【文章內(nèi)容簡介】 ＞β，且sinα＞sinβB．函數(shù)y=sinxcotx的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ－，2kπ+），k∈ZC．函數(shù)y= 的最小正周期是2πD．函數(shù)y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ=＋，k∈Z5．函數(shù)y=sin+cos在（－2π，2π）內(nèi)的遞增區(qū)間是 ．6．y=sin6x+cos6x的周期為 ．7．比較下列函數(shù)值的大?。? （1）sin2，sin3，sin4； (2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（＜θ＜）． 8．設(shè)f(x)=sin(x+) (k≠0) ． (1)寫出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時(shí)，函數(shù)f(x)至少有一個(gè)M與m． 第6課 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）【考點(diǎn)指津】 了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，會用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，理解參數(shù)A、ω、φ的物理意義．掌握將函數(shù)圖象進(jìn)行對稱變換、平移變換、伸縮變換．會根據(jù)圖象提供的信息，求出函數(shù)解析式．【知識在線】1．將y=cosx的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，再將所得的圖象向下平移1個(gè)單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是 （ ） A．y=cosx+1 B．y=cosx－1 C．y=－cosx+1 D．y=－cosx－12．函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對稱中心的坐標(biāo)一定是 （ ）A． (kπ，0)， k∈Z B．（kπ，0）， k∈ZC．（kπ，0）， k∈Z D．（kπ，0），k∈Z3．函數(shù)y=cos(2x+)的圖象的一個(gè)對稱軸方程為 （ ）A．x=－－ B．x=－ C．x= D．x=π4．為了得到函數(shù)y=4sin(3x+)，x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=3sin(x+)的圖象上所有點(diǎn)（ ）A．橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)不變． 5．要得到y(tǒng)=sin(2x－ )的圖象，只需將y=sin2x的圖象 （ ）A．向左平移個(gè)單位 B． 向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D． 向右平移個(gè)單位【講練平臺】 例1 函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的最小值為－2，其圖象相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差3π，又圖象過點(diǎn)（0，1），求這個(gè)函數(shù)的解析式． 分析 求函數(shù)的解析式，即求A、ω、φ的值．A與最大、最小值有關(guān)，易知A=2，ω與周期有關(guān)，由圖象可知，相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差3π，即=3π．得 T=6π，所以ω=．所以y=2sin(+φ），又圖象過點(diǎn)（0，1），所以可得關(guān)于φ的等式，從而可將φ求出，易得解析式為y=2sin( ＋）． 解略 點(diǎn)評 y=Asin(ωx+φ)中的A可由圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的確定，ω由周期的大小確定，φ的確定一般采用待定系數(shù)法，即找圖像上特殊點(diǎn)坐標(biāo)代入方程求解，也可由φ的幾何意義（圖象的左右平移的情況）等確定（請看下例）． xyππ3－3O 例2 右圖為某三角函數(shù)圖像的一段 （1）試用y=Asin（ωx+φ)型函數(shù)表示其解析式； （2）求這個(gè)函數(shù)關(guān)于直線x=2π對稱的函數(shù)解析式． 解：（1）T= － =4π． ∴ω= = ．又A=3，由圖象可知 所給曲線是由y=3sin 沿x軸向右平移 而得到的． ∴解析式為 y=3sin (x－)． (2)設(shè)（x，y)為y=3sin( x－ ）關(guān)于直線x=2π對稱的圖像上的任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于直線x=2π的對稱點(diǎn)應(yīng)為（4π－x，y)，故與y=3sin( x－）關(guān)于直線x=2π對稱的函數(shù)解析式是y=3sin［（4π－x)－ ］=－3sin( x＋）． 點(diǎn)評 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的圖象由y=sinωx的圖象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）個(gè)單位．特別要注意不能搞錯(cuò)平移的方向和平移的單位數(shù)量．求一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于一條直線對稱圖象的函數(shù)解析式時(shí)，要注意解幾知識的運(yùn)用． 例3 已知函數(shù)y=cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)． (1)當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合； （2）該函數(shù)圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？ 解 (1)y= + sin2x +1= sin(2x+)+ ． 當(dāng)2x+ =2kπ+ ，即x=kπ+，k∈Z時(shí)，ymax= ． (2）由y=sinx圖象左移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），其次將圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的（橫坐標(biāo)不變），最后把圖象向上平移 個(gè)單位即可． 思考 還有其他變換途徑嗎？若有，請敘述． 點(diǎn)評 （1）回答圖像的變換時(shí)，不能省略“縱坐標(biāo)不變”、“橫坐標(biāo)不變”等術(shù)語．（2）周期變換后的左右平移要注意平移單位的變化． 【知能集成】 已知三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的圖象，欲求其解析式，必須搞清A、ω、φ和圖象的哪些因素有關(guān)；y=sinωx和y=sin(ωx+φ)兩圖象間平移變換的方向和平移的單位數(shù)量極易搞錯(cuò)，解題時(shí)要倍加小心． 