【文章內(nèi)容簡介】 與 構(gòu)成的“ 完全有序元素對 ”，簡稱“ 元素對 ”。若元素為數(shù)字，則稱為“ 完全有序數(shù)字對 ”。 正交試驗設(shè)計 例：由數(shù)字 (1,2,3,4)和 (1,2,3)構(gòu)成的完全有序數(shù)字對為： )3,4(),2,4(),1,4()3,3(),2,3(),1,3()3,2(),2,2(),1,2()3,1(),2,1(),1,1( 若在一個矩陣的任意兩列中，由兩列中的對應(yīng)元素所構(gòu)成的數(shù)字對是完全對且每對出現(xiàn)的次數(shù)相等，則稱這兩列是 均衡搭配 ，否則就是 不均衡搭配 。例如： 正交試驗設(shè)計 ?????????????????????????222222212212221121211111A第 I列 第 II列 第 III列 第 I列與第 II列中的對應(yīng)元素構(gòu)成 8個數(shù)字對： )2,2()2,2()1,2()1,2()2,1()2,1()1,1()1,1( 它們是由元素 (1,2)和元素 (1,2)構(gòu)成的完全數(shù)字對，每對各出現(xiàn)兩次，因此稱這兩列為 均衡搭配 。 而第 I列與第 III列、第 II列與第 III列，由于每對出現(xiàn)的次數(shù)不相同，因此均為 不均衡搭配 。 正交試驗設(shè)計 ■ 正交表的定義與格式 定義： 設(shè) A是一個 的矩陣（ n行 k列），其中第 j列元素由元素 構(gòu)成 ，若 A的任意兩列均衡搭配，則稱 A是一張正交表。例如： kn?),2,1( m? ),2,1( kj ??L4(23)正交表 2 2 2 4 1 1 2 3 2 2 1 2 1 1 1 1 3 2 1 列號（因素） 行號（試驗號） 正交試驗設(shè)計 L8(4 24)正交表 2 1 1 2 4 8 1 2 2 1 4 7 1 2 1 2 3 6 2 1 2 1 3 5 1 1 2 2 2 4 2 2 1 1 2 3 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 5 4 3 2 1 列號（因素） 行號（試驗號） 正交試驗設(shè)計 正交表用符號 表示，其中 )( 21 kn mmmL ??? ?——正交表的代號，是 Latin Square（拉丁方格）的首字母； L——正交表的列數(shù)，每一列對應(yīng)著一個試驗因素； k——正交表的行數(shù)，表示試驗的次數(shù)； n——第 j 列中元素的個數(shù)，表示試驗中第 j個因素所取的水平數(shù)。若某些列中的元素個數(shù)相同，可以寫成指數(shù)的形式。 ),1( kjm j ??)222()2( 434 ??? LL)22224()24( 848 ?????? LL例如： 正交試驗設(shè)計 )3( 49L1 2 3 3 9 3 1 2 3 8 2 3 1 3（ 4把） 7 2 1 3 2 6 1 3 2 2 5 3 2 1 2（ 3把） 4 3（ II型刀） 3（ ） 3（ 56r/min） 1 3 2（ I型刀） 2（ ） 2（ 38r/min） 1 2 1（常規(guī)刀） 1（ ） 1（ 30r/min） 1（ 2把） 1 4 3 2 1 孔徑偏差 （ mm） 刀具種類 D（型） 走刀量 C（ mm/r） 切削速度 B（ r/min） 刀具數(shù)量 A（把） 因素 列 號 試驗號 正交試驗設(shè)計 ◆ 任意列中各水平重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)相等。 第 j 列中各水平重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)： ◆ 任意兩列所構(gòu)成的水平對是完全有序數(shù)字對，各水平對重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)相等（均衡搭配）。 