【文章內(nèi)容簡介】 使早期患者失去治療機會，延誤治療，縮短生命。 因此，在決策時就要把由分類錯誤而引起的損失考慮進去。 一般情況，設 是 個可能的決策集合 是 個自然狀態(tài)集合 表示當自然狀態(tài)為 時，采取決策 所造成的損失。 決策表 損失的數(shù)值一般由專家根據(jù)經(jīng)驗給出。 ? ?01, , ..., aA ? ? ?? a? ?12, , ..., s? ? ??? s? ?|ij? ? ? j?i? 2. 最小風險的 Bayes決策 設 是 X在自然狀態(tài)為 下的條件概率， 是自然狀態(tài)為 的先驗概率，則由 Bayes公式可求得后驗概率 ( | )jpX ? j?X 1( | )pX ?2( | )pX ?3( | )pX ?()jP ? j?( | )jPX? 由 Bayes公式，后驗概率是 ： 式中 假定觀察到一個 ，同時決定采取決策 ，如果真正的狀態(tài)為 ，就會導致產(chǎn)生損失 。 因為 是自然狀態(tài)為 的概率，所以與采取的決策 有關的損失的數(shù)學期望就是： ? ? ? ? ? ?? ?|| jjj p X PPX pX??? ?? ? ? ? ? ?1|ciiip X p X P???? ?X i?j? ? ?|ij? ? ?? ?|jPX? j?i?? ? ? ? ? ?1| | |si i j jjR X P X? ? ? ? ??? ? 是一個平均損失，稱為 條件風險 。每當觀察到一個 X時，我們總可以選取使條件風險極小的決策。如果選取的決策使得平均損失對每一個具體的 X都能盡可能小，則總風險也會達到極小。 最小風險的 Bayes決策規(guī)則： 為了使風險最小，應對于 計算條件風險 并選擇決策，使得 最小。 ? ?|iRX?? ? ? ? ? ?1| | |si i j jiR X P X? ? ? ? ??? ?1, 2,...,ia?? ?|iRX? 對于二類問題， 相當于決策“真正狀態(tài)為 ”，而 相當于決策“真正狀態(tài)為 ”。 記 為當真正狀態(tài)為 而把 誤作真正狀態(tài)時所受到的損失。有 1?1? 2? 2?? ?|ij i j? ? ? ??j? i?? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 2| | |R X P X P X? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?2 2 1 1 2 2 2| | |R X P X P X? ? ? ? ???這時最小風險的 Bayes決策法則就是： 如果 ， 則判定 為真正的狀態(tài)；否則 為真正的狀態(tài)。 或： 如果 ， 則判定 為真正的狀態(tài)；否則 為真正的狀態(tài)。 上式與最小錯誤概率的 Bayes決策比較，有何不同？ 在后驗概率上分別乘以一個損失差作為比例因子。 ? ? ? ?12||R X R X???1? 2?? ? ? ?2 1 1 1 1 1 2 2 2 2( ) | ( ) |P X P X? ? ? ? ? ?? ? ?1? 2? 最小風險的 Bayes決策和最小錯誤概率的 Bayes決策的關系： (1)在二類問題中，若有 即所謂對稱損失函數(shù)的情況，二者一致。 (2)一般的多類問題中，在 01損失函數(shù)的情況時，即 提示：問題的一般性和特殊性。 1 2 2 2 2 1 1 1? ? ? ?? ? ?0,( | )1 , , , 1 , 2 , ,ijiji j i j c? ? ????? ???條件風險為： 使 極小，即使 極大。 兩種決策的結果相同 ( | ) 1 ( | )jijiP X P X???? ? ?? 正確時的條件概率 i?( | )iPX?1( | ) ( | ) ( | )ci i j jjR X P X? ? ? ? ??? ?( | )iRX? NeymanPearson決策 對于兩類別決策，存在兩種可能的分類錯誤： （ 1）把真實狀態(tài)為 的模式分到 類； （ 2）把真實狀態(tài)為 的模式分到 類。 兩種錯誤的概率分別為： 決策應該使 都為最小。 如何做？ 1?1?2?2?211( | )R p X d X??? ?122( | )R p X d X??? ?1? 2? NeymanPearson決策所要解決的問題： 對于二類模式識別問題，保持一種錯誤概率為常數(shù) ，例如 ，而使另一種錯誤概率 達到極小。 這個問題可以看成在 條件下求 的極小值問題。 用什么方法呢？ 0? 20??? 1?20??? 1? 采用 Lagrange乘數(shù)法，約束條件為 ， 構造 Lagrange函數(shù)： 我們的目的就是使 達到極小。即 min 20 0????1 2 0()L ? ? ? ?? ? ?L? ? ? ?211 2 0||RRL p X d X p X d X? ? ? ???? ? ???????對于二類問題，有 所以，