【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 最大值 ? 【解析】如圖乙所示 , 當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成 θ角的 C 時(shí) , 重力的功率 : P=mgv cos α =mgv sin θ 乙 小球從水平位置到圖中 C 位置時(shí) , 由機(jī)械能守恒有 mgL cos θ =12mv2 解得 : P=mg 2 ?? ?? cos ?? si n2θ 令 y= cos θ sin2 θ 因?yàn)?y= cos θ sin2 θ= 12( 2 co s2θ si n4θ ) = 12( 2 co s2θ si n2θ si n2θ ) 又因?yàn)?2cos2 θ + sin2 θ + sin2 θ = 2 ( sin2 θ + cos2 θ ) = 2 ( 定值 ) 所以當(dāng)且僅當(dāng) 2cos2 θ = sin2 θ 時(shí) , y 有最大值 由 2cos2 θ = 1 cos2 θ 得 cos θ = 33 即 : 當(dāng) cos θ = 33時(shí) , 功率 P 有最大值。 【答案】當(dāng)細(xì)繩與豎直方向的夾角余弦值為 cos θ = 33時(shí) , 重力的瞬時(shí)功率取得最大值 【點(diǎn)評(píng)】重力的瞬時(shí)功率與物體速度及速度和重力間的夾角有關(guān) , 正確找到重力的瞬時(shí)功率的表達(dá)式是解題的前提 ,利用不等式求極值成為解題的關(guān)鍵所在。 二、圖象求解法 中學(xué)物理中一 些比較抽象的習(xí)題常較難求解 , 若能與數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合 , 再恰當(dāng)?shù)匾胛锢韴D象 , 則可變抽象為形象 ,突破難點(diǎn)、疑點(diǎn) , 使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化。圖象法是歷年高考考查的熱點(diǎn) , 因而在復(fù)習(xí)中要密切關(guān)注圖象 , 掌握?qǐng)D象的識(shí)別、繪制等方法。 利用圖象法解題不僅思路清晰 , 而且在很多情況下可使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化 , 比解析法更巧妙、更靈活。甚至可能在有些情況下運(yùn)用解析法無(wú)能為力 , 但是運(yùn)用圖象法則會(huì)豁然開(kāi)朗。 利用圖象描述物理過(guò)程更直觀 , 題目中物理過(guò)程的動(dòng)態(tài)特征往往可以從物理圖象上比較直觀地觀察出來(lái)。 利用物理圖象分析物理實(shí)驗(yàn)。運(yùn)用圖象處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種方法 , 這是因?yàn)樗司哂泻?jiǎn)明、直觀、便于比較和可減小偶然誤差的特點(diǎn)外 , 還可以由圖象求解第三個(gè)相關(guān)物理量 , 尤其是無(wú)法從實(shí)驗(yàn)中直接得到的結(jié)論。 按圖形形狀整個(gè)高中教材中的圖象可分為許多類(lèi)型 , 下面我們對(duì)高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧 ,以期對(duì)物理圖象有個(gè)較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和歸納。 運(yùn)用圖象法解題要注意理解圖象中的“點(diǎn)”“線(xiàn)”“斜率”“截距”“面積”的物理意義。 點(diǎn) : 圖線(xiàn)上的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)研究對(duì)象的一個(gè)狀態(tài)。要特別注意“起點(diǎn)”“終點(diǎn)”“拐點(diǎn)”“交點(diǎn)” , 它們往往對(duì)應(yīng)著一個(gè)特殊狀態(tài)。如有的速度圖象中 , 拐點(diǎn)可能表示速度由增大 ( 減小 ) 變?yōu)闇p小 ( 增大 ), 即加速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻 , 而速度圖線(xiàn)與時(shí)間軸的交點(diǎn)則代表速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻。 線(xiàn) : 注意觀察圖線(xiàn)是直線(xiàn)、曲線(xiàn)還是折線(xiàn)等 , 從而弄清圖象所反 映的兩個(gè)物理量之間的關(guān)系。 斜率 : 表示縱、橫坐標(biāo)上兩物理量的比值。常有一個(gè)重要的物理量與之對(duì)應(yīng) , 用于求解定量計(jì)算中所對(duì)應(yīng)的物理量的大小以及定性分析變化的快慢。如 v t 圖象的斜率表示加速度。 截距 : 表示縱、橫坐標(biāo)兩物理量在“邊界”條件下物理量的大小。由此往往可得到一個(gè)很有意義的物理量。如電源的 U I 圖象反映了 U=E Ir 的函數(shù)關(guān)系 , 兩截距點(diǎn)分別為 ( 0 , E )和 (????, 0 ) 。 面積 : 有些物理圖象的圖線(xiàn)與橫軸所圍的面積往往代表一個(gè)物理量的大小。如 v t 圖象中面積表示位移。 如圖甲所示 , 小球從斜面的頂 點(diǎn) O 勻加速下滑到斜面底端 C , A 、 B 是下滑途中小球經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)。已知 A 、 B間的距離為 s 1 , B 、 C 間的距離為 s 2 , 小球通過(guò) AB 段的時(shí)間與通過(guò) BC 段的時(shí)間相等 , 求 OA 段的距離。 甲 【解析】根據(jù)題意做出小球運(yùn)動(dòng)的 v t 圖象如圖乙所示 ,設(shè)圖象中Δ a 1 b 2 b 1 的面積為 s 0 , 則 s 0 =12a 1 b 2 b 1 b 2 乙 由于 a 1 b 2 =ab , 所以 b 1 b 2 =2 ??0?? ?? 