放縮法技巧全總結(jié)非常精辟,是尖子生解決高考數(shù)學(xué)最后一題之瓶頸之精華(編輯修改稿)
2025-05-13 23:49 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 每一個(gè)，.解析: 由得，又，故，而，令，則=，因?yàn)?，倒序相加?，而，則=，所以，即對(duì)每一個(gè)，. 解析: 不等式左=，原結(jié)論成立. ,求證: 解析: 經(jīng)過(guò)倒序相乘,就可以得到 ,求證: 解析: 其中:,因?yàn)? 所以 從而,所以. ,求證:. 解析: 因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào). 所以 所以所以 ,求證:. 解析:. (x)=x2－(－1)k2lnx(k∈N*).k是奇數(shù), n∈N*時(shí),求證: [f’(x)]n－2n－1f’(xn)≥2n(2n－2). 解析: 由已知得，(1)當(dāng)n=1時(shí)，左式=右式=0.∴不等式成立.(2), 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以綜上，當(dāng)k是奇數(shù)，時(shí)，命題成立 例41. （2007年?yáng)|北三校）已知函數(shù) （1）求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時(shí)的取值范圍； （2）令求證： ★例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù),.對(duì)任意正數(shù),證明：．解析:對(duì)任意給定的,由,若令 ，則 ① ,而 ②（一）、先證；因?yàn)椋?，又? ，得 ．所以．（二）、再證；由①、②式中關(guān)于的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)．則（?。?、當(dāng)，則，所以，因?yàn)?，此時(shí)． （ⅱ）、當(dāng)③，由①得 ,，因?yàn)? 所以 ④ 同理得⑤ ，于是 ⑥今證明 ⑦, 因?yàn)? ，只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然． 因此⑦得證．故由⑥得 ．綜上所述，對(duì)任何正數(shù)，皆有． :解析:一方面:(法二) 另一方面:十、二項(xiàng)放縮 , 例44. 已知證明 解析: ，即 ，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析: 引入一個(gè)結(jié)論：若則（證略）整理上式得（）以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)有。 注：①上述不等式可加強(qiáng)為簡(jiǎn)證如下： 利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： 故有②上述數(shù)列的極限存在，為無(wú)理數(shù)；同時(shí)是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國(guó)卷理科第20題） 簡(jiǎn)析 對(duì)第（2）問(wèn)：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡(jiǎn)捷證法：數(shù)列遞減，且故即。 當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問(wèn)題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見(jiàn)文[1]。 +b=1,a0,b0,求證：解析: 因?yàn)閍+b=1,a0,b0,可認(rèn)為成等差數(shù)列，設(shè)，從而 ，求證.解析: 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開(kāi)得，即，得證. :. 解析:參見(jiàn)上面的方法,希望讀者自己嘗試!)例42.(2008年北京海淀5月練習(xí)) 已知函數(shù)，滿(mǎn)足：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意都有.（I）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；（II）求；（III）令，試證明：. 解析:本題的亮點(diǎn)很多,是一道考查能力的好題. (1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性: 因?yàn)?所以可以得到, 也就是,不妨設(shè),所以,可以得到,也就是說(shuō)為上的單調(diào)增函數(shù). (2)此問(wèn)的難度較大,要完全解決出來(lái)需要一定的能力! 首先我
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