【文章內容簡介】 60 ? 例如，觀察個別或少數(shù)家庭的嬰兒出生情況，發(fā)現(xiàn)有的生男，有的生女，沒有一定的規(guī)律性，但是通過大量的觀察就會發(fā)現(xiàn)，男嬰和女嬰占嬰兒總數(shù)的比重均會趨于 50%。 61 ? 大數(shù)定律有若干個表現(xiàn)形式。這里僅介紹其中常用的兩個重要定律： ? ① 切貝雪夫大數(shù)定理 ? 設 是一列兩兩相互獨立的隨機變量，服從同一分布，且存在有限的數(shù)學期望 a 和方差 ，則對任意小的正數(shù) ε，有： ? ? 該定律的含義是：當 n很大，服從同一分布的隨機變量 的算術平均數(shù) 將依概率接近于這些隨機變量的數(shù)學期望。 ? 將該定律應用于抽樣調查，就會有如下 結論 ： ? 隨著樣本容量 n的增加，樣本平均數(shù)將接近于總體平均數(shù)。從而為統(tǒng)計推斷中依據樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)提供了理論依據。 2?62 ? ②貝努里大數(shù)定律 ? 設 μn 是 n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，且事件 A在每次試驗中發(fā)生的概率為 P，則對任意正數(shù) ε，有： ? ? 該定律是切貝雪夫大數(shù)定律的特例，其含義是，當 n足夠大時，事件 A出現(xiàn)的頻率將幾乎接近于其發(fā)生的概率，即頻率的穩(wěn)定性。 ? 在抽樣調查中，用樣本成數(shù)去估計總體成數(shù)，其理論依據即在于此。 63 ? ⑵中心極限定理 ? 中心極限定理，是概率論中討論隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量近似服從正態(tài)分布的條件。 ? ①從正態(tài)總體中，隨機抽取含量為 n的樣本，樣本均數(shù)也服從正態(tài)分布；即使是從偏態(tài)總體抽樣，當 n足夠大時（比如 n30），也近似正態(tài)分布。 64 ? ②從均數(shù)為 μ，標準差為 σ的正態(tài)或偏態(tài)總體抽取含量為 n的樣本，樣本均數(shù)的總體均數(shù)也為 μ，標準差為 ，可近似地按下式計算： 65 ? ㈣抽樣誤差 ? ? 由于樣本不能完全代表總體所產生的誤差，就是抽樣指標和總體指標之間的絕對離差。 ? 抽樣誤差包括： ? 樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的差； ? 樣本成數(shù)與總體成數(shù)的差。 66 ? 統(tǒng)計調查中的誤差 ? ⑴ 登記性誤差 是指在調查和整理資料的過程中，由于主客觀原因引起登記或計算錯誤而造成的誤差，是所有統(tǒng)計調查都可能發(fā)生的誤差。 ? ⑵ 系統(tǒng)性誤差 是指在抽樣時違背了隨機性原則而造成的誤差。 ? 登記性誤差和系統(tǒng)性誤差都可以采取一定的措施加以避免。 67 ? ⑶ 抽樣誤差 是一種代表性誤差，但并不是所有的代表性誤差都是抽樣誤差。 ? 抽樣誤差是指在沒有登記性誤差的前提下，又遵循了隨機原則而產生的樣本指標與被它估計的總體相應指標的差數(shù)。 ? 這種誤差是不可以避免、難于消除的，但可以采取一定的方法加以控制。 68 ? 抽樣誤差的影響因素： ? ①總體各單位標志值的差異程度 ? 在其它因素相同的條件下，總體各單位標志值差異程度越大，抽樣誤差也越大。 ? ②樣本的單位數(shù) ? 相同的條件下，樣本單位數(shù)越多，抽樣誤差就越小。 ? ③抽樣的方法 ? 一般地，不重復抽樣的誤差要小于重復抽樣的誤差。 ? ④抽樣調查的組織方式 ? 按有關標志排隊的等距抽樣誤差一般小于其他形式的抽樣誤差。 69 ? ? ⑴ 概念 ? 從同一個總體 N個單位中隨機抽取 n個單位組成樣本可以有不同的取法，因而有很多個樣本，并且各樣本指標是隨機變量，它們與總體指標之間存在著誤差，那么平均來講誤差了多少，就是抽樣平均誤差。 70 ? ⑵定義公式 ? 抽樣平均誤差就是全部可能的樣本指標與總體指標離差平方和的平均數(shù)的平方根，實際就是抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)的標準差。 樣本配合數(shù)2)( Ppp????樣本配合數(shù)2)( Xxx????71 ? 舉例說明： ? 某高校經濟學專業(yè) A、 B、 C、 D四名同學的《宏觀經濟學》課程考試成績分別為： 60分、70分、 80分和 90分。 ? 現(xiàn)假定分別采取重復和不重復抽樣方法從中抽出兩名學生作為樣本進行抽樣調查。 72 ? 注： ? 重復排列 ? 不重復排列 ? 由資料可得： 164 2 ??mn1212 1234! )( ! ?? ?????? mn nP mn754 90807060 ?????? ? N XX 0 0)(2???? ? N XX?73 ? 