了前面所指出的以直線與平面所成角為基礎(chǔ)構(gòu)造的三個(gè)角α，β，γ間的關(guān)系式 ，其中γ是不以斜線射影為邊的角。 解： ?。?） ∴ 為 ，且 。球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長，叫做這兩點(diǎn)的球面距離?！ 。á颍┊?dāng)d=r時(shí)，平面與球面相切?！ ∏虻闹睆剑哼B結(jié)球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑?！ ≌J(rèn)知：由柱體和錐體的體積的閱讀材料可知，任何一個(gè)三棱柱都可以分割成體積相等的三棱錐，反之，以任何一個(gè)三棱錐為基礎(chǔ)都可以補(bǔ)充成同底等高的三棱柱。 ?。?）正棱錐性質(zhì)： （Ⅰ）各側(cè)棱相等；各側(cè)面都是全等的等腰三角形；各等腰三角形底邊上的高（正棱錐的斜高）相等。“有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形”的幾何體不一定是棱錐?！ ±庵姆诸悺 。?）按底面多邊形的邊數(shù)分類：三棱柱、四棱柱、……、n棱柱； ?。?）按側(cè)棱與底面的關(guān)系分類?！ ≡谶@里，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；兩個(gè)面的公共邊叫做棱柱的棱；其中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)；不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對角線；兩個(gè)底面的距離叫做棱柱的高?！ ∪?、知識要點(diǎn) (一）棱柱 棱柱的概念 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。 ?。?）注意區(qū)別兩個(gè)概念： ?、?棱柱的棱與棱柱的側(cè)棱； ?、?棱柱的對角線與棱柱某一面的多邊形的對角線?！ √嵝眩河缮鲜龆x可知，棱錐有兩個(gè)本質(zhì)的特征： （1）有一個(gè)面是多邊形； （2）其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這二者缺一不可?！ ≌忮F （1）正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐?！ ∶娣e與體積 ?。?） 設(shè)正棱錐的底面周長為C，斜高為h′， 則它的側(cè)面積 ?。?）若一個(gè)棱錐所有的側(cè)面與底面組成二面角都等于銳角α，并且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面多邊形的內(nèi)部， 則有 ?。?）設(shè)錐體（棱錐或圓錐）的底面積為S，高為h 則錐體的體積 ?！ 。?）球的元素 球的半徑：連結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑。球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓?！ ∏蛎婢嚯x 在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線的長度，是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度。 分析： 對于（1），為表示所求角，從尋找或構(gòu)造側(cè)面AC1的垂線切入； 對于（2），切入與突破則是利用題設(shè)條件構(gòu)造該二面角的平面角。 ∵BC⊥平面AC1 ∴EC為EB在平面AC1內(nèi)的射影 ∴EB⊥AA1 ∴∠BEC為側(cè)面AB1與側(cè)面AC1所成二面角的平面角 ∵O為AC中點(diǎn)∴在 中，∠A1AO=60176?！ 。?）若三棱錐PABC中，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，又設(shè)P、A、B、C所對面的面積分別S、SSS3，則S= ?！ 。?）為溝通側(cè)面與底面的聯(lián)系，過點(diǎn)P作 平面ABC于H，連結(jié)AH并延長交BC于D，連結(jié)PD?！ 》治觯哼@里已知球半徑R=1，要求球心到截面的距離d，首先需要認(rèn)知截面 ，進(jìn)而認(rèn)知 的外心（截面圓圓心）?！ ±阎忮FPABC的側(cè)棱長為l，相鄰兩側(cè)棱的夾角為 ，求它的外接球的體積。因此，面對圖形中的線段PA，要想到它是大圓的弦，因而利用圓的弦的性質(zhì)去解題，這是此類問題溝通聯(lián)系的關(guān)鍵。 設(shè)點(diǎn)A到平面 的距離為h。為此，取EF中點(diǎn)為P，連結(jié)PA、PB、PC、PD，則由已知得EPAD，F(xiàn)PBC均為正四面體，PABCD為正四棱錐?！ ∵B結(jié)DP并迎長交BC邊于M，則M為BC中點(diǎn)，且M、O、G三 點(diǎn)共線。全國卷 II ）將半徑為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容
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