【文章內(nèi)容簡介】 對單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以由 ()式求得 EHGF ,DCBA , T)(zx ? 利用 ()式及 ()式，可得 ???? ????? 11211211111 ]2)([ zs GFFFzIGFx? ? ??? ?? 1121111 )]([2 GFFFF111121 ])(2[ GFFFI ????? ? ??????? ????????????? ????1111111122)(2 GFIATATGFATIxdBABTAT 11 22 ?? ??? ? 原連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值可以從 ()式令 求得，即 ? 顯然，連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值與離散數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)態(tài)值是相同的。這說明采用雙向性變換并不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值。 ? 采用雙向性變換不僅可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)值不變，同時也具有一定的精度。這精度主要是指離散數(shù)學(xué)模型的頻率特性或輸出序列與連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性或輸出序列是相近的。為了說明這一點(diǎn)，利用例。對該題易得到 0?sBAx d 1???)1()(22????zzzzG ? 將 代入后即可求得脈沖傳遞函數(shù)的頻率特性為 ? 將 代入上式得 ? 若令 ，則可以得到 的頻率特性。連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性可將 代入例 中即可求得。比較這兩種頻率特性可見，在低頻段相差較小，當(dāng) 超過 ，兩個頻率特性相差較大，但頻率在高頻段，又重復(fù)對稱出現(xiàn)。 Tjez ??8 5 )()1(1 8 )(22????TjTjTjeeejG????TTe Tj ??? s inc o s ??)s i ( s i n)8 5 ( co s])s i n22( co s)1s i n22[ ( co s1 8 )(TTjTTTTjTTjG??????????????????sT 1? )(zG?js? )(sG? 這表明在一定的頻率范圍內(nèi)雙線性變換是有一定精度的，但在某頻段內(nèi)，雙線性變換的頻率特性會發(fā)生一定的畸變。產(chǎn)生這種畸變的主要原因是，通過 ()式變換后， s平面上無限長的 虛軸被壓縮成平面上 的單位圓，等效的說被壓縮在 之內(nèi)（ ， 為計(jì)算步長），即產(chǎn)生頻率翹曲。 ? 應(yīng)當(dāng)指出，根據(jù) ()式進(jìn)行變換，雖也將 s平面左半部映射到 z平面的單位圓內(nèi)內(nèi)，但它與 的映射關(guān)系并不相同，即按照 ()式將 s平面上的一點(diǎn) 映射到 z平面上的位置與按 映射位置并不相同。 ?j?2s??Ts?? 2? TisTjez ??Tjez ?? 零極點(diǎn)匹配法 ? 零極點(diǎn)匹配法是獲得連續(xù)傳遞函數(shù)等價離散數(shù)學(xué)模型的一種簡單有效的方法。時間域函數(shù)的采樣運(yùn)算就是直接將 s域的函數(shù)通過 () ? 關(guān)系映射到 z平面。零極點(diǎn)匹配法（又稱零極點(diǎn)映射法）不僅通過 ()將極點(diǎn)映射到 z平面，而且還將 的零點(diǎn)映射到 z平面。通常，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)多于零點(diǎn)數(shù)，此時可以認(rèn)為該傳遞函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處有一定數(shù)目的零點(diǎn)，這些零點(diǎn)通過 ()式映射關(guān)系被映射在 z=1處。 Tjez ??)(sG 零極點(diǎn)匹配法 ? 若給定的連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 () ? 式中 : 分別為重復(fù)零極點(diǎn)的實(shí)部與虛部。若 ，即極點(diǎn)數(shù)多于零點(diǎn)數(shù) 個。