【文章內容簡介】 稿）—矩形折疊問題同學們好，今天我和大家一起研究平面圖形的折疊問題。首先，在最近幾年的中考中題折疊問題中頻頻出現(xiàn)，這對于我們識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求。希望通過今天的討論，使同學們對折疊問題中有關的幾何圖形之間的位置關系和數(shù)量關系有進一步認識；在問題分析和解決的過程中鞏固頭腦中已有的有關幾何圖形的性質以及解決有關問題的方法；并在觀察圖形和探索解決問題的方法的過程中提高分析問題和解決問題的能力。那么，什么是折疊問題呢？這個問題應分兩個方面，首先什么是折疊，其次是和折疊有關的問題。下面我們將對它們分別進行討論一. 折疊的意義1．折疊，就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180186。，使它與另一部分在這條直線的同旁，與其重疊或不重疊；顯然，“折”是過程，“疊”是結果。如圖（1）是線段AB沿直線l折疊后的圖形，其中OB39。是OB在折疊前的位置；圖（2）是平行四邊形ABCD沿著對角線AC折疊后的圖形，△ABC是△AB39。C在折疊前的位置，它們的重疊部分是三角形；(2)圖形在折疊前和折疊后翻折部分的形狀、大小不變，是全等形如圖（1）中OB39。=OB；如圖（2），△AB39。C≌△ABC；(3) 圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的位置關于折痕成軸對稱 如圖（1）OB39。和OB關于直線l成軸對稱；如圖（2）△AB39。C和△ABC關于直線AC成軸對稱。二．和折疊有關的問題圖形經(jīng)過折疊，其翻折的部分折疊前的圖形組合成新的圖形，新的圖形中有關的線段和角的位置、數(shù)量都有哪些具體的關系呢？這就是我們今天要重點討論的問題。下面，我們以矩形的折疊為例，一同來探討這個問題。問題1:將寬度為a的長方形紙片折疊成如圖所示的形狀，觀察圖中被覆蓋的部分△A39。EF.（a）△A39。EF是什么三角形？結論：三角形AE39。F是等腰三角形證明：方法一，∵圖形在折疊前和折疊后是全等的,∴∠1= ∠2,又∵矩形的對邊是平行的∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴A39。E=A39。F三角形AE39。F是等腰三角形方法二：∵圖形在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，只是位置不同∴表示矩形寬度的線段EP和FQ相等，即?A39。EF的邊A39。E和A39。F上的高相等，∴A39。E=A39。F三角形AE39。F是等腰三角形(b)改變折疊的角度α的大小，三角形A39。EF的面積是否會改變？為什么?答：不會改變。分析：α的改變影響了A39。E的長度，但卻不能改變邊A39。E上的高，三角形A39。EF的面積會隨著α 的確定而確定.例一：在上面的圖中，標出點A39。在折疊前對應的位置A,四邊形A39。EAF是什么四邊形？分析：（1）由前面的分析可知A39。與A39。在折疊前的位置A關于折痕EF成軸對稱,所以作A39。關于EF的對稱點即可找到點A（過點A39。作A39。A⊥ EF交矩形的邊于點A）。同學們還可以動手折疊一下，用作記號的方法找到點A。（2）四邊形AEA39。F是菱形證法一：∵ A是A39。在折疊前對應的位置,∴A和A39。關于直線EF軸對稱,∴AA39?！虴F,且AO=A39。O,又∵AE∥A39。F,∴EO∶OF=AO∶OA39。, ∴EO=OF∴四邊形AEA39。F是菱形證法二：A是A39。在折疊前對應的位置,∴?AEF≌?A39。EF,A39。E=A39。E,AF=AF，又∵?AEF是等腰三角形（已證）,A39。E=A39。F,∴AE=AF=A39。E=A39。F,∴四邊形AEA39。F是菱形.,若翻折的角度α=30176。,a=2,求圖中被覆蓋的部分△A39。.。分析：圖中被覆蓋的部分△A39。EF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的寬度2,所以，本題的解題關鍵就是要求出腰A39。F或A39。E的長。答：S四邊形AEA39。F＝2S△A39。EF=(8/3)√3（解答過程略）練一練：當α的大小分別45176。、60176。時，圖中被覆蓋的部分△A39。？例題3. 如圖：將矩形ABCD對折，折痕為MN，再沿AE折疊，把B點疊在MN上，（如圖中1的點P）,若AB=√3,則折痕AE的長為多少？分析：折痕AE為直角三角形ABE的斜邊，故解決本題的關鍵是求PE(或BE)的長。解法一：由折疊的意義可知，AP⊥EP,延長EP交AD于F, 則FE=FA(在問題一中已證)∵ M、N分別是矩形的邊AB和CD的中點，∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,又∠APE= ∠D=90176。, ∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1= ∠2=30176。