由三角形相似知 , 相似三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)邊之比的平方。因?yàn)棣?Obb 1 ~ Δ a 1 b 2 b 1 所以??0?? + ??1= (??1??2?? ??1)2 由圖象可知線(xiàn)段 bb 1 是梯形 aa 1 c 1 c 的中位線(xiàn) , 由梯形面積公式可知 s 1 +s 2 =bb 1 2 ab 所以 bb 1 =??1+ ??22 ?? ?? 又因?yàn)?s 0 =12( s 2 s 1 ) 解得 s=( 3 ??1 ??2)28 ( ??2 ??1)。 【答案】( 3 ??1 ??2)28 ( ??2 ??1) 【點(diǎn)評(píng)】用圖象法解題可將物理量間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系 , 運(yùn)用圖象直觀、簡(jiǎn)明的特點(diǎn) , 這樣不但快 速、準(zhǔn)確 ,而且還可以避免繁雜的中間運(yùn)算過(guò)程 , 甚至可以解決用計(jì)算分析無(wú)法解決的問(wèn)題。 三、數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)方法中的一種 , 它在解決物理問(wèn)題時(shí) ,也就是進(jìn)行逐步分析 , 找出一般規(guī)律。在物理試題中 , 經(jīng)常有反復(fù)多次發(fā)生的事件 , 在反復(fù)的過(guò)程中 , 只有量變而無(wú)質(zhì)的變化 , 這類(lèi)問(wèn)題多用數(shù)學(xué)歸納法解決。 數(shù)學(xué)歸納法常常與等差或等比數(shù)列緊密聯(lián)系。等差、等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式 S n =?? ( ??1+ ????)2=na 1 +?? ( ?? 1 )2d ( d 為公差 ) 、S n =??1( 1 ????)1 ??( q 為公比 , 且 q ≠ 1 ) 。 凡涉及數(shù)列求解的物理問(wèn)題都具有多過(guò)程、重復(fù)性的特點(diǎn) , 但每一個(gè)重復(fù)過(guò)程均不是原來(lái)過(guò)程的完全重復(fù) , 而是一種變化了的重復(fù)。隨著物理過(guò)程的重復(fù) , 某些物理量逐步發(fā)生著 “前后有聯(lián)系的變化”。通常從特殊情況出發(fā) , 類(lèi)推出一般情況下的規(guī)律 , 進(jìn)而使問(wèn)題得到解決。該類(lèi)問(wèn)題求解的基本思路 : ① 逐個(gè)分析開(kāi)始的幾個(gè)物理過(guò)程 。 ② 利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式 ( 這是解題的關(guān)鍵 )。 ③ 最后分析整個(gè)物理過(guò)程 , 應(yīng)用數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律求解。 一小球從 h 0 = 45 m 高處自由下落 , 著地后又彈起 ,然后又下落 , 每與地面相碰 一次 , 速度大小就變化為原來(lái)的k 倍。若 k=12, 求小球從下落直至停止運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間。 ( g取 10 m/s2, 碰撞時(shí)間忽略不計(jì) ) 【解析】由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式將小球每碰一次后在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的通項(xiàng)公式求出 , 然后再累加求和。 小球從 h 0 處落到地面時(shí)的速度 : v 0 = 2 ?? ?0, 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 : t 0 = 2 ?0?? 第一次碰地后小球反彈的速度 : v 1 =kv 0 =k 2 ?? ?0 小球在再次與地面碰撞之前做豎直上拋運(yùn)動(dòng) , 這一過(guò)程小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 : t 1 =2 ??1??= 2 k 2 ?0?? 則第 n 次碰地后 , 小球的運(yùn)動(dòng)速度的通項(xiàng)公式 為 : v n =kn 2 ?? ?0 運(yùn)動(dòng)時(shí)間 : t n =2 ??????= 2 kn 2 ?0?? 所以 , 小球從下落到停止運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為 : t=t 1 +t 2 + … = 2 ?0??+ 2 k 2 ?0??+ 2 k2 2 ?0??+ …= 2 ?0??+ 2 2 ?0??( k+k2+ … +kn+ … ) 上式括號(hào)中是一個(gè)無(wú)窮等比遞縮數(shù)列 , 由無(wú)窮等比遞縮數(shù)列求和公式 , 并代入數(shù)據(jù)得 t= 9 s 。 【 答案】 9 s 【點(diǎn)評(píng)】該類(lèi)問(wèn)題求解的基本思路 : ① 逐個(gè)分析開(kāi)始的幾個(gè)物理過(guò)程 。 ② 利用歸納法從中找出物理量的變化通項(xiàng)公式 ( 這是解題的關(guān)鍵 ), 最后分析整個(gè)物理過(guò)程 , 應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律解決物理問(wèn)題 。 ③ 無(wú)窮數(shù)列的求和 , 一般是無(wú)窮等比遞縮數(shù)列 , 有相應(yīng)的公式可用。 四、導(dǎo)數(shù)微元法 利用微分思想的分析方法稱(chēng)為微元法。它是將研究對(duì)象( 物體或物理過(guò)程 ) 進(jìn)行無(wú)限細(xì)分 , 再?gòu)闹谐槿∧骋晃⑿卧M(jìn)行討論 , 從而找出被研究對(duì)象的變化規(guī)律的一種思想方法。 利用微元法的解題思路可概括為選取“微元” , 將瞬時(shí)變化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平均變化問(wèn)題 , 避開(kāi)直接求 瞬時(shí)變化問(wèn)題的困難 。 