【訓(xùn)練反饋】1．函數(shù)y= sin(2x+θ)的圖象關(guān)于y軸對稱的充要條件是 （ ）A．θ=2kπ+ B．θ=kπ+ C．θ=2kπ+π D．θ=kπ+π(k∈Z)2．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對稱變換，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為 （ ）A．y=sin(－2x+ ) B．y=sin(－2x－)yx－111C．y=sin(－2x+ ) D． y=sin(－2x－)3．右圖是周期為2π的三角函數(shù)y=f(x)的圖象，那么f(x)可以寫成 （ ）A．sin(1+x) B． sin(－1－x) C．sin(x－1) D． sin(1－x)4．y=tan(x－)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是 （ ）OxxxxyyyyDCABOOO5．已知函數(shù)y=2cosx(0≤x≤2π)的圖象與直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則該封閉圖形面積是 ． 6．將y=sin(3x－ )的圖象向（左、右） 平移 個(gè)單位可得y=sin(3x+）的圖像．7．已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=時(shí)取得最大值，當(dāng)x=時(shí)取得最小值－ ，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求該函數(shù)的解析表達(dá)式． 8．已知函數(shù)y=sinx+cosx，x∈R． (1)當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的取值集合； （2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？ 61014102030時(shí)間/hy溫度/ ℃ 9．如圖：某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b．（1）求這段時(shí)間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式． 第7課 三角函數(shù)的最值【考點(diǎn)指津】 掌握基本三角函數(shù)y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的條件；掌握給定區(qū)間上三角函數(shù)的最值的求法；能運(yùn)用三角恒等變形，將較復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的最值問題．【知識在線】1．已知（1）cos2x= ；(2)sinx－cosx=2．5 ；(3)tanx+ =2 ；(4)sin3x=－ ．上述四個(gè)等式成立的是 （ ）A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）2．當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)y=2sin(2x+)的最大值為 ，最小值為 ，當(dāng)x∈〔－， 〕時(shí)函數(shù)y的最大值為 ，最小值為 . 3．函數(shù)y=sinx－cosx的最大值為 ，最小值為 ． 4．函數(shù)y=cos2x+sinx+1的值域?yàn)? ．【講練平臺】 例1 求函數(shù)f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此時(shí)x的值． 分析 由于f（x）的表達(dá)式較復(fù)雜，需進(jìn)行化簡． 解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+)+2 當(dāng)2x+=2kπ+， 即x=kπ+ (k∈Z)時(shí)，ymax= +2 ． 點(diǎn)評 要熟練掌握y=asinx+bcosx類型的三角函數(shù)最值的求法，asinx+bcosx= sin（x+φ）． 例2 若θ∈［－, ］，求函數(shù)y=cos(+θ）+sin2θ的最小值． 分析 在函數(shù)表達(dá)式中，含有兩個(gè)角和兩個(gè)三角函數(shù)名稱，若能化成含有一個(gè)角和一個(gè)三角函數(shù)名稱的式子，則問題可得到簡化． 解 y=cos(+θ)－cos［2(θ+)］=cos(+θ)－［2cos2(θ+)－1］ =－2cos2(θ+)+cos(+θ)+1 =－2［cos2(θ+)－cos(θ+)］+1 =－2［cos(θ+)－］2+ ． ∵θ∈［－, ］， ∴θ＋∈［，］． ∴≤cos(θ+)≤， ∴y最小值 = ． 點(diǎn)評 （1）三角函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常見的轉(zhuǎn)化目標(biāo)；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常運(yùn)用sinx，cosx的有界性，通過換元轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某區(qū)間上的最值問題；（3）對于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，應(yīng)先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的單調(diào)性求出最值． 例3 試求函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值． 分析 由于sinx+cosx與sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，則原三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某區(qū)間上的最值問題． 解 令t=sinx+cosx，則y=t+t2+1=(t+)2+，且t∈［－，］， ∴ymin= ，ymax=3+ ．點(diǎn)評 注意sinx+cosx與sinxcosx的關(guān)系，運(yùn)用換元法將原三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成y=at2+bt+c在某個(gè)區(qū)間上的最值問題． 【知能集成】 較復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問題，往往通過需要恒等變形，轉(zhuǎn)化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k型的三角函數(shù)的最值問題，運(yùn)用三角函數(shù)的有界性、單調(diào)性求三角函數(shù)的最值．用換元法解題，特別要注意sinx+tcosx與sinxcosx的關(guān)系，令sinx+cosx=t，則sinxcosx= ． 【訓(xùn)練反饋】1．函數(shù)y= 的最大值是 （ ）A． －1 B． ＋1 C． 1－ D． －1－ 2．若2α+β=π，則y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分別為 （