,∠1=30176?！郃E=2?！?M、N分別是矩形的邊AB和CD的中點，∴MN∥AD ∥BC且AN是AP的一半∴ MN⊥AN∴AE=AF又FE=FA(問題1的結論)∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30176。,∠1=30176?！郃E=2。由BC∥MN∥DA且M、N分別為CD和AB的中點可得EP=PF，EO=AO∴PO=AF，又PO=AE，∴AE=AF∴AE=AF=EF，∠EAF=60176。（其余同上），若M、N分別為CD、AB的三等分點（如圖），AB=√5,其他條件不變，折痕AE的長為多少？分析：本題與上一題略有不同，MN由原來的二等分線變?yōu)槿确志€，其他條件不變。所以本題的解題關鍵還是求出EB(或EP)的長解：延長EP交AD于F, 則FE=FA(已證)∵ M、N分別是矩形的邊AB和CD的三等分點∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,設EP=x, 則PF=2x, AF=EF=3x,在直角三角形APF中有AP178。+PF178。=AF178?！?+(2x)178。=(3x)178。, ∴x=1, ∴AE178。=1+5=6,∴AE=√6例4 如圖3,有一張邊長為3的正方形紙片(ABCD),將其對折,折痕為MN,再將點B折至折痕MN上,落在P點的位置,折痕為AE.(1)求MP的長。(2)求以PE為邊長的正方形的面積.分析：將本題與例題2比較，不難看出它們的共同之處，顯然，解決本題的關鍵是求PE和PN的長解法一：延長EP交AD的延長線于F, 則FE=FA(已證)M、N分別是矩形的邊AB和CD的中點，∴ MN∥AD ∥BC且AN是AP的一半∴MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30176。,∠1=30176。∴PN=(3/2)√3，(1)∴MP=1PN=3(3/2)√3,又AP=3,∴EP=√3，(2)∴以EP為邊長的正方形的面積為3。其他解法請同學們思考。，將矩形ABCD折疊，使C點落在邊AB上，（如圖中的M點），若AB=10,BC=6,求四邊形CNMD的面積分析：本題與上一題區(qū)別在于點C折疊后落在矩形的邊AB上，由折疊的意義可以知道，ΔACN和ΔAMN是全等的，所以，求四邊形CNMD的面積的關鍵就是求ΔDCN或ΔDMN的面積，所以本題的解題關鍵還是求出NC(或BN)的長.解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM==108=2.設NC=x,則MN=x,BN=6x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6x）2+4∴x=10/3S四邊形CNMD=2S△DCN=(10/3)*10=100/3，寬為6的矩形ABCD折疊，使B、D重合，（1）求折痕EF的長。（2）求三角形DEF的面積分析：由矩形折疊的意義可知，EF垂直平分BD（O為BD的中點由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1 ∴O為EF的中點，所以可設法先求出EO的長，或直接求EF的長,進而求三角形DEF面積。解（法一）：∵D、B關于EF成軸對稱∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10又AB∥DC∴EO:OF=DO:OB∴DO=5(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=15/4∴EF=15/2(2)S△DEF=(1/2)EF?DO=(1/2)(15/2)5=75/4解（法二）：(1)過C作CP∥EF，交AB于P∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴CP=10*6/28=15/2∴EF=15/2(2)S△DEF=(1/2)EF?DO=(1/2)(15/2)5=75/4同學們，圖形折疊問題中題型的變化比較多，但是經(jīng)過研究之后不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從今天我們對矩形折疊情況的討論中可以得到以下幾點經(jīng)驗：1．圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，是全等形；2圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的位置關于折痕成軸對稱；成如圖所示的形狀，圖中重疊的部分△AE39。F是等腰三角形；4．解決折疊問題時，要抓住圖形之間最本質的位置關系，從而 進一步發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關系；5．充分挖掘圖形的幾何性質，將其中的基本的數(shù)量關系，用方程的形式表達出來，并迅速求解，這是解題時常用的方法之一。今天的討論就到這里,最后祝同學們在中考中取得好的成績.中