【文章內容簡介】 rdE 0?? ?L表示沿閉合路徑線積分 2. 靜電場的環(huán)路定理 靜電場中電場強度沿任意閉合路徑的線積分等于零 . 環(huán)路定理 場強環(huán)路定理的數(shù)學表達式 ? ??LrdE 0??將單位正電荷沿閉合路徑移動一周靜電場力作的功為 0 . 場強環(huán)路定理的另一種表達形式 ? ??LdE 0???或 場強環(huán)路定理的證明 證畢 E?abLrdFALa c b d a??? ??cdrdEqa c b d a??? ??00?0??? rdEL??電荷 q0 沿任意閉合路徑 acbda 移動一周 , 電場力作功 : rdEqa c b??? ?? 0rdEqa c b??? ?? 0rdEqL?? ?? ?0? ?+bdardEq??0? ?adbrdEq??0rdEqL?? ?? ?0由環(huán)路定理證明電場的一個重要性質 反證法： 作功： 與環(huán)路定理矛盾 , 電力線為非閉合曲線 . E?LrdE ?? // 0?? rdE ??0??? rdEL??假設電力線為閉合曲線 , 將單位正電荷沿電力線移動一周 電力線為非閉合曲線 二 . 靜電場力是保守力 , 可引入勢能即電勢 能的概念 . 靜電場力的功等于電勢能增量的負值 . )( 12 PP EEA ?靜電場力如對點電荷 點電荷電勢能 )44(10020021 rqqrqqA??????rqqEP004 ???兩邊同除以 q0： 2. 電勢 )( 1221021PP EErdEqrdFA ????? ????????靜電場力020102100qEqEqrdEqqAPP???????靜電場力靜電場力是保守力 , 保守力作的功等于電勢能增量的負值 . 電勢定義： 0201210 qEqErdEqAPP ??? ????靜電場力0qEU Pa ??????21210UUrdEqA ??靜電場力011 qEU P?022 qEU P?位置 1 的電勢 位置 2 的電勢 ??????2121 rdEUUU??UqUUqA ??? 0210 )(靜電場力靜電場力的功等于檢驗電荷電量與電勢差的乘積 . 電勢差 ?U 為單位正電荷從位置 1 移動到位置 2 靜電場力作的功 . qUE P ?電場中某點電勢能等于檢驗電荷電量與該點電勢的乘積 . ① 電勢是標量 , 只有正負之分 . ② 電勢 0 點的選取 (有限帶電體 ) 選參考點 b 為 0 電勢點即 則電場中 a 點的電勢 注意 ,0?bU????baa rdEU參考點????????baba rdEUUU?? a 點的電勢就是將單位正電荷從場點 a 移到參考點 b 靜電場力作的功 如電荷分布于有限區(qū)域 , 一般選無窮遠處為電勢 0 點 ?????aa rdEU?? a 點的電勢就是將單位正電荷從場點 a 移到無窮遠處靜電場力作的功 如電荷分布于無限區(qū)域不宜選無窮遠處為電勢 0 點 . ③ 正電荷沿電力線移動 , 從高電勢到低 電勢 , 電勢能降低 , 電場力作正功 。 負電荷沿電力線移動 , 從高電勢到低電勢 , 電勢能升高 , 電場力做負功 . 三、電勢的計算方法 ? ?????PP lEU??dQPr?E? l?d????rlE??drl ?? dd ?rrrrQr??d?? ??20π4 ?rrQrd??? 204 ??rQU0π4 ?? iniUU ???1???ni iirq1 04 ??3. 連續(xù)帶電體 將帶電體分割成無限多個電荷元， rdqdU04 ???dUUU??體 rdqU04 ????體dVPdq體Vr例 1： 在正方形四個頂點上各放置 +q、 +q、q、 q 四個電荷，求正方形中心 o 點的電勢 U。 q+ q+q qo解： 由 ???41 04i iirqU??)(410qqqqr+???0?r第一類問題：點電荷系電勢的計算。 例 2： 均勻帶電圓環(huán)，半徑為 R，帶電為 q，求圓環(huán)軸線上一點的電勢 U。 o xRqxdqdV解：方法 1：疊加法將圓環(huán)分割成無限多個電荷元： rdqdU04 ???r?? dUUdqrq??0041??環(huán)上各點到軸線等距。 2/1220 )(4 Rxq+???第二類問題：連續(xù)帶電體。方法 1：疊加法 例 3： 均勻帶電圓盤，半徑為 R，帶電為 q，求圓盤軸線上一點的電勢 U。 