按上述意思，通過 ()式映射可得下述脈沖傳遞函數(shù)： () ? ?? ?? ?? ????????rjqjjjiminiiiidcssbasasKsG1 1221 12239。])[()(])[()()(?? ???? ??????????????????rjqjTcjTcTniTiTmiTpjjjjjjezTdezezezTbezezzKzG1 1221221])c o s(2[)(])c o s2([)()1()(????pmnrq ???? )2()2(iiii dcba ,p 零極點(diǎn)匹配法 ? 式中 是離散傳遞函數(shù)的增益， 可以根據(jù) z域頻率響應(yīng)在某些關(guān)鍵頻率上能較好地等價連續(xù)頻率響應(yīng)的原則來選擇。通常對低通濾波器性質(zhì)的傳遞函數(shù)或一般控制系統(tǒng)來說，它可以按直流 ( )增益相等的原則來選取。 ? 歸納起來，零極點(diǎn)匹配法的步驟如下： (1) 將 的所有極點(diǎn)按 映射到 z平面，如 的實(shí)極點(diǎn)數(shù)在 處，則 有極點(diǎn)；倘若 有 復(fù)數(shù)極點(diǎn) ，則 有極點(diǎn) 。 (2) 用同樣的方法將 全部有限零點(diǎn)按 映射到 z 平面。 (3) 將 所有在 處的零點(diǎn)映射為 。 K?0??)(sG sTez ?jjs ???)(zGTj jez ???jij jdcs ?? TjdTcj jj eez ???K?)(sG)(sG)(zG)(zG sTez ???s 1??z)(zG 零極點(diǎn)匹配法 (4) 選擇離散數(shù)學(xué)模型的增益 ，選擇的方法是在給定的關(guān)鍵頻率處使連續(xù)系統(tǒng)的增益與離散系統(tǒng)的增益相等。若按直流增益相等選擇，則有 ? 例 現(xiàn)將零極點(diǎn)法用于前述例題，求差分方程的表達(dá)式。 ? 解： 該傳遞函數(shù)沒有限零點(diǎn)，他的兩個極點(diǎn)為 K?10 )()( ?? ? zs zGsG)( 2 ??? sssG,1 js ??? 零極點(diǎn)匹配法 ? 對計(jì)算步長 T=1s，經(jīng)過映射后，在 z與內(nèi)的兩個極點(diǎn)為 ? 由于沒有限零點(diǎn)，故需補(bǔ)充兩個在 z=1處的零點(diǎn)，所以 ? 可以通過直流增益相等的原則來求得。因?yàn)? ? 所以 9 9 ,1 jeeeez jj b TT ???? ???? ????? ?? )9 j 0 . 7 5 87 4 9 ( )9 j 0 . 7 5 87 4 9 ( )1(39。)( 2zz zKzGK?01 )()( ?? ? sz sGzG18 1 8 39。4 ??? zK18 1 8 39。4 ??? zK 零極點(diǎn)匹配法 ? 故可得 =，最后脈沖傳遞函數(shù) 為 () ? 該式可以轉(zhuǎn)化為下述差分方程： ? 應(yīng)當(dāng)說明，將無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)映射在 z=1處，這樣的處 理，理由并不充分，主要的根據(jù)是在雙線性變換 中就在分子上引入了零點(diǎn)（ z+1）。這樣做的好處，是有助于消除標(biāo)準(zhǔn) Z變換中產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象。 )1()(22????zzzzGK? )(zG)]1()(2)1([)1()()1( ????????? kxkxkxkykyky1121???zzTs 零極點(diǎn)匹配法 ? 當(dāng)然，如若認(rèn)為無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)是負(fù)實(shí)數(shù)，則由于 ，故可以將其看作是映射在 z=0處的零點(diǎn)。此時可以將 ()式中 用 來代替，但經(jīng)驗(yàn)表明，這種處理方法精度較差。 ? 此外，為了使離散模型與原連續(xù)系統(tǒng)更為接近，常常還可以將無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)映射到（ 0， 1）之間某處，此時可以將 ()式中須用 來代替 ，式中 。這樣在 中將有兩個參數(shù) 及 ，進(jìn)行實(shí)際仿真計(jì)算，則是很簡單的。 0?? ?? Tezpzpz )( ??pz )1( ?10 ??? )(zG 39。K ?pz )1( ? 零極點(diǎn)匹配法 ? 