【文章內容簡介】 系統(tǒng) r(t) c(t) 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— 基本概念 一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，假設有一正弦信號輸入 r( ) s inr t A t??其穩(wěn)態(tài)輸出可寫為 c( ) s i n ( )c t A t????Ac穩(wěn)態(tài)輸出的幅值 ? 穩(wěn)態(tài)輸出的相角 穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與輸入幅值之比，稱為幅頻特性： crAMA?穩(wěn)態(tài)輸出的相位與輸入相位之差 ?,稱為相頻特性。 只要把傳遞函數(shù)式中的 s以 j?置換，就可以得到頻率特性，即 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— 基本概念 s= j( j ) = ( )s ????將 ?(j?)以模幅式表示，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?j j jj j e eM? ? ?? ? ???? ? ? ?故幅頻特性： ? ? ? ?jM ????相頻特性： ? ? ? ?j? ? ?? ? ? 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— 基本概念 頻域法是一種圖解分析方法 ， 采用圖形化的工具來對系統(tǒng)進行分析 。 頻率特性曲線包括三種常用形式： ?極坐標圖 （ 奈奎斯特圖 ， 奈氏圖 ， Nyquist圖 ） ?對數(shù)坐標圖 （ 對數(shù)頻率特性曲線 、 Bode圖 ） ?對數(shù)幅相圖 （ 對數(shù)幅相頻率特性曲線 ， Nichols圖 ） 。 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— 奈奎斯特圖 (Nyquist) 當頻率 ?從零到無窮變化時，矢量 ?(j?)的端點在復平面上描繪出的曲線： 【 調用格式 】 [ re,im,w]=nyquist(sys) %自動確定頻率區(qū)間 w，計算頻率響應 [re,im]=nyquist(sys,w) %求取指定頻率區(qū)間 w內的頻率響應 【 說明 】 ? 當不帶輸出變量時， nyquist在當前圖形窗口中直接繪制出 Nyquist曲線。 ? 如果輸入變量中沒有指定頻率范圍，其頻率范圍由函數(shù)自動選取并用 w變量返回，而且在響應快速變化的位置自動選取更多的取樣點。 ? 輸出變量 re， im分別為系統(tǒng) Nyquist陣列的實部和虛部。如果只有一個返回變量，則返回的變量為復數(shù)陣列，實部和虛部可以繪制系統(tǒng)的Nyquist圖。 ? re和 im是三維矩陣。如果系統(tǒng)有 NU個輸入量， NY個輸出量， LW＝length(w)， re和 im的維數(shù)為 (NY NU LW)。對于 MIMO系統(tǒng)， re(i,j,:)和 im(i,j,:)表示第 i個輸出變量針對第 j個輸入變量的頻率響應實部和虛部。對于 SISO系統(tǒng)，實部和虛部分別由 re(:)和 im(:)給出。 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— 奈奎斯特圖 (Nyquist) 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— Bode圖 包括對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻兩條曲線。 對數(shù)頻率特性曲線的橫坐標表示頻率 ?，并按對數(shù)分度，單位是 1/s。 對數(shù)幅頻曲線的縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，線性均勻分度，單位是分貝，記作 dB。 對數(shù)幅頻特性定義為 對數(shù)相頻曲線的縱坐標表示相頻特性的函數(shù)值，線性均勻分度，單位是度或弧度。 20 lg( ) ( )LM???【 調用格式 】 [mag,phase,w]= bode (sys) [mag,phase]= bode (sys,w) 【 說明 】 bode函數(shù)返回的輸出變量 mag， phase分別為系統(tǒng) Bode圖數(shù)據(jù)陣列的幅值（ dB）和相角（ degrees）。 其使用方法與 nyquist函數(shù)相同。 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— Bode圖 2222)( nnnsssG ??????? 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試用 MATLAB繪制出不同 wn和 ζ 的伯德圖。 wn 為固定值， ζ 變化 時 wn=1。 zet=[0::1,2,3,5]。 hold on for i=1:length(zet) num=wn^2。 den=[1,2*zet(i)*wn,wn^2]。 bode(num,den)。 end grid on hold off 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— Bode圖 1 5 0 1 0 0 5 0050100150Magnitude (dB)103102101100101102103 3 6 0 2 7 0 1 8 0 9 00Phase (deg)B o d e D i a g r a mF r e q u e n c y ( r a d / s e c )當阻尼比 ζ 比較小時，則系統(tǒng)的頻域響應在自然頻率 ω n 附近將表現(xiàn)出較強的振蕩，該現(xiàn)象稱為諧振。 