第 i 列與第 j 列所構(gòu)成的水平對重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)： jmnt /?))(/( jimmnt ji ??? 正交表的性質(zhì) 正交試驗設(shè)計 根據(jù)正交表的上述兩個性質(zhì)，可得到正交表的三種初等變換： ◆ 列間置換 ：正交表中任意兩列可以相互交換； ◆ 行間置換 ：正交表中任意兩行可以相互交換； ◆ 水平置換 ：正交表中任意一列中的水平數(shù)字可以相互交換（例如“ 3”←→“4” ）。 （經(jīng)過上述初等變換后的表仍為正交表，稱變換后的正交表為原正交表的等價表） 說明： 若用關(guān)于零對稱的數(shù)字表示不同水平（例如二水平用 1表示；三水平用 0、 1表示；四水平用 2表示），則任意兩列元素的內(nèi)積為零（正交表由此得名）。 正交試驗設(shè)計 用正交表設(shè)計出來的試驗方案之所以合理，是因為具有如下兩個重要的特征： ● 均衡搭配 ——正交性 可以用較少的試驗次數(shù)替代全部可能試驗組合中好的、中等的、不好的搭配組合，使選出的較少的搭配組合具有均衡的代表性。 ● 綜合可比 ——數(shù)據(jù)分析的依據(jù) 可把復(fù)雜的多因素試驗數(shù)據(jù)處理問題轉(zhuǎn)化成單因素試驗數(shù)據(jù)處理。 通過試驗數(shù)據(jù)的適當(dāng)組合，可發(fā)現(xiàn)各組試驗數(shù)據(jù)以及各因素影響之間的某種可比性。 正交試驗設(shè)計 ◆ 水平數(shù)相同的正交表（ m水平正交表） 此類正交表中 ，因此通常簡記為 ，如 等。此類正交表又分為兩種： mmmm k ???? ?21)( kn mL )2( 34L★ 標(biāo)準(zhǔn)型正交表（最常用） ：水平數(shù)為素數(shù)或素數(shù)整數(shù)冪的正交表。例如： ★ 非標(biāo)準(zhǔn)型正交表 ：標(biāo)準(zhǔn)型之外的水平數(shù)相同的正交表。 )2( 34L )2( 78L )2( 1516L )3( 49L )3( 1327L )4( 516L◆ 水平數(shù)不同的正交表 此類正交表中，某兩列（或多列）之間的水平數(shù)不等。例如： )24( 48 ?L )23( 412 ?L )24( 9216 ?L 正交表的種類 正交試驗設(shè)計 正交試驗設(shè)計的極差分析（直觀分析） 直觀分析是通過簡單地計算各因素水平對試驗結(jié)果的影響，并用圖表形式將這些影響表示出來，再通過極差分析（找出最大值、最小值），最終確定出優(yōu)化的水平搭配方案（生產(chǎn)方案），或找出因素對試驗結(jié)果的影響程度。 根據(jù)所考查的試驗指標(biāo)的多少，正交試驗設(shè)計可分為單指標(biāo)正交試驗設(shè)計和多指標(biāo)正交試驗設(shè)計兩種。本節(jié)僅討論單指標(biāo)正交試驗設(shè)計的直觀分析。 正交試驗設(shè)計 示例 例： 某工廠一零件的鏜孔工序質(zhì)量不穩(wěn)定，經(jīng)常出現(xiàn)內(nèi)徑偏差較大的質(zhì)量問題。為了提高本工序的加工質(zhì)量，擬通過正交試驗確定影響內(nèi)徑偏差的各因素的主次順序，以探求較好的工藝條件來改進(jìn)工藝操作規(guī)程。 試驗方案設(shè)計 設(shè)計試驗方案時，首先要明確試驗要解決的問題（內(nèi)徑偏差過大），即明確試驗指標(biāo) ——內(nèi)徑偏差（越小越好）；然后明確影響試驗指標(biāo)的主要因素，選取適當(dāng)?shù)囊蛩厮健? 正交試驗設(shè)計 ■ 明確試驗指標(biāo)和影響因素，制定因素水平表 影響因素： 試驗指標(biāo)： 內(nèi)徑偏差 根據(jù)以往的生產(chǎn)經(jīng)驗和正交試驗設(shè)計的特點，每個因素各選取三個水平進(jìn)行試驗，如下： A——鏜孔時所用的刀具數(shù)量 B——切削速度 C——走刀量 D——刀具種類 II型刀 56 4 3 I型刀 38 3 2 常規(guī)刀 30 2 1 D 刀具種類 （型） C 走刀量 （ mm/r） B 切削速度 （ r/min） A 刀具數(shù)量 （把） 因素 水平 正交試驗設(shè)計 ■ 選擇正交表，設(shè)計表頭 根據(jù)因素及水平的多少，選擇四因素、三水平的正交表 L9(34)，如下： 4 3 2 1 列 號 D C B A 因 素 ■ 根據(jù)正交表確定試驗方案 按正交表 L9(34)的內(nèi)容及所設(shè)計的表頭，將試驗方案填入正交表中。 