中考必做的36道數(shù)學壓軸題(編輯修改稿)
2025-07-04 13:58 本頁面
【文章內容簡介】 ，（，），第四題“準線”“焦點”頻現(xiàn)身，“居高臨下”明“結構”（例題）（2012四川資陽，25，9分）拋物線的頂點在直線上，過點F的直線交該拋物線于點M、N兩點（點M在點N的左邊），MA⊥軸于點A，NB⊥軸于點B．（1）(3分)先通過配方求拋物線的頂點坐標（坐標可用含的代數(shù)式表示），再求的值；（2）(3分)設點N的橫坐標為，試用含的代數(shù)式表示點N的縱坐標，并說明NF＝NB；（3）(3分)若射線NM交軸于點P，且PAPB＝，求點M的坐標．（第25題圖）答案：解（1）∴頂點坐標為(－2 , )∵頂點在直線上，∴－2+3=，得=2（2）∵點N在拋物線上，∴點N的縱坐標為即點N(,)過點F作FC⊥NB于點C，在Rt△FCN中，F(xiàn)C=+2，NC=NBCB=,∴＝＝=而=＝∴＝，NF=NB（3）連結AF、BF由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的結論知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥軸，NB⊥軸，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180176?！摺鱉AF和△NFB的內角總和為360176。,∴2∠MAF+2∠NBF=180176。，∠MAF+∠NBF=90176。,∵∠MAB+∠NBA=180176。，∴∠FBA+∠FAB=90176。又∵∠FAB+∠MAF=90176?！唷螰BA=∠MAF=∠MFA 又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴，= 過點F作FG⊥軸于點G,在Rt△PFG中，PG==，∴PO=PG+GO=，∴P(－ , 0) 設直線PF：，把點F（－2 , 2）、點P(－ , 0)代入解得=，=，∴直線PF：解方程，得=－3或=2（不合題意，舍去）當=－3時，=，∴M（－3 ,）變式一25．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）頂點為C（1，1）且過原點O．過拋物線上一點P（x，y）向直線y= 作垂線，垂足為M，連FM（如圖）．（1）求字母a，b，c的值；（2）在直線x=1上有一點F(1，)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時△PFM為正三角形；（3）對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在請求出t值，若不存在請說明理由．解：（1）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）頂點為C（1，1）且過原點O，可得=1，=1，c=0，∴a=1，b=2，c=0．（2）由（1）知拋物線的解析式為y=x2+2x，故設P點的坐標為（m，m2+2m），則M點的坐標（m，），∵△PFM是以PM為底邊的等腰三角形∴PF=MF，即（m1）2+（m2+2m）2=（m1）2+（）2∴m2+2m=或m2+2m=，①當m2+2m=時，即4m2+8m5=0∵△=6480=16＜0∴此式無解②當m2+2m=時，即m22m=∴m=1+或m=1Ⅰ、當m=1+時，P點的坐標為（1+，），M點的坐標為（1+，）Ⅱ、當m=1時，P點的坐標為（1，），M點的坐標為（1，），經(jīng)過計算可知PF=PM，∴△MPF為正三角形，∴P點坐標為：（1+，）或（1，）．（3）當t=時，即N與F重合時PM=PN恒成立．證明：過P作PH與直線x=1的垂線，垂足為H，在Rt△PNH中，PN2=（x1）2+（ty）2=x22x+1+t22ty+y2，PM2=（y）2=y2y+，P是拋物線上的點，∴y=x2+2x；∴PN2=1y+t22ty+y2=y2y+，∴1y+t22ty+y2=y2y+，移項，合并同類項得：y+2ty+t2=0，∴y（2t）+（t2）=0對任意y恒成立．∴2t=0且t2=0，∴t=，故t=時，PM=PN恒成立．∴存在這樣的點．變式二（2012山東濰坊，24，11分）如圖12，已知拋物線與坐標軸分別交于A（，0）、B（2，0）、C（0，）三點，過坐標原點O的直線與拋物線交于M、N兩點．分別過點C、D（0，）作平行于x軸的直線ll2．（1）求拋物線對應二次函數(shù)的解析式；（2）求證以ON為直徑的圓與直線l1相切；（3）求線段MN的長（用k表示），并證明M、N兩點到直線l2的距離之和等于線段MN的長．圖12ABCDOMNl1l2【答案】解：（1）設拋物線對應二次函數(shù)的解析式為，由，解得．所以．
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