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— Bode圖 ζ 為固定值， wn 變化 時 wn=[::1]。 zet=。 hold on for i=1:length(wn) num=wn(i)^2。 den=[1,2*zet*wn(i),wn(i)^2]。 bode(num,den)。 end grid on hold off 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— Bode圖 1 5 0 1 0 0 5 0050Magnitude (dB)103102101100101102 1 8 0 1 3 5 9 0 4 50Phase (deg)B o d e D i a g r a mF r e q u e n c y ( r a d / s e c )當自然頻率 ω n 的值增加時，伯德圖的帶寬將增加，該現(xiàn)象使得系統(tǒng)的時域響應速度變快。 線性系統(tǒng)的頻率響應 —— Bode圖 經典控制分析中 ， 關于線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念是： 若控制系統(tǒng)在初始條件和擾動作用下 ， 其瞬態(tài)響應隨時間的推移而逐漸衰減并趨于原點 (原平衡工作點 )， 則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。 反之 ， 如果控制系統(tǒng)受到擾動作用后 ， 其瞬態(tài)響應隨時間的推移而發(fā)散 ， 輸出呈持續(xù)振蕩過程 ， 或者輸出無限制地偏離平衡狀態(tài) ， 則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)設計與運行的首要條件 。 只有穩(wěn)定的系統(tǒng) ， 才有價值分析與研究系統(tǒng)自動控制的其它問題 ， 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是系統(tǒng)時域分析 、 穩(wěn)態(tài)誤差分析 、 根軌跡分析與頻率分析的前提 。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 —— 系統(tǒng)穩(wěn)定的概念 對于線性連續(xù)系統(tǒng) ， 如果系統(tǒng)的所有特征根 (極點 )的實部為負 ， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果有實部為零的根 ， 則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的 （ 在實際工程中視臨界穩(wěn)定系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng) ） ；反之 ， 如有正實部的根 ， 則系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：描述該系統(tǒng)的微分方程的特征方程的根全具有負實部 ， 即全部根在左半復平面內 。 或者說系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于左半 s平面內 。 線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：如果閉環(huán)線性離散系統(tǒng)的特征方程根或者閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點的模都小于 1時 ， 該線性離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的 ， 如果模的值大于 1時 ， 則該線性離散系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 —— 穩(wěn)定判據(jù) ?MATLAB直接判定 p=eig(G) 求取矩陣特征根。系統(tǒng)的模型 G可以是傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程和零極點模型，可以是連續(xù)或離散的 P=pole(G) Z=zero(G) 分別用來求系統(tǒng)的極點和零點。 G是 已經定義的系統(tǒng)數(shù)學模型 [p,z] = pzmap(sys) 求系統(tǒng)的極點和零點。 sys是定義好的系統(tǒng)數(shù)學模型 。 r = roots(P) 求特征方程的根。 P是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式降冪排列的系數(shù)向量 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 —— 時域法 已知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 36 5 4 3 221()2 8 12 20 16 16ssss s s s s s????? ? ? ? ? ? num=[1 0 2 1]。 den=[1 2 8 12 20 16 16]。 G=tf(num,den)； %系統(tǒng)模型 p=eig(G) %求系統(tǒng)的特征根 p = + + + p1=pole(G) %系統(tǒng)的極點 p1 = + + + r=roots(den) %特征方程的根 r = + + + 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 —