正交試驗設(shè)計 1 2 3 3 9 3 1 2 3 8 2 3 1 3（ 4把） 7 2 1 3 2 6 1 3 2 2 5 3 2 1 2（ 3把） 4 3（ II型刀） 3（ ） 3（ 56r/min） 1 3 2（ I型刀） 2（ ） 2（ 38r/min） 1 2 1（常規(guī)刀） 1（ ） 1（ 30r/min） 1（ 2把） 1 4 3 2 1 孔徑偏差 （ mm） 刀具種類 D（型） 走刀量 C（ mm/r） 切削速度 B（ r/min） 刀具數(shù)量 A（把） 因素 列 試驗號 號 正交試驗設(shè)計 按設(shè)計的試驗方案進(jìn)行試驗 嚴(yán)格按試驗方案進(jìn)行試驗，將孔徑偏差的試驗結(jié)果填入表格中。 1 2 3 3 9 3 1 2 3 8 2 3 1 3（ 4把） 7 2 1 3 2 6 1 3 2 2 5 3 2 1 2（ 3把） 4 3（ II型刀） 3（ ） 3（ 56r/min） 1 3 2（ I型刀） 2（ ） 2（ 38r/min） 1 2 1（常規(guī)刀） 1（ ） 1（ 30r/min） 1（ 2把） 1 4 3 2 1 孔徑偏差 （ mm） 刀具種類 D（型） 走刀量 C（ mm/r） 切削速度 B（ r/min） 刀具數(shù)量 A（把） 因素 列 試驗號 號 正交試驗設(shè)計 試驗結(jié)果的計算與分析 試驗結(jié)果的計算與分析主要解決以下三個問題（試驗的目的）： ◆ 分清各因素對試驗指標(biāo)影響的主次順序； ◆ 找出（確定出）優(yōu)化生產(chǎn)方案，即確定出采用什么樣的因素水平組合才能使試驗指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)； ◆ 分析試驗因素對試驗指標(biāo)的影響趨勢；為進(jìn)一步試驗指明方向。 正交試驗設(shè)計 1 2 3 3 9 3 1 2 3 8 2 3 1 3（ 4把） 7 2 1 3 2 6 1 3 2 2 5 3 2 1 2（ 3把） 4 3（ II型刀） 3（ ） 3（ 56r/min） 1 3 2（ I型刀） 2（ ） 2（ 38r/min） 1 2 1（常規(guī)刀） 1（ ） 1（ 30r/min） 1（ 2把） 1 4 3 2 1 孔徑偏差 （ mm） 刀具種類 D（型） 走刀量 C（ mm/r） 切削速度 B（ r/min） 刀具數(shù)量 A（把） 因素 列 試驗號 號 ■ 直接分析 正交試驗設(shè)計 由試驗數(shù)據(jù)可以直接看出，在 8號試驗（ A3B2C1D3）的工藝條件下，鏜出來的孔孔徑偏差最?。?）。 ■ 計算分析 通過對原始試驗數(shù)據(jù)的簡單計算，確定各因素水平的影響程度，最終找出最佳生產(chǎn)條件。 但這種條件是否就是因素水平的最佳搭配呢？在 9種方案之外還有沒有更好的水平搭配呢？這需要通過進(jìn)一步的計算、分析得到最佳的生產(chǎn)條件。 正交試驗設(shè)計 K3（水平 3下的 3個偏差之和） K2（水平 2下的 3個偏差之和） K1（水平 1下的 3個偏差之和） 極差 ? ? ? ?ii KKR m inm a x ??T = 1 2 3 3 9 3 1 2 3 8 2 3 1 3 7 2 1 3 2 6 1 3 2 2 5 3 2 1 2 4 3 3 3 1 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 4 3 2 1 孔徑偏差 （ mm） 刀具種類 D（型） 走刀量 C（ mm/r） 切削速度 B（ r/min） 刀具數(shù)量 A（把）