【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 rdE 0?? ?L表示沿閉合路徑線積分 2. 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于零 . 環(huán)路定理 場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式 ? ??LrdE 0??將單位正電荷沿閉合路徑移動(dòng)一周靜電場(chǎng)力作的功為 0 . 場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理的另一種表達(dá)形式 ? ??LdE 0???或 場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理的證明 證畢 E?abLrdFALa c b d a??? ??cdrdEqa c b d a??? ??00?0??? rdEL??電荷 q0 沿任意閉合路徑 acbda 移動(dòng)一周 , 電場(chǎng)力作功 : rdEqa c b??? ?? 0rdEqa c b??? ?? 0rdEqL?? ?? ?0? ?+bdardEq??0? ?adbrdEq??0rdEqL?? ?? ?0由環(huán)路定理證明電場(chǎng)的一個(gè)重要性質(zhì) 反證法： 作功： 與環(huán)路定理矛盾 , 電力線為非閉合曲線 . E?LrdE ?? // 0?? rdE ??0??? rdEL??假設(shè)電力線為閉合曲線 , 將單位正電荷沿電力線移動(dòng)一周 電力線為非閉合曲線 二 . 靜電場(chǎng)力是保守力 , 可引入勢(shì)能即電勢(shì) 能的概念 . 靜電場(chǎng)力的功等于電勢(shì)能增量的負(fù)值 . )( 12 PP EEA ?靜電場(chǎng)力如對(duì)點(diǎn)電荷 點(diǎn)電荷電勢(shì)能 )44(10020021 rqqrqqA??????rqqEP004 ???兩邊同除以 q0： 2. 電勢(shì) )( 1221021PP EErdEqrdFA ????? ????????靜電場(chǎng)力020102100qEqEqrdEqqAPP???????靜電場(chǎng)力靜電場(chǎng)力是保守力 , 保守力作的功等于電勢(shì)能增量的負(fù)值 . 電勢(shì)定義： 0201210 qEqErdEqAPP ??? ????靜電場(chǎng)力0qEU Pa ??????21210UUrdEqA ??靜電場(chǎng)力011 qEU P?022 qEU P?位置 1 的電勢(shì) 位置 2 的電勢(shì) ??????2121 rdEUUU??UqUUqA ??? 0210 )(靜電場(chǎng)力靜電場(chǎng)力的功等于檢驗(yàn)電荷電量與電勢(shì)差的乘積 . 電勢(shì)差 ?U 為單位正電荷從位置 1 移動(dòng)到位置 2 靜電場(chǎng)力作的功 . qUE P ?電場(chǎng)中某點(diǎn)電勢(shì)能等于檢驗(yàn)電荷電量與該點(diǎn)電勢(shì)的乘積 . ① 電勢(shì)是標(biāo)量 , 只有正負(fù)之分 . ② 電勢(shì) 0 點(diǎn)的選取 (有限帶電體 ) 選參考點(diǎn) b 為 0 電勢(shì)點(diǎn)即 則電場(chǎng)中 a 點(diǎn)的電勢(shì) 注意 ,0?bU????baa rdEU參考點(diǎn)????????baba rdEUUU?? a 點(diǎn)的電勢(shì)就是將單位正電荷從場(chǎng)點(diǎn) a 移到參考點(diǎn) b 靜電場(chǎng)力作的功 如電荷分布于有限區(qū)域 , 一般選無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì) 0 點(diǎn) ?????aa rdEU?? a 點(diǎn)的電勢(shì)就是將單位正電荷從場(chǎng)點(diǎn) a 移到無窮遠(yuǎn)處靜電場(chǎng)力作的功 如電荷分布于無限區(qū)域不宜選無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì) 0 點(diǎn) . ③ 正電荷沿電力線移動(dòng) , 從高電勢(shì)到低 電勢(shì) , 電勢(shì)能降低 , 電場(chǎng)力作正功 。 負(fù)電荷沿電力線移動(dòng) , 從高電勢(shì)到低電勢(shì) , 電勢(shì)能升高 , 電場(chǎng)力做負(fù)功 . 三、電勢(shì)的計(jì)算方法 ? ?????PP lEU??dQPr?E? l?d????rlE??drl ?? dd ?rrrrQr??d?? ??20π4 ?rrQrd??? 204 ??rQU0π4 ?? iniUU ???1???ni iirq1 04 ??3. 連續(xù)帶電體 將帶電體分割成無限多個(gè)電荷元， rdqdU04 ???dUUU??體 rdqU04 ????體dVPdq體Vr例 1： 在正方形四個(gè)頂點(diǎn)上各放置 +q、 +q、q、 q 四個(gè)電荷，求正方形中心 o 點(diǎn)的電勢(shì) U。 q+ q+q qo解： 由 ???41 04i iirqU??)(410qqqqr+???0?r第一類問題：點(diǎn)電荷系電勢(shì)的計(jì)算。 例 2： 均勻帶電圓環(huán)，半徑為 R，帶電為 q，求圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì) U。 o xRqxdqdV解：方法 1：疊加法將圓環(huán)分割成無限多個(gè)電荷元： rdqdU04 ???r?? dUUdqrq??0041??環(huán)上各點(diǎn)到軸線等距。 2/1220 )(4 Rxq+???第二類問題：連續(xù)帶電體。方法 1：疊加法 例 3： 均勻帶電圓盤，半徑為 R，帶電為 q，求圓盤軸線上一點(diǎn)的電勢(shì) U。 oRqxyxryPdy解： 將圓盤分割成無限多個(gè)同心圓環(huán)， 電荷面密度 2Rq?? ?dSdq ?? y d y?? 2?2/1220 )(41yxdqdU+???