chapt5多速率處理與小波變換(編輯修改稿)
2025-06-09 01:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 理想小波的特性l 對(duì)一般函數(shù)進(jìn)行小波級(jí)數(shù)展開 , 和 Fourier變換一樣有快速算法 ,l 時(shí)頻聚集性 /局部性n 支撐指函數(shù)定義的閉區(qū)間 , 若是有限區(qū)間 — 緊支撐(pact support).相應(yīng)函數(shù)為緊支集函數(shù)n 小波能量大部分聚集在某個(gè)有限區(qū)域內(nèi) , 區(qū)間外 ,小波能量為 amp。時(shí)域上為緊支函數(shù). l 時(shí)頻聚集性由光滑性和消失距保證n 小波光滑性 ↑小波函數(shù)的高頻衰減 ↑n 低頻的衰減對(duì)應(yīng)消失距階數(shù) —N 次可微44常用的連續(xù)小波 Morlet Wavelet?非正交 ,非雙正交 .?近似滿足容許條件?對(duì)稱?Effective support=[4 4], ?Morlet小波是一種復(fù)數(shù)小波，時(shí)頻均具有很好的局部性。45?對(duì)稱 , 非正交 , Compact Support?Effective support=[5 5],?Mexican Hat小波是 Gaussian二階導(dǎo)數(shù)，?時(shí)頻均具有很好的局部性。常用的連續(xù)小波 Mexican hat Wavelet46高消失距階數(shù)正交 ,雙正交 , 緊支撐Support width 2N1, 非對(duì)稱常用的正交連續(xù)小波 Daubechies Wavelet47正交 , 雙正交 (Biorthogonal), 對(duì)稱性Effective support=[8 8], Meyer小波是 在頻域具有緊支集和任意階正則性， 時(shí)頻很好的局部性。常用的正交連續(xù)小波 Meyer Wavelet48多分辨率分析l 20世紀(jì) 80年代 Mallat, Meyer等人提出 multiresolution theoryl 法國(guó)科學(xué)家 的光滑函數(shù)，他用縮放 (dilations)與平移 (translations)均為 2的 j次冪的倍數(shù)構(gòu)造了平方可積的實(shí)空間 L2(R)的規(guī)范正交基，使小波得到真正的發(fā)展 .l 小波變換的主要算法由法國(guó)的科學(xué)家 Stephane Mallat提出 l 1988年在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨率分析 (multiresolution analysis)的概念 , 從空間上形象地說明了小波的多分辨率的特性 l 提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，叫做Mallat算法。該算法統(tǒng)一了在此之前構(gòu)造正交小波基的所有方法，它的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 49多分辨分析基本思想多分辨分析基本思想由母小波按如下方式的伸縮平移可構(gòu)成 L2(R)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基如何構(gòu)造母小波呢？ 1989年， Mallat和 Meyer提出了按多分辨分析的思想來構(gòu)造母小波，其 基本思想 是：q 現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)具有特定性質(zhì)的層層嵌套的閉子空間序列{Vj}j?Z，這個(gè) 閉子空間序列充滿了整個(gè) L2(R)空間。q 在 V0子空間找一個(gè)函數(shù) g(t)，其平移 {g(tk)}k ?Z構(gòu)成 V0子空間的 Riesz基。q 對(duì)函數(shù) g(t)進(jìn)行正交化，得到函數(shù)稱為正交尺度函數(shù) ?(t)。q 由 ?(t)計(jì)算出小波函數(shù) ?(t)。(1)50定義 空間 L2(R )中的多分辨分析是指 L2(R )中的滿足如下條件的一個(gè)子空間序列 多分辨分析 定義定義51定義 令 H是 Hilbert空間， H中的一個(gè)序列 {gj}j?Z是 Riesz基，如果它滿足以下的條件：A和 B分別稱為 Riesz基的上下界， Riesz基又稱為穩(wěn)定基。Riesz基52多分辨空間的關(guān)系53如果 {g(tk)}k?Z是 V0的 Riesz基， 可通過正交化得到 V0空間的函數(shù) ?(t)?V0，使得 {?(tk)}k?Z 構(gòu)成 V0空間的規(guī)范正交基。由伸縮性和平移不變性可知， {?j,k(t)}j,k?Z構(gòu)成 Vj空間的一個(gè)規(guī)范正交基。于是(4)(5)54注意： ?(t)并不是 L2(R )空間的小波函數(shù)，而是與其緊密相關(guān)的尺度函數(shù)， {?j,k(t)}j,k?Z稱為 尺度基 ，多分辨空間序列{Vj}j?Z稱為 尺度空間 ，在 MRA意義下，可由尺度基導(dǎo)出小波基。由 MRA的單調(diào)性可以看出： Vj是 Vj+1的嚴(yán)格子空間，設(shè) Wj是 Vj關(guān)于 Vj+1的正交補(bǔ) (子空間 )，即()55V0 V1V2W1 W2L(R ) W1 V1W2 V2小波空間56意義 對(duì)于一幅圖像，量化級(jí)數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級(jí)數(shù)越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。對(duì)于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來表示，細(xì)節(jié)比較豐富的部分用高分辨率來表示，細(xì)節(jié)比較單一的部分可用低分辨率來表示。 我們可以將不同的量化級(jí)數(shù)構(gòu)成的空間看成不同的多分辨空間 Vj，顯然這些量化空間是相互嵌套的， 從圖像處理的角度，多分辨空間的分解可以理解為圖像的分解，假設(shè)有一幅 256級(jí)量化的圖像，不妨將它看成量化空間 Vj中的圖像，則可理解為 Vj空間中的圖像有一部分保留在 Vj1空間中，還有一部分放在 Wj1空間，57MRA非常抽象，但是它給出了構(gòu)造小波的一般框架。在實(shí)踐中很難通過小波空間直接構(gòu)造小波，但通過 MRA可推導(dǎo)出一個(gè)非常重要的關(guān)系：雙尺度方程，通過求解該方程，使我們有可能求出尺度函數(shù)和小波函數(shù)。由前面的分析，我們知道：(1)(2)雙尺度方程雙尺度方程58方程 (1)和 (2)
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