【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 其線性的控制規(guī)律，即其反饋控制作用可以做到與系統(tǒng)狀態(tài)的變化成比例，即 u(t)=KX(t)（實(shí)際上，它是采用狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)），因此這類(lèi)控制易于實(shí)現(xiàn)，也易于駕馭，是很引人注意的一個(gè)課題 . 如果施加于控制系統(tǒng)的參考輸入不變，當(dāng)被控對(duì)象的狀態(tài)受到外界干擾或受到其他因素影響而偏離給定的平衡狀態(tài)時(shí)，就要對(duì)它加以控制，使其 恢復(fù)到平衡狀態(tài) ，這類(lèi)問(wèn)題稱為調(diào)節(jié)器問(wèn)題。\\\\5,28 2. 線性伺服器問(wèn)題 對(duì)被控對(duì)象施加控制，使其狀態(tài) 按照參考輸入的變化而變化 ，這就是伺服器問(wèn)題。 從控制性質(zhì)看以上兩類(lèi)問(wèn)題，雖然有差異，但在尋求最優(yōu)控制的問(wèn)題上，它們有許多一致的地方。 這兩類(lèi)問(wèn)題，又可根據(jù)要求的性能指標(biāo)不同，分為兩種情況： ① 終端時(shí)間有限 的最優(yōu)控制 ： 因?yàn)樗o控制時(shí)間 是有限的，這就限制了終端狀態(tài)，所以終端狀態(tài) 可以是自由的，也可以是受限制的，往往不可能要求 完全固定。此外，該問(wèn)題中性能指標(biāo)應(yīng)該有末值項(xiàng)，因?yàn)榉e分項(xiàng)上限 是有限的。 ②終端時(shí)間無(wú)限 的最優(yōu)控制： 當(dāng)終端時(shí)間 時(shí)，終端狀態(tài) 進(jìn)入到給定的終端穩(wěn)定狀態(tài) ，所以性能指標(biāo)中 不應(yīng)有 末值項(xiàng)，此時(shí)積分項(xiàng)上限 為 。 )( ??ftftt ~0)( ftXft??ft)( ??ft )( ftXfXft?二、終端時(shí)間有限 ( )的線性調(diào)節(jié)器問(wèn)題 設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程由下式表示 () 給定初始條件 ，尋求最優(yōu)控制 u(t)，使性能指標(biāo) 達(dá)到極小值。 根據(jù)上一節(jié)所述的變分法原理求解。 ??ft00 )( XX ?t( ) ( )X t t? ??A X B u01( ) ( )21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2fTfftTTtJ t tt t t t t t dt???? ????X S XX Q X u R u 1．建立龐德亞金方程 首先建立 哈密爾頓函數(shù) () 建立控制方程 () 建立伴隨方程 () 建立貫截方程 () ? ?( ) , ( ) , ( ) ,1122T T T TH t t t t? ? ? ?X u λX Q X u R u λ A X λ Bu)()()( fff ttt SXX ???? ??( ) ( ) ( )() 0TH t t tt? ??? ?R B λu u( ) ( ) ( ) ( )TH t t t t ??? ? ? ?? ?Q X A λX2．建立閉環(huán)控制 使最優(yōu)控制 u(t)作為狀態(tài) 的函數(shù)，建立閉環(huán)控制。由式 ()得 () 假定上面這個(gè)控制作用 u(t)可以用一個(gè)閉環(huán)控制來(lái)代替，而且能滿足伴隨方程式()的條件，設(shè) : () 將其代入式 ()，得 : )(tX)()()( ttt XP??)()()()( 1 tttt T λBRu ??? 式中 () 為反饋增益矩陣。因?yàn)? R(t)、 B(t) 均已知 ,所以求最優(yōu)控制 u(t) 便歸結(jié)為求解矩陣 P(t)。 1? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()Tu t t t t ttt?? ? ? ?R B P XKX1 ( ) ( ) )) (( Ttt tt ?? RK B P P(t) 將式 ()代入式 ()后可得 () 由式 ()和式 ()可得 () 將式 ()代入式 ()可得 : 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ))](X t tt t ttt t t tt??? ???TA X B R B P XA X B u()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tt t tttt t t t??? ? ?Xλ P X Pλ Q X A P X 上式中，由于 ，所以必須有： 式中， P為一個(gè) 對(duì)稱正定矩陣，共有 個(gè)不同類(lèi)項(xiàng)。式 ()為 里卡德 (Ricatti)矩陣方程 ,它是一個(gè)非線性微分方程。 // 1[ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0()TTt t t tt t t t t t t?? ? ???P P A A PP B R B P Q X0)( ?tX1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 . 1 6 )TTt t t tt t t t t t?? ? ? ??P P A A PP B R B P Qn n )1(21 ?nn 求它的解所需的 個(gè)邊界條件，可根據(jù)式()和式 ()給出的 終值條件 求得 : 即 : 于是利用里卡德矩陣方程，可以由已知的 時(shí)的 P 矩陣求出 時(shí)的值。 nSPXPSX???)()()()()(ffffftttttλft0t 從式 ()中解出滿足終端條件的P(t)后，代入式 ()就能將最優(yōu)控制u(t)通過(guò) X(t)的線性反饋關(guān)系表示出來(lái)。如圖 。 由以上分析可見(jiàn)，構(gòu)成 線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的必要條件為： ①系統(tǒng)的狀態(tài)必須是完全能量測(cè)的。 ②反饋矩陣 K 確實(shí)能夠求得，并能夠?qū)? 際實(shí)現(xiàn)。 在通常情況下，短陣 P 由里卡德矩陣方程解出。由于里卡德矩陣方程是一個(gè)非線性微分方程，雖然有一些求解的方法，但是解法很繁，只是在方程形式很簡(jiǎn)單的情況下，才能求得解析形式的解。 如果矩陣 S太大，不易計(jì)算，有時(shí)可利用里卡德逆矩陣微分方程 求解，求解方法如下：令 微分得 : 由上式可得 里卡德逆矩陣方程 為 : 且 : I?? )()( 1 tt PP0?? ?? )()()()( 11 tttt PPPP ??111 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TTt t t tt t t t t t??? ? ?? ? ??P P PR B P PAABQ111 )( ?? ? St fP 為求得線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器得以實(shí)現(xiàn)的 充分條件 ，必須使性能指標(biāo) J的二次變分大于零 ,即 : 02TT1() δ ()21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02fffttJ t tt t t t t t dt??? ? ? ????? ?????XX Q X u R uTSX顯然，要使 ， Q、 R、 S等必須至少為半正定矩陣，同時(shí)由式 ()可見(jiàn)，R必須是可逆的。因此 充分條件 可歸納為：R是正定的， Q和 S至少是半正定的。 4．線性調(diào)節(jié)器的穩(wěn)定性 既然線性調(diào)節(jié)器構(gòu)成了一個(gè)閉環(huán)回路，那么它的穩(wěn)定性如何也必然是人們所關(guān)心的問(wèn)題。 巳知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 02 ?J?uBXAX )()( tt ???按二次型性能指標(biāo) 達(dá)到最小，得到的控制規(guī)律為 則有 ? ? dtttttttttJ fttTTffT ? ???0)()()()()()(21)()(21 uRuXQXSXX)()()()()()()( 1 tttttttu T XKXPBR ???? ?