函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)科導(dǎo)學(xué)案(編輯修改稿)
2025-05-13 23:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∈R上是減函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0所以對(duì)于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立(2)將ab+bc+ca+1寫(xiě)成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1則f(a)=(b+c)a+bc+1當(dāng)b+c=0時(shí)，即b=c， f(a)=bc+1=c2+1因?yàn)閨c|＜1，所以f(a)=c2+1＞0當(dāng)b+c≠0時(shí)，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)因?yàn)閨b|＜1，|c|＜1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(1)=bc+bc+1=(1b)(1c)＞0由問(wèn)題(1)對(duì)于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0說(shuō)明：?jiǎn)栴}(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”把證明ab+bc+ca＞1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對(duì)稱(chēng)的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的條件下證明f(a)＞0(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)＞0)例4 假設(shè)國(guó)家收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格是元/，其中征稅標(biāo)準(zhǔn)為每元征元（叫做稅率為個(gè)百分點(diǎn)，即），計(jì)劃可收購(gòu)為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定稅率降低個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)計(jì)收購(gòu)可增加個(gè)百分點(diǎn)（1）寫(xiě)出稅收（元）與的函數(shù)關(guān)系；（2）要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原計(jì)劃的，確定的取值范圍解：（1）由題知，調(diào)節(jié)后稅率為，預(yù)計(jì)可收購(gòu)，總金額為元∴（2）∵元計(jì)劃稅收元，∴，得，又∵，∴的取值范圍為例5 某航天有限公司試制一種僅由金屬和金屬合成的合金，現(xiàn)已試制出這種合金克，它的體積立方厘米，已知金屬的比重小于每立方厘米克，大于每立方厘米克；金屬的比重約為每立方厘米克（1）試用分別表示出此合金中金屬、金屬克數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）求已試制的合金中金屬、金屬克數(shù)的取值范圍解：（1）此合金中含金屬克、金屬克， 則 ，解得，（2）∵在上是減函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，例6 已知函數(shù)R，且（I）若能表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和，求的解析式；（II）命題P：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)； 命題Q：函數(shù)是減函數(shù) 如果命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，求a的取值范圍；（III）在（II）的條件下，比較的大小解：（1） 解得（2）在區(qū)間上是增函數(shù)，解得又由函數(shù)是減函數(shù)，得∴命題P為真的條件是：命題Q為真的條件是：又∵命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，（2）由（1）得設(shè)函數(shù)∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)又例7若f（x）在定義域（－1，1）內(nèi)可導(dǎo)，且、時(shí)，解解：上為減函數(shù) 又當(dāng)上為奇函數(shù) ∴原不等式的解集為 例8 函數(shù)的定義域?yàn)镈：且滿(mǎn)足對(duì)于任意，有（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的奇偶性并證明；（Ⅲ）如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍（Ⅰ）解：令 （Ⅱ）證明：令令∴為偶函數(shù) （Ⅲ）∴ （1）∵上是增函數(shù)， ∴（1）等價(jià)于不等式組: ∴∴x的取值范圍為 例9已知函數(shù)(1) 求證: 函數(shù)是偶函數(shù)。(2) 判斷函數(shù)分別在區(qū)間、上的單調(diào)性, 并加以證明。(3) 若, 求證: 解： (1) 當(dāng)時(shí), , 則∴當(dāng)時(shí), , 則,∴綜上所述, 對(duì)于, 都有, ∴函數(shù)是偶函數(shù) (2) 當(dāng)時(shí), 設(shè), 則當(dāng)時(shí), 。 當(dāng)時(shí), ,∴函數(shù)在上是減函數(shù), 函數(shù)在上是增函數(shù) (3)由(2)知, 當(dāng)時(shí), ,又由(1)知, 函數(shù)是偶函數(shù), ∴當(dāng)時(shí), ,∴若, , 則, ,∴, 即例10已知函數(shù)（t為參數(shù)）（1）寫(xiě)出函數(shù)的定義域和值域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)解析式中參數(shù)t的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，如果，
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