再利用數(shù)學(xué)“微積分”知識(shí) , 將平均變化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)變化問(wèn)題 , 既完成求解問(wèn)題的“轉(zhuǎn)化”又能保證所求問(wèn)題性質(zhì)不變且求解更簡(jiǎn)單。即采取了從對(duì)事物的極小部分 ( 微元 ) 分析入手 , 達(dá)到解決事物整體的方法。具體可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行 : ① 選取微元 。 ② 視微元為恒定 , 運(yùn)用相應(yīng)的規(guī)律給出待求量對(duì)應(yīng)的微元表達(dá)式 。 ③ 在微元表達(dá)式的定義域內(nèi)施以疊加演算 , 進(jìn)而求得待求量。 如圖所示 , 兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上 , 導(dǎo)軌間距為 l 、足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì) , 導(dǎo)軌所在平面的傾角為 α , 條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為 d , 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為 2 d 的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線(xiàn)框連接在一起組成圖示裝置 , 總質(zhì)量為 m , 置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為 I 的電流 ( 由外接恒流源產(chǎn)生 , 圖中未畫(huà)出 ) 。線(xiàn)框的邊長(zhǎng)為 d ( dl ), 電阻為 R ,下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合。將裝置由靜止釋放 , 導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回 , 導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直。重力加速度為 g 。求 : ( 1 ) 裝置從釋放到開(kāi)始返回的過(guò)程中 , 線(xiàn)框中產(chǎn)生的焦耳熱 Q 。 ( 2 ) 線(xiàn)框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間 t 1 。 ( 3 ) 經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后 , 線(xiàn)框上邊與磁場(chǎng)區(qū) 域下邊界的最大距離 x m 。 【解析】 ( 1 ) 設(shè)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界的過(guò)程中 , 作用在線(xiàn)框上的安培力做功為 W 由動(dòng)能定理 : mg sin α 4 d+W BI ld = 0 且 Q= W 解得 : Q= 4 mgd sin α BI ld 。 ( 2 ) 設(shè)線(xiàn)框剛離開(kāi)磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為 v 1 , 則接著向下運(yùn)動(dòng) 2 d 由動(dòng)能定理 : mg sin α 2 d BI ld = 0 12m ??12 裝置在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的合力 : F=mg sin α F39。 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=Bdv 感應(yīng)電流 I39。 =???? 安培力 F39。 = BI 39。 d 由牛頓第二定律 , 在 t 到 t+ Δ t 時(shí)間內(nèi) , 有Δ v=????Δ t 則 ? Δ v= ? ( g sin α ??2??2???? ??) Δ t 有 v 1 =gt 1 sin α 2 ??2??3?? ?? 解得 : t 1 = 2 ?? ( ?? ?? ?? ?? 2 ?? ?? ?? s i n ?? ) +2 ??2??3???? ?? s i n ??。 ( 3 ) 經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后 , 線(xiàn)框在磁場(chǎng)下邊界與最大距離x m 之間往復(fù)運(yùn)動(dòng) 由動(dòng)能定理 : mg sin α x m BI l ( x m d ) = 0 解得 : x m =?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? s i n ??。 【答案】 ( 1 ) 4 mgd sin α BI l d ( 2 ) 2 ?? ( ?? ?? ?? ?? 2 ?? ?? ?? s i n ?? ) +2 ??2??3???? ?? s i n ?? ( 3 )?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? s i n ?? 【點(diǎn)評(píng)】“微元法”是分析、解決物理問(wèn)題的常用方法 ,利用“微元法”處理問(wèn)題時(shí) , 需將復(fù)雜的物理過(guò)程分解為眾多微小的、遵循相同規(guī)律的“元過(guò)程” ( 微元 ), 將非理想物理模型變成理想物理模型 , 然后利用必要的數(shù)學(xué)和物理方法處理“元過(guò)程” ( 微元 ), 從而使問(wèn)題得以解決 。 五、幾何圖形法 利用幾何方法求解物理問(wèn)題時(shí) , 常用到的有“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)”“兩點(diǎn)間直線(xiàn)距離最短”“直角三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性