由上題結(jié)論 2/1220 )(241yxy d y+? ?????? dUU2/12200 )(241yxy d yR+?? ????)(2220xRx +???討論： 當(dāng) x R 時(shí)，級(jí)數(shù)展開 ?++?+xRxRx2222xRU2220??? xR024 ?????xq04 ???帶電體距場(chǎng)點(diǎn)很遠(yuǎn)時(shí)，可視為點(diǎn)電荷。 例 4： 均勻帶電球殼半徑為 R，電量為 q，求：球殼內(nèi)、外的電勢(shì)分布。 第三類問題：連續(xù)帶電體。方法 2：定義法 ——具有高度對(duì)稱的場(chǎng) 。 lE dUaa?? ? ?o Rqr高斯面 ErI II r解： I區(qū)：球殼內(nèi)電勢(shì) 選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì) 0點(diǎn)， Rr ?lElE ddURRr ??? ?+?? 211drER?+? ? 20drrqR???2041?? Rq04 ???lE dUr?? ?? 22drEr?? ? 2drrqr???2041?? rq04 ????II區(qū)：球殼外電勢(shì) 選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì) 0 點(diǎn)， Rr ?o Rqr高斯面 ErI II ro RqI II RoEr204 Rq??o RqI II Ro rRq04??U無限帶電體電勢(shì) 0 點(diǎn)不宜選無窮遠(yuǎn) 例： 無限長(zhǎng)帶電直線線電荷密度為 ? ，求電勢(shì)分布。 o rP?解： 無限長(zhǎng)帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)： rE02 ????lE dUPP?? ? ?選無窮遠(yuǎn)為電勢(shì) 0 點(diǎn) E drP?? ? drrr02 ????? ?rdrrUrP02 ???? ??)ln( l n2 0r?????無意義 對(duì)無限帶電體電勢(shì) 0 點(diǎn)不宜選無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，也不選在導(dǎo)體上。 選 Q 點(diǎn)為電勢(shì) 0 點(diǎn) ?? QPP E d rUo rP? r RrRln2 0?????? Rr drr02 ??? Qo rP?Qr RrRUP ln20?????P點(diǎn)在 Q點(diǎn)左側(cè) ,Rr ? 0?PU?P點(diǎn)在 Q點(diǎn)右側(cè) ,Rr ? 0?PU電勢(shì) 0 點(diǎn)位置不同， Up 也不同，反映了電勢(shì)的相對(duì)性。 四、等勢(shì)面、場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系 等勢(shì)面 電場(chǎng)中電勢(shì)相同的各點(diǎn)組成的曲面。 等勢(shì)面 相鄰等勢(shì)面間的電勢(shì)差值相等。 等勢(shì)面與電力線垂直。 等勢(shì)面 + + + + + + + + + 等勢(shì)面 平行板電容器 等勢(shì)面的性質(zhì) 。 證明： 在等勢(shì)面上從 a 點(diǎn)到 b 點(diǎn)移動(dòng)檢驗(yàn)電荷 q0，電場(chǎng)力的功 a blE dqA ba?? ?0lE dU baab ??? 0?0c o s ?? ?E d lba等勢(shì)面 ,0c o s ?? ? lE d?0c o s ?? ?E d lba路徑 dl 在等勢(shì)面上， 等勢(shì)面?E 證畢 作功。 lE dqA ba?? ?0 abUq 0? 0?。 證明： EU2等勢(shì)面 假設(shè) 1–2 dl 為電勢(shì)升的方向。 21 UU ?021 ? UU0c o s21 ?? ?E d l0c o s ??E與 dl反向， lddl為電勢(shì)升的方向。 E的方向?yàn)殡妱?shì)降的方向。 證畢 1場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系 場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)都是描寫電場(chǎng)性質(zhì)的物理量，它們之間必存在某種關(guān)系。 Ua ldnddUU +dUUUba ?lE d???c o sE d l??lEE ??c o sdlEdU l?dldUEl ? lU???為分量 bclUEl ???電場(chǎng)強(qiáng)度在某個(gè)方向上的分量，等于電勢(shì)在此方向上的方向?qū)?shù)的負(fù)值。 nEE ?n0 為法線方向單位矢量。 電場(chǎng)強(qiáng)度等于電勢(shì)在等勢(shì)面法線方向上方向?qū)?shù)的負(fù)值。 a l d n d + b E U dU U ? c 0nnU ????單位： 伏特 /米， V/m 場(chǎng)強(qiáng)的分量： xUEx ???yUEy ???zUEz ???)( kjiEzUyUxU??+??+??? U??梯度算符 g r a d U???g r a d kji zyx ??+??+???lUEl ???由 g r a d U?E電場(chǎng)強(qiáng)度為電勢(shì)梯度的負(fù)值。 注意幾點(diǎn) 1.―–‖表示 E 的方向?yàn)殡妱?shì)降落的方向。 0nE nU???。 ，場(chǎng)強(qiáng)大，電力線也密。 等勢(shì)面疏處，場(chǎng)強(qiáng)小，電力線也疏。 量的分布。 lE dUaa?? ? ?“變化率”， E 與 U 無直接的關(guān)系。 ?場(chǎng)強(qiáng)大處，電勢(shì)不一定大。 ?場(chǎng)強(qiáng)小處，電勢(shì)不一定小。 如兩等量異號(hào)電荷連線中點(diǎn)上。 如兩等量同號(hào)電荷連線中點(diǎn)