廈門(mén)大學(xué)應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析第02章_多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)(編輯修改稿)
2025-05-26 05:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。 這里我們應(yīng)該提及的是，當(dāng)0?Σ時(shí)， 1?Σ 不存在， X 也就不存在通常意義下的密度函數(shù)，然而可以形式的給出一個(gè)表達(dá)式，是的有些問(wèn)題可以利用這一形式對(duì)0?Σ及0?Σ的情況給出一個(gè)統(tǒng)一的處理。 ? 當(dāng)2p ?時(shí)，設(shè)12( , )XX ??X服從二元正態(tài)分布，則 21 1 1 2 1 1 222 1 2 2 2 1 2?? ? ? ? ??? ? ? ? ??????? ?????? ??Σ，1r ?? 這里21?，22?分別是1X與2X的方差，?是1X與2X的相關(guān)系數(shù)。即有 2 2 212| | ( 1 )? ? ???Σ 21 2 1 22 2 2 212 2 1 11( 1 )? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ?? ??? ???Σ 故1X與2X的密度函數(shù)為 ? 21112 2 1 / 2 2 21 2 121 1 2 2 2 221 2 2()11( , ) e x p2 ( 1 ) 2 ( 1 )( ) ( ) ( )2xf x xx x x?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? ?????? ???? ????? ? ? ???????? 對(duì)于0? ?，那么1X與2X是相互獨(dú)立的；若0? ?，則1X與2X趨于正相關(guān)；若0? ?，則1X與2X趨于負(fù)相關(guān)。 定理 2. 1 設(shè)~ ( , )PNX μ Σ，則有()E ?X μ，()D ?X Σ。 關(guān)于這個(gè)定理的證明可以參考文獻(xiàn) [ 1 ] ，該定理將多元正態(tài)分布的參數(shù)μ和 Σ 賦予了明確的統(tǒng)計(jì)意義。 這里我們需要明確的是， 多元正態(tài)分布的定義不止是一種，更廣泛的可以采用特征函數(shù)來(lái)定義，也可以用一切線性組合均為正態(tài)的性質(zhì)來(lái)定義 。 二、多元正態(tài)分布的性質(zhì) ? 在討論多元統(tǒng)計(jì)分析的理論和方法時(shí)，經(jīng)常用到多元正態(tài)變量的某些性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可使得正態(tài)分布的處理變得容易一些。 1 ．若12( , , , ) ~ ( , )ppX X X N??X μ Σ， Σ 是對(duì)角陣，則1 , pXX相互獨(dú)立。 2 ．若~(yú) ( , )pNX μ Σ， A 為ps ?階常數(shù)陣，d為s維常數(shù)向量，則 ~ ( , )sN ???A X d A μ dA Σ A 即正態(tài)隨機(jī)向量的線性函數(shù)還是正態(tài)的。 3 ．若~(yú) ( , )pNX μ Σ，將 X ，μ， Σ 作如下剖分 ? ( 1 )2)qpq ???? ????(XXX ( 1 )( 2 )qpq ???? ????μμμ 11 1221 22q p qqpq?????????Σ ΣΣΣ Σ 則( 1 ) ( 1 )11~ ( , )qNX μ Σ，( 2 ) ( 2 ) 2 2~ ( , )pqNX μ Σ。 這里需要指出的是：第一，多元正態(tài)分布的任何邊緣分布為正態(tài)分布，但反之不真。第二，由于( 1 ) ( 2 )12 ( , )C ov?Σ XX，故12 ? 0Σ表示 ( 1)X 和 ( 2 )X 不相關(guān)，因此可知，對(duì)于多元正態(tài)變量而言， ( 1)X 和 ( 2 )X 的不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的。 ? 【例 2. 4 】 若1 2 3 3( , , ) ~ ( , )X X X N??X μ Σ 其中， ???????????321???? ????????????333231232221131211????????? 設(shè) ( 0 , 1 , 0 )a ?? ，1 0 00 0 1??? ?????A，則 （ 1 ） 1223( 0 , 1 , 0 ) ~ ( , )Xa X X N a a aX????? ? ?????????X μ Σ 其中 1223( 0 , 1 , 0)a????????? ????????μ 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3 2 23 1 3 2 3 30( 0 , 1 , 0 ) 10aa? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ??????????? ? ? ?Σ （ 2 ） 112331 0 0~ ( , )0 0 1XXXNXX????????????? ???????? ??????A X A μ A Σ A 其中 112331 0 00 0 1????????????????? ???????? ??????A μ 1 1 1 2 1 31 1 1 32 1 2 2 2 33 1 3 33 1 3 2 3 3101 0 0000 0 101? ? ???? ? ???? ? ?? ? ? ??????????? ???? ?????????? ?????? ?? ? ? ?A Σ A （ 3 ） 記1 ( 1 )2( 2 )3XXX????????????????????????XXX 1 ( 1 )2( 2 )3???????????????????????????μμμ 1 1 1 2 1 31 1 1 22 1 2 2 2 32 1 2 23 1 3 2 3 3? ? ?? ? ?? ? ???????????????????Σ ΣΣΣ ? 則 1( 1 ) ( 1 )2 1 12~ ( , )XNX???????X μ Σ ? 其中 1( 1 )2????? ????μ 1 1 1 2112 1 2 2??????? ????Σ 在此我們應(yīng)該注意到，如果12( , , , )pX X X ??X服從p元正態(tài)分布，則它的每個(gè)分量必服從一元正態(tài)分布，因此把某個(gè)分量的 n 個(gè)樣品值作成直方圖，如果斷定不呈正態(tài)分布，則就可以斷定隨機(jī)向量12( , , , )pX X X ??X也不可能服從p元正態(tài)分布。 第四節(jié) 多元正態(tài)分布的參數(shù)估 計(jì) 一 多元樣本的數(shù)字特征 二 均值向量與協(xié)差陣的最大似然估計(jì) 三 Wishart分布 一、多元樣本的數(shù)字特征 ? 設(shè)樣本資料可用矩陣表示為 11 12 1 ( 1 )21 22 2 ( 2 )121 2 ( )( , )pppn n np nX X XX X XX X X?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?， ，XXX X X XX 在這里我們給出樣本均值向量、樣本離差陣、樣本協(xié)差陣以及樣本相關(guān)陣的定義。 定義 2. 9 設(shè)( 1 ) ( 2 ) ( ), , , nX X X為來(lái)自p元總體的樣本，其中( ) 1 2( , , , )a a a apX X X ??X，1 , 2 , ,an?。 （ 1 ） 樣本均值向量定義為 ( ) 1 211? ( , , , )napaX X Xn ??? ? ??μ XX （ 2 . 10 ） ? 其中 1 1 2 1 11 2 2 2 2()11211nnnaap p n pX X XX X XnnX X X???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? X
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