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正文內(nèi)容

word版可編輯-創(chuàng)新設(shè)計(jì)教師用書(shū)人教a版理科屆高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)細(xì)致講解練第三篇三角函數(shù)、解三角形精心整理(編輯修改稿)

2025-05-21 22:03 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 tan=(  ).A.0 B. C.1 D.-解析 原式=sin(4π+)+cos(-10π+)-tan(6π+)=sin+cos-tan=+-1=0.答案 A3.(2014鄭州模擬)=(  ).A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2C.177。(sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2解析?。剑剑絴sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.答案 A4.(2014石家莊模擬)已知=5,則sin2 α-sin αcos α的值是(  ).A. B.- C.-2 D.2解析 由=5得=5即tan α=2,所以sin2 α-sin αcos α===.答案 A5.若sin α是5x2-7x-6=0的根,則=(  ). A. B. C. D.解析 由5x2-7x-6=0,得x=-或2.∴sin α=-.∴原式===.答案 B二、填空題6.(2014杭州模擬)如果sin(π+A)=,那么cos的值是________.解析 ∵sin(π+A)=,∴-sin A=.∴cos=-sin A=.答案 7.已知sin=,則cos的值為_(kāi)_______.解析 cos=cos=-sin=-.答案?。?.(2013江南十校第一次考試)已知sin=,且-π<α<-,則cos=________.解析 ∵sin=,又-π<α<-,∴<-α<,∴cos=-=-.答案 -三、解答題9.化簡(jiǎn):(k∈Z).解 當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),原式====-1;當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),原式====-1.綜上,原式=-1.10.已知在△ABC中,sin A+cos A=.(1)求sin Acos A的值;(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形;(3)求tan A的值.解 (1)∵sin A+cos A=,①∴兩邊平方得1+2sin Acos A=,∴sin Acos A=-,(2)由sin Acos A=-<0,且0<A<π,可知cos A<0,∴A為鈍角,∴△ABC是鈍角三角形.(3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+=,又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=,②∴由①,②可得sin A=,cos A=-,∴tan A===-.能力提升題組(建議用時(shí):25分鐘)一、選擇題1.(2012遼寧卷)已知sin α-cos α=,α∈(0,π),則tan α=(  ).A.-1 B.- C. D.1解析 法一 因?yàn)閟in α-cos α=,所以sin=,所以sin=1.因?yàn)棣痢?0,π),所以α=,所以tan α=-1.法二 因?yàn)閟in α-cos α=,所以(sin α-cos α)2=2,所以sin 2α=-∈(0,π),2α∈(0,2π),所以2α=,所以α=,所以tan α=-1.答案 A2.(2014衡水質(zhì)檢)已知α為銳角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1, 則sin α的值是(  ).A. B. C. D.解析 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得tan α=3,又sin2α+cos2α=1,α為銳角.故sin α=.答案 C二、填空題3.sin21176。+sin22176。+…+sin290176。=________.解析 sin21176。+sin22176。+…+sin290176。=sin21176。+sin22176。+…+sin244176。+sin245176。+cos244176。+cos243176。+…+cos21176。=(sin21176。+cos21176。)+(sin22176。+cos22176。)+…+(sin244176。+cos244176。)+sin245176。+sin290176。=45+=.答案 三、解答題4.是否存在α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同時(shí)成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解 假設(shè)存在角α,β滿(mǎn)足條件,則由已知條件可得由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.∴sin2α=,∴sin α=177。.∵α∈,∴α=177。.當(dāng)α=時(shí),由②式知cos β=,又β∈(0,π),∴β=,此時(shí)①式成立;當(dāng)α=-時(shí),由②式知cos β=,又β∈(0,π),∴β=,此時(shí)①式不成立,故舍去.∴存在α=,β=滿(mǎn)足條件.學(xué)生用書(shū)第53頁(yè)第3講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)[最新考綱]1.能畫(huà)出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性.2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π],正切函數(shù)在上的性質(zhì).知 識(shí) 梳 理正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z).函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x圖象定義域RR值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間[2kπ-π,2kπ]遞減區(qū)間[2kπ,2kπ+π]無(wú)對(duì)稱(chēng)中心(kπ,0)對(duì)稱(chēng)軸x=kπ+x=kπ無(wú)辨 析 感 悟1.周期性的判斷(1)(教材習(xí)題改編)由sin(30176。+120176。)=sin 30176。知,120176。是正弦函數(shù)y=sin x(x∈R)的一個(gè)周期. ()(2)函數(shù)y=tan的最小正周期為. (√)2.判斷奇偶性與對(duì)稱(chēng)性(3)函數(shù)y=sin是奇函數(shù). ()(4)函數(shù)y=sin x的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=2kπ+(k∈Z).()3.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(5)函數(shù)f(x)=sin(-2x)與f(x)=sin 2x的單調(diào)增區(qū)間都是(k∈Z). ()(6)函數(shù)y=tan x在整個(gè)定義域上是增函數(shù). ()4.求三角函數(shù)的最值(7)存在x∈R,使得2sin x=3. ()(8)(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為-. (√)[感悟提升]1.一點(diǎn)提醒 求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),應(yīng)注意ω的符號(hào),只有當(dāng)ω0時(shí),才能把ωx+φ看作一個(gè)整體,代入y=sin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解.2.三個(gè)防范 一是函數(shù)y=sin x與y=cos x的對(duì)稱(chēng)軸分別是經(jīng)過(guò)其圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且平行于y軸的直線,如y=cos x的對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ,而不是x=2kπ(k∈Z).二是對(duì)于y=tan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù),應(yīng)在每個(gè)區(qū)間(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù),如(6).三是函數(shù)y=sin x與y=cos x的最大值為1,最小值為-1,不存在一個(gè)值使sin x=,如(7).學(xué)生用書(shū)第54頁(yè)考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題【例1】 (1)函數(shù)y=的定義域?yàn)開(kāi)_______.(2)當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)y=3-sin x-2cos2x的最小值是________,最大值是________.