中考沖刺數(shù)學專題05應(yīng)用型問題含答案(編輯修改稿)
2025-07-04 13:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 面，過了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。A B………（1） 此時，若小杰繼續(xù)在A窗口排隊，則他到達窗口所需的時間是多少（用含的代數(shù)式表示）？（2） 此時，若小杰迅速從A窗口隊伍轉(zhuǎn)移到B窗口隊伍后面重新排隊，且到達B窗口的所花的時間比繼續(xù)在A窗口排隊到達A窗口所花的時間少，求的取值范圍（ 不考慮其它因素）。解答：首先認識到：小杰無論是在A窗口還是在B窗口排隊，他到達窗口所需的時間都決定于已排隊的人數(shù)，因此，本題實際上是個“函數(shù)”問題；其次， 這兩個函數(shù)都好求出，即表示成的代數(shù)式；最后，借助于兩個函數(shù)（即兩個代數(shù)式）的關(guān)系，求出自變量的取值范圍。解：（1）；（2）若此時轉(zhuǎn)到B窗口，則到窗口時共用時間：；令，解得。的取值范圍為。當時，小杰到B窗口比在A窗口用的時間少。本題中兩個代數(shù)式的建立，是“函數(shù)思想”的一種體現(xiàn)。例題14．（2010江蘇泰州）保護生態(tài)環(huán)境，建設(shè)綠色社會已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆樱郴S2009年1 月的利潤為200萬元．設(shè)2009年1 月為第1個月，第x個月的利潤為y萬元．由于排污超標，該廠決定從2009年1 月底起適當限產(chǎn)，并投入資金進行治污改造，導(dǎo)致月利潤明顯下降，從1月到5月，y與x成反比例．到5月底，治污改造工程順利完工，從這時起，該廠每月的利潤比前一個月增加20萬元（如圖）．⑴分別求該化工廠治污期間及治污改造工程完工后y與x之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．⑵治污改造工程完工后經(jīng)過幾個月，該廠月利潤才能達到2009年1月的水平？⑶當月利潤少于100萬元時為該廠資金緊張期，問該廠資金緊張期共有幾個月？解答：⑴①當1≤≤5時，設(shè)，把（1，200）代入，得，即；②當時，所以當＞5時，；⑵當y=200時，20x60=200，x=13，所以治污改造工程順利完工后經(jīng)過135=8個月后，該廠利潤達到200萬元；⑶對于，當y=100時，x=2；對于y=20x60，當y=100時，x=8，所以資金緊張的時間為82=6個月．例題15． 一園林設(shè)計師要使用長度為4的材料建造如圖（1）所示的花圃。該花輔是由四個形狀、大小完全一樣的扇環(huán)面組成，每個扇環(huán)面如圖（2）所示。它是以 點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環(huán)面積最大。（1）求使圖（1）花圃面積為最大時的值及此時花圃面積，其中分別為大圓和小圓的半徑。（2）若，求使圖（2）面積為最大時值。解答：在圖（2）中，扇環(huán)圖形的周長是確定的，所以其圓心角和扇形的面積S都隨值的確定而確定，因此，他們都是的函數(shù)！認清楚了這一點，剩下的問題都可依幾何計算和函數(shù)的性質(zhì)來解決了。 （1） （2）解：（1）若使形如圖（1）花圃面積為最大，則必定要求圖（2）扇環(huán)面積最大。設(shè)圖（2）扇環(huán)的圓心角為，面積為S，根據(jù)題意得：。 。式中在時為最大，最大值為。花圃面積最大時的值為，最大面積為。（2）當時，S取值最大。（度）。在本題，能否認識到S是的函數(shù)，是解法能否啟動的關(guān)鍵！我們年，用函數(shù)解決實際問題，例題16．（2010湖北荊州）國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，某環(huán)保節(jié)能設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)品供不應(yīng)求．若該企業(yè)的某種環(huán)保設(shè)備每月的產(chǎn)量保持在一定的范圍，每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元．已知這種設(shè)備的月產(chǎn)量x（套）與每套的售價（萬元）之間滿足關(guān)系式，月產(chǎn)量x（套）與生產(chǎn)總成本（萬元）存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系. （1）直接寫出與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求月產(chǎn)量x的范圍； （3）當月產(chǎn)量x（套）為多少時，這種設(shè)備的利潤W（萬元）最大？最大利潤是多少？解答：（1）（2）依題意得：解得：25≤x≤40（3）∵∴而253540, ∴當x=35時，即，月產(chǎn)量為35件時，利潤最大，最大利潤是1950萬元．類型三、化歸到幾何模型解決問題例題17．（2010 內(nèi)蒙古包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點．（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？解答：（1）①∵秒，AQCDBP∴厘米，∵厘米，點為的中點，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．②∵， ∴，又∵，則，∴點，點運動的時間秒，∴厘米/秒．（2）設(shè)經(jīng)過秒后點與點第一次相遇，由題意，得，解得秒．∴點共運動了厘米．∵，∴點、點在邊上相遇，∴經(jīng)過秒點與點第一次在邊上相遇． 例題18．馬戲團讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目．．（1）若吊環(huán)高度為2米，支點A為蹺蹺板PQ的中點，獅子能否將公雞送到吊環(huán)上？為什么？（2），在不改變其他條件的前提下移動支柱，當支點A移到蹺蹺板PQ的什么位置時，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上？解答：（1）由三角形的中位線性質(zhì)可知，獅子能將公雞送到吊環(huán)上；（2）由相似三角形性質(zhì)，通過對應(yīng)邊成比例，問題得解.解：（1）獅子能將公雞送到吊環(huán)上．圖1如圖1，當獅子將蹺蹺板P端按到底時可得到Rt△PHQ，∵AB為△PHQ的中位線，AB＝（米）∴QH＝＞2（米）．圖2（2）支點A移到蹺蹺板PQ的三分之一處（PA＝PQ），獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上如圖2，△PAB∽△PQH，∴QH＝3AH＝（米）構(gòu)造三角形，利用三角形的性質(zhì)解決應(yīng)用形問題，是中考的命題熱點之一.【技巧提煉】 “由非數(shù)學到數(shù)學”，就是將實際問題歸屬到對應(yīng)的數(shù)學模型，是化歸思想的典型表現(xiàn)，絕大多數(shù)情況下，或化歸到函數(shù)模型，或化歸到方程（不等式）模型，或化歸到基本圖形（特
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