【正文】 第五章 快速數(shù)字仿真法 ? 前兩章從數(shù)值積分和面向結構圖的仿真兩方面討論了控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的基本原理方法、方法和程序。這些方法用于對控制系統(tǒng)進行非實時的仿真研究有很大方便，尤其是在具備一些通用的仿真程序時，這些方法就顯得更為方便。但在一般情況下，為了達到一定的計算精度，這些方法的計算量比較大，因此計算的速度受到一定的限制，往往在實際應用中，還不能滿足實時仿真的要求。有必要尋找一些能加快仿真速度的方法。能解決這個問題的方法很多，但各有各的特點和局限性。 第五章 快速數(shù)字仿真法 本章第一節(jié)到第三節(jié)介紹了三種常用的方法，以便根據(jù)情況選用。這些方法不僅在連續(xù)系統(tǒng)仿真時可以使用，也可以用于連續(xù)控制器在計算機上的離散實現(xiàn)。本章還在第四節(jié)介紹了計算機控制系統(tǒng)的仿真。 增廣矩陣法 替換法 零極點匹配法 計算機控制系統(tǒng)仿真 一、基本思想 ? 假定一個連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 () ? 這是一個齊次方程，它的解是 () ? 已知 ? 可以證明：如果取前五項，則計算精度與四階龍格 庫塔法相同。這就是說，如果被仿真的系統(tǒng)是一個齊次方程，在選定計算步距為 n以后，若只取 的前五項，則有 Axtx ?)(?)0()( xetx At???? ??????? nAt AtNtAtAAtIe )(!1!3!23322Ate () ? 由于 都可以在仿真前計算出，所以 ()式所示的遞推計算公式中右端的系數(shù)項可以事先求出，而仿真計算就變成每次只做一個十分簡單的遞推推算。 ? 但是，實際的物理系統(tǒng)模型大多是一個非齊次方程，即 () ? 其中為系統(tǒng)的控制量，假定它是一個單輸入系統(tǒng)。根據(jù)控制理論可知， ()式的解為 ? t≥0 () ])1[()2462()(443322TnxtAtAtAAtInTx ??????432 , AAAABuAxx ?????? dBuexetx t tAAt )()0()( 0 )(? ??? ? 顯見，求解 ()式的非齊次方程時，它的解，除了一個自由項之外，還有一個強制項： 。由于 的任意性， ()式一般不容易求解。但是，對于某些特殊的輸入函數(shù)，如果能將控制量 增廣到狀態(tài)變量中去，使 ()式這樣的非齊次方程，變成一個齊次方程 ()式，就可以避免計算復雜的強制項，而利用類似 ()式的計算方法。 二、典型輸入函數(shù)時的增廣矩陣 ? 假定被仿真的系統(tǒng)為 () ??? dBuet tA )(0 )(? ?u)(tuBuAxtx ??)(? 0)0( xx ?)()( tCxty ? ? 其中 A為維矩陣，即表示有 n個狀態(tài)變量。 (1) 階躍輸入時 ? 設 ? 則定義第 n+1個狀態(tài)變量為 ? 故 ? 可得增廣后的狀態(tài)方程即輸出方程為 )(1)( 0 tUtu ??)(1)()( 01 tUtutx n ????0)(1 ?? txn 01 )0( Uxn ?? (2) 斜坡輸入 ? 設 ? 則定義 ??????????????????????? )()(00)()(11 txtxBAtxtxnn?????? ???????????????? 001 )0()(Uxxtxn???????????? )()(]0[)(1 txtxCtyn?tUtu 0)( ?tUtutx n 01 )()( ???012 )()( Utxtx nn ?? ?? ?0)0(1 ??nx02 )0( Ux n ?? ? 因此，系統(tǒng)增廣后的狀態(tài)方程為 ? 初始條件為 ???????????????????????????????????)()()(0001000)()()(2121txtxtxBAtxtxtxnnnn???? ?Tnn txtxtxCty )()()(]00[)( 21 ??? ???????????????????????????0021 0)0()0()0(Uxxxxnn (3) 指數(shù)輸入 ? 設 ? 定義 ? 則有 ? 故系統(tǒng)增廣后的狀態(tài)方程為 teUtu ?? 0)(tn eUtx ?? ? 01 )()()( 101 txeUtx ntn ??? ????? 01 )0( Ux n ?????????????????????????? )()(10)()(11 txtxBAtxtxnn?????? ???????????????? 