北京四中高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題二十八簡單幾何體-預(yù)覽頁
【正文】 器里，這個正四面體的高的最小值為（ ） A. B. C. D. 分析：考察4個鋼球在正四面體容器內(nèi)的存在狀態(tài)，注意到正四面體的一個內(nèi)切球的球心到頂點距離為3r，所以，當(dāng)4個球都與正四面體的面相切時，正四面體的高分為三部分：4個鋼球中最上端的球心到頂點的距離為3，下面三個球心到底面的距離為1，中間部分即四個球心構(gòu)成的正四面體的高為 ，于是已知此時正四面體的高為 ，本題應(yīng)選C?！ ?O為四面體ABCD的外接球的球心，球面半徑為 ?！ ∑渲?，真命題的編號是 （寫出所有真命題的編號） 分析：逐一分析各個命題。 分析：注意到幾何體表面上兩點間的最短距離即幾何體表面的某展開圖上對應(yīng)兩點間的直線距離，對直三棱柱相關(guān)表面的展開分類討論?！ 。?）將它們拼成新的三棱柱，只有將它們摞起來一種情形，其全面積為 ； （2）將它們拼成四棱柱，則有三種情形——將兩個相同的三棱柱分別沿其相同的側(cè)面對接，其全面積分別為 ， ， ，顯然S2＞S3＞S4?！ 。?）求 與底面ABC所成的角； ?。?）證明： 平面 ； ?。?）求經(jīng)過AA、B、C四點的球的體積?！ ∮? ∴ AG為 的平分線（證明從略） ∵ AB=AC，∴ 即 而AH是 在底面ABC上的射影 ∴ ∴ 平面 注意到 平面 ，且 ， ∴ ∴ 為二面角ABCE的平面角 ∴ 又四邊形AGEA1為平行四邊形 ∴ 即 與底面所成角為60176。對于（3）解題的關(guān)鍵是認(rèn)知所給四點構(gòu)成正三棱錐，認(rèn)識到這一點，即問題轉(zhuǎn)化為求正三棱錐 的外接球體積，于是，化生為熟便得以實現(xiàn)?！ 》治觯骸 τ冢á瘢?，注意到 面PAD，得證； 對于（Ⅱ），當(dāng)四棱錐內(nèi)難以找到AC或PB的平行線時，要想到在四棱錐外部構(gòu)造AC與PB的平行線； 對于（Ⅲ），則要想到利用（Ⅰ），（Ⅱ）推理中的認(rèn)知與結(jié)論來構(gòu)造或計算二面角的平面角?！ 。á颍┙猓骸 ∵^點B作BE∥CA，且BE=CA， 則∠PBE是AC與PB所成的角?！ ≡赗t△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC， ∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角?！ 郃B=2， ∴cos∠ANB= 。 故所求的二面角為arccos(－ ). 點評： 對于（ II ），突出四棱錐體外，人為地構(gòu)造出□ACBE之后，根據(jù)題設(shè)認(rèn)知這一平行四邊形為正方形是解題的關(guān)鍵。全國卷II）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點。 方法一： ?。á瘢┳C明：連結(jié)EP， ∵PD⊥底面ABCD,DE在平面ABCD內(nèi)， ∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC?！ 唷鱁FP≌△EFA。 AB= ,PA= ，AC= ∴△PAB為等腰直角三角形，且PB=2， F為其斜邊中點，BF=1，且AF⊥PB ∵PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直， ∴PB⊥平面AEF. 連結(jié)BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H， 則GH⊥平面AEF ∠GAH為AC與平面AEF所成的角。 運用解法二，證明（ I ）簡捷明了；解答（ II ）只要想到轉(zhuǎn)化或溝通，其設(shè)想也容易實現(xiàn)，由此可見，適當(dāng)條件下坐標(biāo)法的優(yōu)越性?！ ? ∴解得所求二面角的大小為 點評：對于（ II ），首先構(gòu)造出 ，而后利用已知條件與（ 1 ）的結(jié)果證明它是二面角的平面角，這種“先構(gòu)造，后證明”的策略也是解決幾何問題的基本策略。 方法一： ?。á瘢┰O(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB， ∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角. 在△AOE中，AO=1，OE= ∴ 即AC與PB所成角的余弦值為 . （Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則 . 連PF，則在Rt△ADF中 設(shè)N為PF的中點，連NE，則NE//DF， ∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC. ∴N點到AB的距離 ， N點到AP的距離 方法二： （Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、 B（ ，0，0）、C（ ，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0， ，1）， 從而 設(shè) 的夾角為θ，則 ∴AC與PB所成角的余弦值為 . ?。á颍┯捎贜點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為（x，0，z）， 則 ，由NE⊥面PAC可得， ∴ 即N點的坐標(biāo)為 ， 從而N點到AB、AP的距離分別為1， . 點評：在解法一中，（ II ）中運用迂回戰(zhàn)術(shù)，首先利用已知條件作出平面PAC的垂線DF，再而尋找DF的平行線段DE?！ 。á瘢┳C明： 連結(jié)CF. （Ⅱ） 解法一： 為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則 解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. ≌ ≌ 得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. ∴ 為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則 ?。á螅 〗夥ㄒ唬涸O(shè)PA=x，球半徑為R. ， 的邊長為 解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑. 連結(jié)OA、AD，可知△PAD為直角三角形. 設(shè)AB=x，球半徑為R. 點評： ?。?）對于（Ⅰ），由直角三角形性質(zhì)認(rèn)定 是證明關(guān)鍵，同時它也為（Ⅲ）中認(rèn)知PA、PB、PC兩兩互相垂直奠定基礎(chǔ)。. （Ⅰ）求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）； ?。á颍┳C明BC⊥平面SAB； ?。á螅┯梅慈呛瘮?shù)值表示二面角BSCD的大?。ū拘柌槐貙懗鼋獯疬^程） 分析： ?。?）為尋出所求角，首先尋找CD的平行線。 方法一： （Ⅰ）連結(jié)BE，延長BC、ED交于點F， 則∠DCF=∠CDF=60176?！ 郆E//CD， 所以∠SBE（或其補角）就是異面直線CD與SB所成的角。 所以∠ABE=30176。 ?。á螅┒娼荁SCD的大小為π－arccos . 方法二：（向量解法）： ?。á瘢┻B結(jié)BE，延長BC、ED交于點F，則∠DCF=∠CDF=60176?！ ∫驗椤鰽BE是等腰三角形，且∠BAE=120176。 ?。á螅┒娼荁SCD的大小為 點評：在這里，作輔助線延長BC、ED交于點F是關(guān)鍵一筆（得意之
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