重復抽樣的抽樣平均誤差 樣本 考試成績 ( x ) 樣本平均數(shù) ( ) 離差 離差平方 序號 單位 1 2 3 4 A A A B A C A D 60 60 60 70 60 80 60 90 60 65 70 75 15 10 5 0 225 100 25 0 5 6 7 8 B A B B B C B D 70 60 70 70 70 80 70 90 65 70 75 80 10 5 0 5 100 25 0 25 9 10 11 12 C A C B C C C D 80 60 80 70 80 80 80 90 70 75 80 85 5 0 5 10 25 0 25 100 13 14 15 16 D A D B D C D D 90 60 90 70 90 80 90 90 75 80 85 90 0 5 10 15 0 25 100 225 合 計 1200 1000 x )( Xx?)( Xx?2 74 ? 則：重復抽樣的抽樣平均誤差為： ? 計算表明，對于 16個可能樣本來講，其樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差是 。 ? ? （分）＝＝樣本配合數(shù)1610002Xxx????75 ? 不重復抽樣的抽樣平均誤差 樣本 考試成績 ( x ) 樣本平均數(shù) ( ) 離差 離差平方 序號 單位 1 2 3 A B A C A D 60 70 60 80 60 90 65 70 75 10 5 0 100 25 0 4 5 6 B A B C B D 70 60 70 80 70 90 65 75 80 10 0 5 100 0 25 7 8 9 C A C B C D 80 60 80 70 80 90 70 75 85 5 0 10 25 0 100 10 11 12 D A D B D C 90 60 90 70 90 80 75 80 85 0 5 10 0 25 100 合 計 900 500 x )( Xx?)( Xx?2 76 ? 則不重復抽樣的抽樣平均誤差為： ? 計算表明，對于 12個可能樣本來講，其樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差是 。 ? ?（分）＝＝樣本配合數(shù)125 0 02Xxx????77 ? 抽樣平均誤差的大小可以用來衡量樣本指標代表性的大小。 ? 如果抽樣平均誤差越大，則抽樣誤差的離散程度就越大，樣本的代表性就越弱；反之，抽樣平均誤差越小，則抽樣誤差的離散程度就越小，樣本的代表性就越強。 78 ? ⑶實際計算 ? 根據抽樣平均誤差的定義公式計算抽樣平均誤差實際是不可能的，因為實際工作中，總體的單位數(shù)很多，樣本數(shù)也較多，不可能抽取所有可能樣本，而是只抽取一套樣本。 ? 那么實際工作應如何計算？ 79 ? ① 重復抽樣的抽樣平均誤差 ? 抽樣平均數(shù) ? 在重復抽樣的條件下，抽樣平均數(shù)的平均誤差的計算公式為： ? 式中， 為抽樣平均數(shù)的平均誤差， σ為總體數(shù)量標志的標準差， n為樣本容量。 nx?? ?x?nx2?? ?80 ? 抽樣成數(shù) (成數(shù)方差 .ppt) ? 在重復抽樣的情況下，成數(shù)的抽樣平均誤差的計算公式為： ? 式中， 為抽樣成數(shù)的平均誤差， p(1p)為總體是非標志的方差。 p?nppp)1( ???81 ? ②不重復抽樣的抽樣平均誤差 ? 抽樣平均數(shù) ? 平均數(shù)的抽樣平均誤差計算公式為： ? ? 當 N很大時， N1≈N，上式又可以寫為： ? ?????????12NnNnx???????? ??Nnnx12??82 ? 抽樣成數(shù) ? 在不重復抽樣的情況下，成數(shù)抽樣的平均誤差為： ? 當 N很大時，上式可以寫成： ??????????1)1(NnNnppp??????? ???Nnnppp 1)1(?83 ? 上述公式中， 稱為修正系數(shù)。 ? 由于修正系數(shù)是一個小于 1的數(shù)，因而，在其他條件相同的情況下，不重復抽樣的抽樣平均誤差總是小于重復抽樣的抽樣平均誤差。 ? 另外，當總體單位數(shù)很大時，修正系數(shù)趨向于 1，重復抽樣與不重復抽樣的抽樣平均誤差相差甚微。 ? 因此，實際工作中，按不重復抽樣抽取樣本，而按重復抽樣的公式計算抽樣平均誤差。 )1( ??N nN84 ? 現(xiàn)以前述四位同學考試成績的例子加以驗證。 ? 已知： N＝ 4， n=2， 。則： ? 重復抽樣的抽樣平均誤差為： ? 不重復抽樣的抽樣平均誤差為： ? 可見，與定義公式的計算結果完全相等。 ??（分）22??? nx ??分）()1424(2)1(22???????NnNnx??85 ? 必須說明： ? 實際工作中，公式中總體標準差（ σ）通常是未知的，其解決辦法如下： ? 一是用樣本標準差（ S）來代替，如果是成數(shù)還可以用成數(shù)方差的最大值 ； ? 二是用過去的全面調查或抽樣調查的資料； ? 三是依據歷史資料來估計； ? 四是在正式調查之前，先組織一次小規(guī)模的試調查。 86 ? 例 1，隨機抽取某大學 100名學生調查體重，經過稱量和計算后，學生的平均體重 58公斤，同時由過去的資料知道該校學生的體重總體標準差為 100公斤，求平均體重的平均誤差。 )(10100100 公斤???nx??87 ? 例 2，某大學隨機抽取 400名學生，發(fā)現(xiàn)戴眼鏡的有 160人，計算戴眼鏡學生所占比重的平均誤差。 %404 0 01 6 0 ??p%400)1( ????nppp?400?n