001 )0()(Uxxtxn???????????? )()(]0[)(1 txtxCtyn? ? 一個連續(xù)物理系統(tǒng)最常見的數(shù)學表現(xiàn)形式就是 s域的傳遞函數(shù) 。替換法的基本思想就是，設法找到 s域（連續(xù)域）的某種對應關系，然后將 中的變量 s轉化成變量 z，由此得到與系統(tǒng)傳遞函數(shù) 相對應的離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) （脈沖傳遞函數(shù)即采樣系統(tǒng)輸出脈沖序列的 Z變換與輸入脈沖序列 Z變換之比），進而獲得進行數(shù)字仿真用的遞推算式，以便在計算機上求解計算。 )(sG)(sG)(sG)(sG ? 簡單替換法 ? s域與 z域的基本關系是 ，式中 T為采樣周期，即 仿真計算時的計算步長；或者 ，這是一個超越 函數(shù)，不可直接用來進行替換。實際上必須要尋找其他近似的表示關系。一種最簡單的替換關系可以從一階差分方程中得到。 ? 用傳遞函數(shù) 表示系統(tǒng)，在時域內可以用一個微分方程來表示，例如，系統(tǒng) () sTez?zTs ln1?)(sGssGsxsy 1)()()( ?? 的時域表示為 () ? 假若導數(shù)計算用下述差分來近似： ? 或間寫成 () ? 則微分方程 ()式即等價為下述差分方程 ： )()( txdt tdy ?TTkykTydttdykTt])1[()()( ????TkykydttdykTt)1()()( ???? 或 () ? 當微分方程中導數(shù)的計算采用 ()式差分表達式時，稱為向后差分法。當然，導數(shù)的近似計算還可以采用向前差分法，此時，導數(shù)按下述差分來近似計算： ? 方程 ()式可等價為下述差分方程： )()1()( kxT kyky ???)()1()( kTxkyky ???TkykydttdykTt)()1()( ????)()()1( kxT kyky ??? 或 () ? 現(xiàn)對差分方程 ()進行 Z變換，則是 () ? 比較 ()與 ()式，有 () 或 () )()()1( kTxkyky ???1)()()(??? zTzzGzxzy11???zTzsTzzs 1?? ? 關系式 ()或 ()就是一種最簡單的替換方法。它表明，如果將傳遞函數(shù) 中的用 ()式替換，就可以將 s域中的傳遞函數(shù) 變換為 z域中脈沖傳遞函數(shù) ，從而可以得到遞推算式 ()式。這種替換相當于向后差分法。從 ()式可見，這種向后差分法也就是數(shù)值積分法中的超前歐拉法。 ? 若對 ()式做 z變換，則可得要下述脈沖傳遞函數(shù)： () 將 ()式與 ()式比較，有 )(sG)(zG1)()()(??? zTzGzxzy)(sG () 或 () ? 關系式 ()或 ()也是一種最簡單的替換方式，這種替換式相當于向前差分法，即數(shù)值積分中的歐拉法。 ? 上述兩種替換法比較簡單，但局限性很大，實際工程中很少采用。下邊對兩種變換作簡單的討論。實際上替換式 ()及 ()均可以看做是 s平面與 z平面之間的相互映射。對 ()式來說，由于 ，設 ，所以 11???zTsTzs 1??1?? Tsz?? js ?? ? 對于 z平面上的單位圓 (及穩(wěn)定域 )， ，故 ? 即等于 () ? 因此將 z域中的單位圓映射到 s域平面上，正好是以 為圓心，以 為半徑的一個圓，如圖 (a)所示。這就 是說 z平面上的單位圓，按 ()式變換，它將是 s平面 上以為 半徑的一個圓。 2222 )1( TTz ?? ???12 ?z1)1( 222 ??? TT ??2222 )1()1(TT ??? ??)0,1( T?T1T1 ? 反過來說， s平面上只有部分面積通過 ()式才能映射到 z平面的單位圓內。顯然，若一個系統(tǒng) 是穩(wěn)定的，其極點分布如圖 (a)所示，通過 ()變化后有 兩個極點能映射到在 z平面的單位圓內；而極點 則映射到 z平面的單位圓外。這樣，原來為穩(wěn)定的系統(tǒng)，通過 ()式的替換，仿真模型變得不穩(wěn)定了，因此這種仿真模型失真太大。由 ()式還可 以看出，若要使 穩(wěn)定，就要求增大半徑 ，即減 小計算步長 T，從而增加了計算工作量，故采用()式不適合快速數(shù)字仿真 。 )(sG21,ss3s)(zGT1 圖 簡單替換法的映射關系 ???j?1s2s3sz 平 面單 位 圓 映 射?j ?z 平 面單 位 圓 映 射s 平 面 虛 軸的 映 射( a )( b ) 由 (