解析 (1)法一 要使函數(shù)有意義,必須使sin x-cos x≥,在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的圖象,如圖所示.在[0,2π]內(nèi),滿(mǎn)足sin x=cos x的x為,再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π,所以原函數(shù)的定義域?yàn)?法二 利用三角函數(shù)線,畫(huà)出滿(mǎn)足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示).∴定義域?yàn)?法三 sin x-cos x=sin≥0,將x-視為一個(gè)整體,由正弦函數(shù)y=sin x的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.所以定義域?yàn)?(2)y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=2sin2 x-sin x+1,令sin x=t∈,∴y=2t2-t+1=22+,t∈,∴ymin=,ymax=2.答案 (1) (2) 2規(guī)律方法 (1)求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解.(2)三角函數(shù)值域的不同求法①利用sin x和cos x的值域直接求.②把形如y=asin x+bcos x的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.③利用sin x177。cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.【訓(xùn)練1】 (2014廣州模擬)已知函數(shù)f(x)=,求f(x)的定義域和值域.解 由cos 2x≠0得2x≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,所以f(x)的定義域?yàn)?f(x)====3cos2x-1.所以f(x)的值域?yàn)?考點(diǎn)二 三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性【例2】 (1)已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R),下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 (  ).A.函數(shù)f(x)的最小正周期為πB.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)(2)如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),那么|φ|的最小值為 (  ).                  A. B. C. D.解析 (1)f(x)=sin=-cos 2x,故其最小正周期為π,A正確;易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),B正確;由函數(shù)f(x)=-cos 2x的圖象可知,函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),C錯(cuò)誤;由函數(shù)f(x)的圖象易知,函數(shù)f(x)在上是增函數(shù),D正確,故選C.(2)由題意得3cos=3cos=3cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值為.答案 (1)C (2)A規(guī)律方法 (1)求最小正周期時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ω x+φ)的形式,則最小正周期為T(mén)=;奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y=Asin ωx或y=Acos ωx+b的形式.(2)求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的對(duì)稱(chēng)軸,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x;求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo),只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.【訓(xùn)練2】 (1)函數(shù)y=2cos2-1是 (  ).A.最小正周期為π的奇函數(shù)B.最小正周期為π的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)(2)函數(shù)y=2sin(3x+φ)的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=,則φ=________.解析 (1)y=2cos2-1=cos=sin 2x為奇函數(shù),T==π.(2)由y=sin x的對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ+(k∈Z),所以3+φ=kπ+(k∈Z),得φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,∴k=0,故φ=.答案 (1)A (2)考點(diǎn)三 三角函數(shù)的單調(diào)性【例3】 (2014臨沂月考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(-2x+φ)(0<φ<π),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x=.(1)求φ; (2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.審題路線 令(-2)+φ=+kπ,k∈Z?解得φ=?又0<φ<π?得出φ值?把f(x)=sin(-2x+φ),化為f(x)=-sin(2x-φ)?令g(x)=sin(2x-φ)?求出g(x)的單調(diào)區(qū)間?利用f(x)與g(x)的關(guān)系求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解 (1)令(-2)+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=.(2)由(1)得f(x)=sin=-sin,令g(x)=sin,由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z;由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z),故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z);單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z).學(xué)生用書(shū)第55頁(yè)規(guī)律方法 求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先化簡(jiǎn)成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間,只需把ωx+φ看作一個(gè)整體代入y=sin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把ω化為正數(shù).【訓(xùn)練3】 (2013安徽卷)已知函數(shù)f(x)=4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值;(2)討論f(x)在區(qū)間[0,]上的單調(diào)性.解 (1)f(x)=4cos ωxsin(ωx+)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin(2ωx+)+.因?yàn)閒(x)的最小正周期為π,且ω>0,從而有=π,故ω=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+)+.若0≤x≤,則≤2x+≤.當(dāng)≤2x+≤,即0≤x≤時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)≤2x+≤,即≤x≤時(shí),f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,f(x)在區(qū)間[0,]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[,]上單調(diào)遞減. 1.求三角函數(shù)的定義域應(yīng)注意利用三角函數(shù)線或者三角函數(shù)圖象.2.判斷函數(shù)奇偶性,應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性,注意偶函數(shù)的和、差、積、商仍為偶函數(shù);復(fù)合函數(shù)在復(fù)合過(guò)程中,對(duì)每個(gè)函數(shù)而言,一偶則偶,同奇則奇.3.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)
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