冪函數(shù)、反函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)復(fù)習(xí)教案(編輯修改稿)
2025-05-24 12:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)．判斷一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，或者是偶函數(shù)，或者既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，叫做判斷函數(shù)的奇偶性．函數(shù)的奇偶性定義給出了判斷奇、偶函數(shù)的一個(gè)重要方法，其步驟是：①考查定義域D是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若存在一個(gè)x0∈D，使得f (－x0)沒(méi)有意義，則f (x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若對(duì)于任意x∈D，f (－x)均有意義，則再進(jìn)行下一步．②判斷f (－x)=－f (x)或f (－x)=f (x)之一是否成立，從而作出正確結(jié)論．注：有時(shí)為了運(yùn)算上的方便，常常把驗(yàn)證f (－x)=177。f (x)轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證f (x)f (－x)=0，f (x)+f (－x)=0或2f (x)．(4) 判斷函數(shù)的奇偶性也可用下列性質(zhì)：①兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的和與差，仍是奇(偶)函數(shù)．②兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的積是偶函數(shù)．③一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．④函數(shù)f (x)與有相同的奇偶性．注：應(yīng)用上述性質(zhì)時(shí)，必須注意兩個(gè)函數(shù)有公共的定義域．(5) 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，有以下兩個(gè)常用結(jié)論．①奇函數(shù)在(0，+∞)和(－∞，0) (或(0，a)和(－a，0) (a0))上有相同的單調(diào)性．②偶函數(shù)在(0，+∞)和(－∞，0) (或(0，a)和(－a，0) (a0))上有相反的單調(diào)性．5．反函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念①函數(shù)y=f (x) (x∈A)中，設(shè)它的值域?yàn)镃．根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x、y的關(guān)系，用y把x表示出，得到．如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，就表示y是自變量；x是自變量y的函數(shù)．這樣的函數(shù)(y∈C)叫做函數(shù)y=f (x) (x∈A)的反函數(shù)，記作x=f－1(y)．習(xí)慣上，一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此對(duì)調(diào)函數(shù)x=f－1(y)中的字母x、y，改寫(xiě)成y=f－1(x)．②函數(shù)y=f (x)是定義域集合A到值域集合C的映射，而它的反函數(shù)y=f－1(x)是集合C到集合A的映射．③如果函數(shù)y=f (x)有反函數(shù)y=f－1(x)，那么函數(shù)y=f－1(x)的反函數(shù)就是y=f (x)，這就是說(shuō)函數(shù)y=f (x)與函數(shù)y=f－1(x)互為反函數(shù)．(2) 反函數(shù)存在的條件：①根據(jù)反函數(shù)的定義，只有原象具有唯一性的函數(shù)才有反函數(shù)；從圖象上看一個(gè)函數(shù)有反函數(shù)的充要條件是：平行于x軸的直線(xiàn)與函數(shù)圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)．②映射f：A→C是一一映射，所確定的函數(shù)y=f (x)才有反函數(shù)．用映射概念來(lái)敘述反函數(shù)的定義：如果確定函數(shù)y=f (x)的映射f：A→C是f (x)的定義域到值域C上的一一映射，那么逆映射f－1：C→A(也是一一映射)所確定的函數(shù)x=f－1(y)叫做函數(shù)y=f (x)的反函數(shù)．習(xí)慣上記作y=f－1(x)． (3) 反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系：①反函數(shù)的定義域、值域分別是原函數(shù)的值域和定義域．要注意反函數(shù)的定義域一般不能由其解析式來(lái)求，而應(yīng)該根據(jù)原函數(shù)的值域來(lái)確定．②若y=f (x)與y=f－1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f (x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，則有，當(dāng)x∈A時(shí)，f－1(f (x))=x；當(dāng)x∈C時(shí)；f (f－1(x))=x，一般地，f－1(f (x))=f (f－1(x))不成立．(4) 求反函數(shù)的方法和步驟：第一步：把y=f (x)看作是x的方程，解出這個(gè)方程在A內(nèi)的實(shí)根的表達(dá)式x=f－1(y)．第二步：把字母x、y互換，得y=f－1(x)．第三步：根據(jù)y=f (x)的值域C，注明y=f－1(x)的定義域x∈C．(當(dāng)然，第一、二兩步的順序可以交換)(5) 求分段函數(shù)的反函數(shù)的方法：先分別求出每一段上函數(shù)的反函數(shù)，然后再把它們結(jié)合起來(lái)．