oRqxyxryPdy解： 將圓盤分割成無限多個同心圓環(huán)， 電荷面密度 2Rq?? ?dSdq ?? y d y?? 2?2/1220 )(41yxdqdU+???由上題結論 2/1220 )(241yxy d y+? ?????? dUU2/12200 )(241yxy d yR+?? ????)(2220xRx +???討論： 當 x R 時，級數(shù)展開 ?++?+xRxRx2222xRU2220??? xR024 ?????xq04 ???帶電體距場點很遠時，可視為點電荷。 例 4： 均勻帶電球殼半徑為 R，電量為 q，求：球殼內、外的電勢分布。 第三類問題：連續(xù)帶電體。方法 2：定義法 ——具有高度對稱的場 。 lE dUaa?? ? ?o Rqr高斯面 ErI II r解： I區(qū)：球殼內電勢 選無窮遠為電勢 0點， Rr ?lElE ddURRr ??? ?+?? 211drER?+? ? 20drrqR???2041?? Rq04 ???lE dUr?? ?? 22drEr?? ? 2drrqr???2041?? rq04 ????II區(qū)：球殼外電勢 選無窮遠為電勢 0 點， Rr ?o Rqr高斯面 ErI II ro RqI II RoEr204 Rq??o RqI II Ro rRq04??U無限帶電體電勢 0 點不宜選無窮遠 例： 無限長帶電直線線電荷密度為 ? ，求電勢分布。 o rP?解： 無限長帶電直線的場強： rE02 ????lE dUPP?? ? ?選無窮遠為電勢 0 點 E drP?? ? drrr02 ????? ?rdrrUrP02 ???? ??)ln( l n2 0r?????無意義 對無限帶電體電勢 0 點不宜選無窮遠點，也不選在導體上。 選 Q 點為電勢 0 點 ?? QPP E d rUo rP? r RrRln2 0?????? Rr drr02 ??? Qo rP?Qr RrRUP ln20?????P點在 Q點左側 ,Rr ? 0?PU?P點在 Q點右側 ,Rr ? 0?PU電勢 0 點位置不同， Up 也不同，反映了電勢的相對性。 四、等勢面、場強與電勢的微分關系 等勢面 電場中電勢相同的各點組成的曲面。 等勢面 相鄰等勢面間的電勢差值相等。 等勢面與電力線垂直。 等勢面 + + + + + + + + + 等勢面 平行板電容器 等勢面的性質 。 證明： 在等勢面上從 a 點到 b 點移動檢驗電荷 q0，電場力的功 a blE dqA ba?? ?0lE dU baab ??? 0?0c o s ?? ?E d lba等勢面 ,0c o s ?? ? lE d?0c o s ?? ?E d lba路徑 dl 在等勢面上， 等勢面?E 證畢 作功。 lE dqA ba?? ?0 abUq 0? 0?。 證明： EU2等勢面 假設 1–2 dl 為電勢升的方向。 21 UU ?021 ? UU0c o s21 ?? ?E d l0c o s ??E與 dl反向， lddl為電勢升的方向。 E的方向為電勢降的方向。 證畢 1場強與電勢的微分關系 場強與電勢都是描寫電場性質的物理量，它們之間必存在某種關系。 Ua ldnddUU +dUUUba ?lE d???c o sE d l??lEE ??c o sdlEdU l?dldUEl ? lU???為分量 bclUEl ???電場強度在某個方向上的分量，等于電勢在此方向上的方向導數(shù)的負值。 nEE ?n0 為法線方向單位矢量。 電場強度等于電勢在等勢面法線方向上方向導數(shù)的負值。 a l d n d + b E U dU U ? c 0nnU ????單位： 伏特 /米， V/m 場強的分量： xUEx ???yUEy ???zUEz ???)( kjiEzUyUxU??+??+??? U??梯度算符 g r a d U???g r a d kji zyx ??+??+???lUEl ???由 g r a d U?E電場強度為電勢梯度的負值。 注意幾點 1.―–‖表示 E 的方向為電勢降落的方向。 0nE nU???。 ，場強大，電力線也密。 等勢面疏處，場強小，電力線也疏。 量的分布。 lE dUaa?? ? ?“變化率”， E 與 U 無直接的關系。 ?場強大處，電勢不一定大。 ?場強小處，電勢不一定小。 如兩等量異號電荷連線中點上。 如兩等量同號電荷連線中點