對于某些傳遞函數(shù) ，其直流增益可能等于零或無窮大，無法利用直流增益相等的原則來確定傳遞函數(shù)的 。此時可以通過加入適當(dāng)類型的輸入信號，利用使其穩(wěn)態(tài)值相等的方法選擇 值。例如 ? 根據(jù)上述步驟可得到 ? 由于 在 s=0處有一零點(diǎn)，穩(wěn)態(tài)增益等于零，加階躍輸入信號時，終值將等于零。為使終值 )(sG39。K2)1()()()(??? sssXsYsG2)()1)(1(39。)(TezzzkzG?????39。K)(sG 零極點(diǎn)匹配法 ? 而由 可得 ? 若是穩(wěn)態(tài)值相等，則應(yīng)選擇 為 11)1(lim)( 220?????????? ? ssssys2221 )1(239。)1()()1)(1(39。1lim)(TTz eTKzTzezzzKzzy??? ???????????????TeK T2)1(39。 2???)(zG39。K 零極點(diǎn)匹配法 ? 最后可得離散數(shù)學(xué)模型為 ? 當(dāng)然，對這種系統(tǒng)還可以不依據(jù)穩(wěn)態(tài)增益來選取，而依據(jù)某個特殊頻率時的增益相等的原則來確定。 22)()1)(1(2)1()(TTezzzTezG??????? 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)仿真 ? 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是由離散部分（數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字控制器）和連續(xù)部分（保持器或數(shù)模轉(zhuǎn)換器以及被控對象） 兩部分組合而成。如圖 。 圖 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)組成圖 數(shù) 字 控 制 器 保 持 器 被 控 對 象sTsT控 制 作 用 )(tu )(ty輸 出?? 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)仿真 ? 這類系統(tǒng)的模型與第四章所述連續(xù)系統(tǒng)離散化模型形式相同，都是差分方程，所以從仿真方法來講兩者都是相同的。但是要注意的是連續(xù)系統(tǒng)離散化模型是一種近似模型，因?yàn)樵诮⒛Ｐ瓦^程中人為的加入了采樣開關(guān)和保持器，所以它只能是近似描述原來的連續(xù)系統(tǒng)。而計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)仿真的特點(diǎn)是，數(shù)字控制器是實(shí)際存在的離散量運(yùn)算，采樣開關(guān)也是實(shí)際存在的不是人為虛擬的。采樣周期 Ts是確定的，它與連續(xù)部分離散化虛擬采樣周期 T是不同的。下面來說明如何來考慮這兩者之間的關(guān)系。 一、采樣周期及計(jì)算步距 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)仿真 ? 將圖 如圖 。 圖 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)圖 圖中 ——被控對象的傳遞函數(shù)； ——保持器傳遞函數(shù)； ——數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。 sTsT)(tu )(ty?? )( zD )( zG h )( sG)(1 nE )(2 nE)(sG)(sGh)(zD 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)仿真 ? 是該計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)實(shí)際存在的采樣開關(guān)的采樣周期，這是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一個重要參數(shù)。通常它是根據(jù)被控對象的反應(yīng)快慢事先選定的。比如，當(dāng)被控對象的階躍響應(yīng)曲線如圖 ，若選擇數(shù)字控制器為 P， I， D形式，那么可選 為 。 ? 對于圖像 ，一般有兩種情況： (1) 如果 可以求出，而且只要求計(jì)算輸出量 ，不要求計(jì)算中間變量，那么，可以用同樣的采樣間隔 ，分別寫出數(shù)字控制器的差分方程，然后進(jìn)行數(shù)字仿真。此時，采樣周期 ，也就是計(jì)算步距 。 s