6．互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系(1) 定理：函數(shù)y=f (x)的圖象和它的反函數(shù)y=f－1(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．定理證明的思路是將圖象的對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為圖象上任意一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，其具體的步驟是：①設(shè)M(a，b)是y=f (x)圖象上任意一點(diǎn)，證明必在反函數(shù)y=f－1(x)的圖象上．②證明M(a，b)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)(分a=b和a≠b兩種情況)．③由(1)，(2)及f (x)與f－1(x)的互逆性得出結(jié)論．(2) 若將函數(shù)的表達(dá)式看成曲線(xiàn)的方程，則方程x=f－1(y)和y=f (x)是等價(jià)的，所以函數(shù)x=f－1(y)和y=f (x)的圖象是相同的，而將方程中x、y互換，相當(dāng)于將曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)對(duì)換，所以x=f－1(y)和y=f (x)的圖象都與y=f－1(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．(3) 函數(shù)y=f (x)與它的反函數(shù)y=f－1(x)的圖象交點(diǎn)或者在直線(xiàn)y=x上，或者關(guān)于直線(xiàn)y=x成對(duì)稱(chēng)地出現(xiàn)．①若函數(shù)y=f (x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)，且y=f (x)與它的反函數(shù)y=f－1(x)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在直線(xiàn)y=x上．②若函數(shù)y=f (x)在其定義域上是單調(diào)減函數(shù)，且y=f (x)與它的反函數(shù)y=f－1(x)的圖象有交點(diǎn)，?。糁挥幸粋€(gè)交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在直線(xiàn)y=x上；ⅱ．若有限交點(diǎn)的個(gè)數(shù)多于1，則有一個(gè)交點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上，其它所有交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．(4) 若函數(shù)y=f (x) (x∈A)是奇函數(shù)，值域?yàn)镃，且存在反函數(shù)；則它的反函數(shù)y=f－1(x) (x∈C)也是奇函數(shù)．(5) 若函數(shù)y=f (x) (x∈A)，值域?yàn)镃，且f (x)在A上是增(減)函數(shù)，則它的反函數(shù)y=f－1(x)在C上也是增(減)函數(shù)．疑難解析：1．冪函數(shù)概念及性質(zhì)的應(yīng)用題：m為何值時(shí)，函數(shù)+(x2－mx+1)0的定義域?yàn)镽？答：2．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定題：已知f (x)=8+2x－x2，若F (x)=f (2－x2)，試確定F (x)的單調(diào)區(qū)間．答：當(dāng)和[0，1]上F (x)是增函數(shù)．當(dāng)x∈[－1，0]和(1，+∞)上F (x)是減函數(shù)．3．判斷函數(shù)的奇偶性易犯的錯(cuò)誤(1) 因忽視定義域的特征致錯(cuò)題：判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1) ；(2) ．(3) ．答：(1)、(2) 非奇非偶，(3) 奇函數(shù)．(2) 因缺乏變形意識(shí)或方法致錯(cuò)題：判斷函數(shù)的奇偶性答：f (x)為奇函數(shù)．(3) 因忽視f (x)=0致錯(cuò)題：判斷函數(shù)．答：f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(4) 因分段函數(shù)的意義不清致錯(cuò)題：判斷函數(shù)的奇偶性．答：f (x)是奇函數(shù)．(5) 因忽視對(duì)參變量的討論致錯(cuò)4．反函數(shù)容易誤解的問(wèn)題．(1) 函數(shù)x= f－1(y)和函數(shù)y= f－1(x)是同一個(gè)函數(shù)，還是兩個(gè)不同的函數(shù)？(答：是同一函數(shù))(2) 函數(shù)y=f (x－1)與y= f－1(x－1)是互為反函數(shù)嗎？(答：一般不是互為反函數(shù))．(3) 偶函數(shù)必?zé)o反函數(shù)嗎？奇函數(shù)必有反函數(shù)嗎？(答：一般偶函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)，但這也不是絕對(duì)的；奇函數(shù)不一定都有反函數(shù))(4) 有反函數(shù)的函數(shù)必是其定義域上的單調(diào)函數(shù)嗎？(答：不一定)(5) 若函數(shù)與其反函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)一定在直線(xiàn)y=x上嗎？(答：不一定)．范例分析：例1．如圖141，曲線(xiàn)是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，已知n取177。2，四個(gè)值，則相應(yīng)曲線(xiàn)CCCC4的n依次是( ) (A) －2，，2(
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