【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＋an－1＋an－2＋an－3＝67.由等差數(shù)列的性質(zhì)知a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.又Sn＝，即286＝，∴n＝26.(2)∵{an}為等差數(shù)列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45.答案　(1)26　(2)45 　　1．等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．2．方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解．　　　　　　　　　　　　　　　　 方法優(yōu)化4——整體代入法(整體相消法)在數(shù)列解題中的應(yīng)用【典例】 (1)(2012遼寧卷)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝(　　)．A．58 B．88 C．143 D．176(2)(2013北京卷)若等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________.[一般解法] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4＋a8＝16，即a1＋3d＋a1＋7d＝16，即a1＝8－5d，所以S11＝11a1＋d＝11(8－5d)＋55d＝88－55d＋55d＝88.(2)由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，得即解得q＝2，a1＝2，∴Sn＝＝＝2n＋1－2.[優(yōu)美解法] (1)由a1＋a11＝a4＋a8＝16，得S11＝＝＝＝88.(2)由已知，得＝＝q＝2，又a1＝2，所以Sn＝＝2n＋1－2.[反思感悟] 整體代入法是一種重要的解題方法和技巧，簡(jiǎn)化了解題過程，節(jié)省了時(shí)間，這就要求學(xué)生要掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征．【自主體驗(yàn)】在等差數(shù)列{an}中，已知Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，則Sm＋n＝________.解析　設(shè){an}的公差為d，則由Sn＝m，Sm＝n，得②－①得(m－n)a1＋d＝n－m，∵m≠n，∴a1＋d＝－1.∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d＝(m＋n)＝－(m＋n)．答案　－(m＋n)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P287基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(2013溫州二模)記Sn為等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，若－＝1，則其公差d＝(　　)．A. B．2 C．3 D．4解析　由－＝1，得－＝1，即a1＋d－＝1，∴d＝2.答案　B2．(2014濰坊期末考試)在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于(　　)．A．21 B．30 C．35 D．40解析　由題意得3a6＝15，a6＝＋a4＋…＋a9＝7a6＝75＝35.答案　C3．(2013揭陽二模)在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為(　　)．A．37 B．36 C．20 D．19解析　由am＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d?m＝37.答案　A4．(2014鄭州模擬){an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a7＝5，S7＝21，則S10＝(　　)．A．40 B．35 C．30 D．28解析　設(shè)公差為d，則由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.答案　A5．(2013淄博二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a13＝S13＝13，則a1＝(　　)．A．－14 B．－13 C．－12 D．－11解析　在等差數(shù)列中，S13＝＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.答案　D二、填空題6．(2013肇慶二模)在等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a25＝66，則a35＝________.解析　a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.答案　997．(2014成都模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前三項(xiàng)之和S3＝9，則{an}的通項(xiàng)an＝________.解析　由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1.答案　2n－18．(2013浙江五校聯(lián)考)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，則S3∶S5＝________.解析　＝＝＝＝.答案　3∶2三、解答題9．已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范圍．解　(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a＝1(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.(2)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a＋8a1，即a＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.故a1的取值范圍是(－5,2)．10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求an與Sn.(2)是否存在自然數(shù)n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2 015？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．證明　(1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N*)．(2)由(1)，得＝2n－1(n∈N*)，又S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2 015，得n＝1 008，即存在滿足條件的自然數(shù)n＝1 008.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．(2014咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝(　　)．A．12 B．14 C．16 D．18解析　Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.答案　B2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是(　　)．A．5 B．6 C．7 D．8解析　法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0，根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時(shí)，Sn最大．法二　由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a(bǔ)1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．法三　根據(jù)a1＝13，S3＝S11，則這個(gè)數(shù)列的公差不等于零，且這個(gè)數(shù)列的和先是單調(diào)遞增然后又單調(diào)遞減，根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，得只有當(dāng)n＝＝7時(shí)，Sn取得最大值．答案　C二、填空題3．(2014九江一模)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，則a7＝________.解析　因?yàn)?a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，所以數(shù)列{a}是以a＝1為首項(xiàng)，以d＝a－a＝4－1＝3為公差的等差數(shù)列，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n≥1.所以a7＝＝.答案　三、解答題4．(2013西安模擬)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝，是否存在非零實(shí)數(shù)c使得{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞0，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是關(guān)于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通項(xiàng)為an＝1＋(n－1)4＝4n－3.(2)由(1)知Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝.法一　所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c＝－.當(dāng)c＝－時(shí)，bn＝＝2n，當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝2.故當(dāng)c＝－時(shí)，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．法二　由bn＝＝＝，∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列．即存在一個(gè)非零常數(shù)c＝－，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.學(xué)生用書第84頁第3講　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和[最新考綱]1．理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．2．能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.知 識(shí) 梳 理1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表達(dá)式：＝q(n≥2)，q為常數(shù)．(2)等比中項(xiàng)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；若等比數(shù)列{an}的第m項(xiàng)為am，公比是q，則其第n項(xiàng)an可以表示為an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.3．等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則akal＝aman.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(4)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，{a}，{anbn}，仍是等比數(shù)列．辨 析 感 悟1．對(duì)等比數(shù)列概念的理解(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列．()(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.()(3)若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么這三個(gè)數(shù)可以設(shè)為，a，aq.(√)2．通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系(4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝.()(5)(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷改編)設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝3－2an.(√)3．等比數(shù)列性質(zhì)的活用(6)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．()(7)(2014蘭州模擬改編)在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝25.(√)(8)(2013江西卷改編)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于－2或0.()[感悟提升]1．一個(gè)區(qū)別　等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差可以為零，且等差中項(xiàng)唯一；而等比數(shù)列首項(xiàng)和公比均不為零，等比中項(xiàng)可以有兩個(gè)值．如(1)中的“常數(shù)”，應(yīng)為“同一非零常數(shù)”；(2)中，若b2＝ac，則不能推出a，b，c成等比數(shù)列，因?yàn)閍，b，c為0時(shí)，不成立．2．兩個(gè)防范　一是在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1或q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤，如(4)．二是運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，注意條件的限制，如(6)中當(dāng)＝q＜0時(shí)，ln an＋1－ln an＝ln q無意義.學(xué)生用書第85頁考點(diǎn)一　等比數(shù)列的判定與證明【例1】 (2013濟(jì)寧測(cè)試)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有Sn＝2an－3n，設(shè)bn＝an＋3.求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求an.證明　由Sn＝2an－3n對(duì)于任意的正整數(shù)都成立，得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，兩式相減，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2對(duì)一切正整數(shù)都成立，所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝62n－1.故an＝62n