三角法及向量法解平面幾何題(正)(編輯修改稿)
2025-07-04 13:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 注意到sinA＝sin∠BEC，＝tan∠AEC＝tanB，＝tan∠AEB＝tanC．因此＝tanB?tanC． ②由①、②得tanB?tanC＝．例10 在□ABCD的每個(gè)邊上取一點(diǎn)，若以所取的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于平行四邊形面積的一半，則該四邊形至少有一條對(duì)角線平行于平行四邊形的邊．證 如圖，設(shè)∠DAB＝α，AD＝a，AB＝b．由面積公式得S△AKN＝AK?ANsinα，S△BLK＝BL?（b－AK）?sinα，S△CLM＝（a－BL）（b－MD）?sinα，S△DMN＝（a－AN）?MD?sinα，S□ABCD＝absinα．于是 SLMNK＝ S□ABCD－（S△AKN＋S△BLK＋S△CLM＋S△DMN）＝absinα?[1－]．由SLMNK＝ absinα，得（AN－BL）（AK－MD）＝0．故AN＝BL，或AK＝MD，也就是說(shuō)LN∥AB或KM∥AD．例11在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足∠BAE＝∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長(zhǎng)AE交三角形ABC的外接圓于D點(diǎn)．證明：四邊形AMDN與△ABC面積相等．證 連結(jié)MN、BD，因?yàn)镕M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，所以A、M、F、N四點(diǎn)共圓．所以∠AMN＝∠AFN，∠AMN＋∠BAE＝∠AFN＋∠CAF＝90176。，即MN⊥AD，SAMDN＝AD?MN．又因?yàn)椤螩AF＝∠BAD，∠ACF＝∠ADB，所以△AFC∽△ABD，所以，AF?AD＝AB?AC．而AF?sin∠BAC＝MN，AF＝，所以S△ABC＝AB?Acsin∠BAC＝AF?ADsin∠BAC＝AD?MN＝SAMDH．例12 如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G．求證：∠GAC＝∠EAC．證 連結(jié)BD交AC于H，對(duì)△BCD用塞瓦定理有：．因?yàn)锳H是∠BAD的角平分線，由角平分線定理有：．故設(shè)∠BAC＝∠DAC＝α（α∈），設(shè)∠GAC＝∠1，∠EAC＝∠2，由張角公式有：，于是，即sin∠1?sin（α－∠2）＝sin∠2?sin（α－∠1），所以sin∠1?sinαcos∠2－sin∠1?cosαsin∠2＝sin∠2?sinαcos∠1－sin∠2?cosαsin∠1．所以sin∠1?cos∠2＝cos∠1?sin∠2，即sin（∠1－∠2）＝0，而∠1，∠2∈，所以∠1－∠2＝0，即∠GAC＝∠EAC．情景再現(xiàn)6 已知在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BC＝CD．求證：AC2＝AB?AD＋BC2．7 在△ABC中，若D是BC上一點(diǎn)，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，則 第27講作業(yè)1．在△ABC中，acosB=bcosA是△ABC為等腰三角形的 ( ) A．必要但不充分條件 C．充分必要條件 2．設(shè)A是△ABC中的最小角，那么函數(shù)y＝sinA－cosA的值域?yàn)椋? ）A.[－，] B.（－1，） C.（－1， D.[－1，]3．ΔABC中，AB=AC，AB邊上的高為，AB邊上的高與BC的夾角為60186。，則ΔABC的面積是( ) A． B． C．2 D．38．船以32海里/時(shí)的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船北偏東30186。，半小時(shí)后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東75186。，則燈塔S與B點(diǎn)的距離為______海里（）。，判斷△ABC的形狀(1)acosA＝bcosB(2)sin2?。玸in2B＝sin2C，且c＝2acosB5. 在△ABC中，若a2＝b（b＋c），則A與B有何關(guān)系?6. 在△ABC中，求證7. 在△ABC中，已知2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ①證明 cos2A＋3cosA＋3cos（B－C）＝1 ②求：a∶b∶c8. 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，且 ，求cos的值 9.△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c順序成等差數(shù)列，且∠A∠C=120176。，求sinA，sinC．⊙O的半徑為R，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有成立，求△ABC面積S的最大值．11在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長(zhǎng)，已知
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