chapt5多速率處理與小波變換(參考版)
2025-05-16 01:11本頁(yè)面
【正文】 小波的各種應(yīng)用均可分為以下三步：n 對(duì)原始信號(hào)作小波變換，將信號(hào)由空域變換到頻域；n 對(duì)小波系數(shù)做相應(yīng)處理；n 對(duì)處理后的小波系數(shù)做小波逆變換，還原原信號(hào)。另外，小波在諸如信號(hào)去噪、特征提取等多方面均有成功的應(yīng)用。dj1,kdj,kdj+1,k ……cj1,kcj,kcj+1,k …………83 由于 ?Vj+1=Vj?Wj， Vj?Wj，因此 Vj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基與 Wj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基是相互正交的。 {?j,k}j,k?Z和 {?j,k}j,k?Z 分別是兩個(gè)空間的規(guī)范正交基，信號(hào) f(t)?L2(R) 在兩個(gè)空間上都可以做正交投影：快速正交小波變換 Mallat 算法75信號(hào)在小波空間的展開(kāi)為(23)但實(shí)踐中不可能進(jìn)行無(wú)窮次逼近，不妨設(shè) f(t)?VJ，則因?yàn)樗员硎緩某叨?2J到 2j進(jìn)行了 (Jj)次小波分解(jJ)Mallat算法Approximation Details 76實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以一次一次地進(jìn)行小波分解，然后遞推實(shí)現(xiàn) (Jj)次小波分解，不妨記一次小波分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)為(24)77而因?yàn)榇?(24)式得故78從而我們得到如下的遞推公式：(25)79(30)而Cj,k遞推公式80因?yàn)榇?(30)式得故81從而我們得到如下的遞推公式：(31)82通過(guò)公式 (15)和 (17)，可以很快計(jì)算出尺度系數(shù)和小波系數(shù){dj,k,Cj,k}，這就是著名的 Mallat算法：因此，只要確定 VJ空間的初始序列 {cJ,k}k?Z，就可以算出任意空間Vj(jJ)的所有尺度系數(shù)和小波系數(shù)。例如可取(16)可以驗(yàn)證 g(?)滿(mǎn)足 (14)和 (15)，對(duì)應(yīng)的共軛鏡像濾波器為：(17)69因此當(dāng)找到低通共軛鏡像濾波器 {hk}k?Z后，利用公式 (17)馬上可得高通共軛鏡像濾波器 {gk}k?Z。68S. Mallat同時(shí)給出了這樣的結(jié)論：若高通濾波器 g(?)滿(mǎn)足公式 (14)和 (15)，則由公式產(chǎn)生的小波基 {?(tk)}k?Z構(gòu)成 W0空間的規(guī)范正交基。共軛鏡像濾波器。所謂低通是指：當(dāng)信號(hào) f(t)被 {hk}k?Z作用后，其低頻成分能被保留下來(lái)，而高頻成分 (?=?)卻被濾掉了。共軛鏡像濾波器。實(shí)際上， {?(t),?(t)}t?R大量的性質(zhì)都可以由對(duì)應(yīng)的 {h(?),g(?)}??R從頻域上反映出來(lái)，甚至離散小波變換都可以借助濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此小波與濾波器具有緊密的關(guān)系。65步驟步驟 1 尋找滿(mǎn)足雙尺度方程 (1)和 (2)的濾波器 {hk,gk}k?0,1,…,N步驟步驟 2 利用公式 (7)計(jì)算 2?周期函數(shù) h(?)；步驟步驟 3 驗(yàn)證 h(?)是否滿(mǎn)足條件通過(guò)傅立葉反變換求出 ?(t)步驟步驟 6 {?(tk)}k?Z是正交的尺度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的緊支小波由公式(2)計(jì)算。下面給出 W. Lawton的充分條件。64僅有必要條件是不夠的，即 {hk}k?Z除了滿(mǎn)足條件 (12)和(13) 外，還應(yīng)滿(mǎn)足其他條件。這里牽涉到尺度函數(shù) ?(t)與濾波器系數(shù) {hk}k?Z之間的關(guān)系問(wèn)題：q 如果有一個(gè) L2(R)空間的尺度函數(shù) ?(t)，一定能構(gòu)造出雙尺度方程 (1) ，從而找到一組滿(mǎn)足 (1)的濾波器 {hk}k?Z；q 反過(guò)來(lái)，如果有一組濾波器 {hk}k?Z滿(mǎn)足某個(gè)雙尺度方程，由此求解得到的函數(shù)卻不一定是滿(mǎn)足 MRA的尺度函數(shù)，這樣無(wú)法保證雙尺度方程解的平移構(gòu)成 L2(R) Riesz基 若 ?(t)是正交的，則相應(yīng)的濾波器 h有什么性質(zhì)呢？定理定理 若 ?(t)是正交的，則相應(yīng)的濾波器 {hk}必須滿(mǎn)足條件： (12)(13)但是，如果 {hk}僅僅滿(mǎn)足 (12)和 (13) ，并不能保證由雙尺度方程構(gòu)造出的函數(shù) ?(t)是正交尺度函數(shù)。通過(guò)解雙尺度方程 (1)，我們希望得到滿(mǎn)足 MRA的尺度函數(shù) ?(t) ，并最終構(gòu)造出小波函數(shù) ?(t) ，但有兩個(gè)問(wèn)題必須解決：?jiǎn)栴}問(wèn)題 1：： 雙尺度方程 (1)是否有解？解的唯一性如何？問(wèn)題問(wèn)題 2：： 雙尺度方程 (1)的解是否滿(mǎn)足 MRA？ 關(guān)于問(wèn)題 1， I. Daubechies和 Lagarias[7]在 1991年給出了證明。所以只要濾波器的長(zhǎng)度是有限的，我們稱(chēng)對(duì)應(yīng)的小波 ?(t)是緊支小波。60若 k0和 kN時(shí)， hk=0，這樣的濾波器稱(chēng)為有限脈沖響應(yīng)濾波器 (FIR)， FIR濾波器具有好的局部化特性。由 ?(t) 的正交性可得：對(duì)雙尺度方程兩邊取傅立葉變換，可得頻域上的的雙尺度方程：(4)(3)(6)(5)59(8)(7)從信號(hào)處理的角度， h是與 ?(t)對(duì)應(yīng)的低通濾波器， g是與 ?(t) 對(duì)應(yīng)的高同濾波器， {h， g}既可以表示為時(shí)域上的離散序列形式{hk， gk}k?Z，也可以表示為頻域上的 2?周期函數(shù) {h (?)， g(?)}。在實(shí)踐中很難通過(guò)小波空間直接構(gòu)造小波，但通過(guò) MRA可推導(dǎo)出一個(gè)非常重要的關(guān)系：雙尺度方程，通過(guò)求解該方程，使我們有可能求出尺度函數(shù)和小波函數(shù)。對(duì)于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來(lái)表示，細(xì)節(jié)比較豐富的部分用高分辨率來(lái)表示，細(xì)節(jié)比較單一的部分可用低分辨率來(lái)表示。于是(4)(5)54注意： ?(t)并不是 L2(R )空間的小波函數(shù)，而是與其緊密相關(guān)
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