【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 132。對(duì)于其他任意類(lèi)型的數(shù),卻不能奏效,比如對(duì)于19節(jié)金項(xiàng)鏈,19的二進(jìn)制記數(shù)法表示為10011.即19=1+2+0+0+16,這樣從1到3都能表示,可是從4到15都沒(méi)法表示了?？梢赃@樣:你不是要求節(jié)數(shù)最少嗎?假設(shè) n=a+b 其中 a 是已經(jīng)找到的最大的那一節(jié)數(shù),b 是比 n 小的已經(jīng)解決了的金鏈問(wèn)題,由于 b 已經(jīng)解決,因此 b 的拆分能夠表示從1,2,3,...b1,b 的所有金鏈節(jié)數(shù),而再大一些的數(shù)就不能夠表示了,比如 b+1,所以必須要 a 參加進(jìn)來(lái),如果 n 是奇數(shù),可令 a=b+1,這樣 n=2b+1,所以 b=(n1)/2,a=(n+1)/2,這樣就找到了最大的一節(jié)的節(jié)數(shù) a ,然后對(duì) b=(n1)/2繼續(xù)應(yīng)用如上的辦法, n 是偶數(shù),可令 a=b ,這樣雖然 a 本身不能表示出 b+1,但是可以從 b 的拆分中拿出一個(gè)1來(lái)(這個(gè)1是必須存在的,因?yàn)橐硎緩?,2,3,...b1,b的所有數(shù))與 a 組成 a+1 也就是 b+ n=a+b=2a=2b,a=b=n/ n b 繼續(xù)如上的過(guò)程,就可以找到全部應(yīng)該斷開(kāi)的金鏈節(jié)數(shù),我算出了從1到16的所有拆分如下: 1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=1+1+2 5=1+1+3 6=1+2+3 7=1+2+4 8=1+1+2+4 9=1+1+2+5 10=1+1+3+5 11=1+1+3+6 12=1+1+2+3+5 13=1+1+2+3+6 14=1+1+1+4+7 15=1+1+1+4+8 16=1+1+2+4+8 上面的分成偶數(shù)節(jié)數(shù)是這樣分的，比如8=1+1+2+4，是將第三節(jié)、第四節(jié)割開(kāi)。對(duì)于19節(jié)金鏈子,19+1=20,20/2=10,最大的一節(jié)是10節(jié),1910=9,9+1=10,10/2=5,又找到了一節(jié)是5,95=4,4的表示法如上已經(jīng)列出來(lái)了:4=1+1+:1,1,2,5,是23節(jié)金鏈子,也能夠很容易地解決:23+1=24,24/2=12。2312=11,11=1+1+3+6。所以23的分割法為:1,1,3,6,對(duì)于2k1類(lèi)型的數(shù),一個(gè)數(shù)的拆分不是唯一的,例如把15這樣分割,會(huì)得到:1,1,2,4,. 上面提到的都是對(duì)于金鏈子的分割問(wèn)題，對(duì)于金項(xiàng)鏈這樣閉環(huán)的情況，要增加一節(jié)，只要把第一個(gè)不為1的數(shù)分出去一個(gè)1即可達(dá)到目的。如上面提到的79節(jié)金項(xiàng)鏈,(79+1)/2=40,7940=39,(39+1)/2=20,3920=19,19=1+1+2+5+10，所以我們得到1，1，2，5，10，20，40，但是在2，5，10，20，40之間有4個(gè)空隙，要將2分成1+1，這樣也滿足閉環(huán)的分割要求了，最后得到1，1，1，1，5，10，20，40。【巧分乳酪】　　喬記餐館雖說(shuō)吃食不算最好，但卻以美味乳酪而遠(yuǎn)近聞名。塊塊乳酪狀如圓盤(pán)，繞有風(fēng)趣。一刀下去，就把一塊乳酪一切為二。連切兩刀，不難將其分成四塊，三刀則切成六塊。一天，女招待羅西請(qǐng)喬把乳酪切成八塊。喬：“好，羅西。很簡(jiǎn)單，我只要這樣切四刀就成了。羅西把切好的乳酪往桌子上送時(shí)，忽然悟到喬只需要切三刀便可以把乳酪分成八塊。羅西想出了什么妙主意？ 羅西豁然開(kāi)朗，悟到圓柱形乳酪是一個(gè)立體圖形，可以在中線處橫截一刀將其一切為二。如果允許移動(dòng)切開(kāi)的部分，那么連切三刀也行?？梢园训谝淮吻虚_(kāi)的兩塊迭放在一起，切第二刀成四塊，再把四塊跌放在一起，最后一刀切成八塊。羅西的解法是如此簡(jiǎn)單，幾乎可以說(shuō)是平凡的。然而它給人以明確的啟示：對(duì)于有意義的切分問(wèn)題，可以用有限差分演算進(jìn)行研究并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。有限差分演算是發(fā)現(xiàn)數(shù)字序列普通項(xiàng)公式的有力工具。今天，數(shù)字序列日益引起人們的興趣，因?yàn)樗哂袠O其廣泛的實(shí)際應(yīng)用范圍，還因?yàn)橛?jì)算機(jī)能夠以極快的速度執(zhí)行序列的運(yùn)算。 羅西第一次切乳酪的方法是在乳酪頂面的若干中線同時(shí)切數(shù)刀。乳酪具有如同薄餅?zāi)菢悠教沟捻斆?。讓我們?lái)觀察一下，根據(jù)在一張薄餅上切數(shù)刀的過(guò)程，能夠生成一些什么數(shù)字序列。假如沿著薄餅若干中線同時(shí)切數(shù)刀，顯然，同時(shí)切 n 刀至多可以切出2n塊。 若在其邊沿為一條簡(jiǎn)單閉合曲線的任意平面上同時(shí)切下 n 刀，這種方法所切成的塊數(shù)，是否最多也是 2n塊呢？否?？梢噪S意畫(huà)出許多既非凸面，并且形狀各異的平面，即使一刀也可切成你所希望的塊數(shù)。能否畫(huà)出一種圖形，僅切一刀便可以切出任何有限數(shù)目的全等的塊？若能辦到，這種圖形的周長(zhǎng)應(yīng)具有什么特性，才能確保只需要一刀便可以切成全等的 n 塊？若不同時(shí)進(jìn)行切分，薄餅的切分將更為有趣。你很快會(huì)發(fā)現(xiàn)：僅當(dāng) n〉=3 時(shí)，切 n 刀方可切成不止 2n 塊。 這里，我們并不考慮所切成的塊是否全等或面積相同。當(dāng) n=1，2，3，4。時(shí)，可以切成的最多塊數(shù)分別是2，4，7，11。這一大家所熟悉的序列是根據(jù)下列公式求得的： 1+n（n+1）/2 其中，n 是所切的刀數(shù)。此序列的前10項(xiàng)（n 自0開(kāi)始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46。 請(qǐng)注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1。這強(qiáng)烈地暗示著此序列的普通項(xiàng)是一個(gè)二次項(xiàng)。 為什么說(shuō)“強(qiáng)烈暗示”呢？因?yàn)殡m然可以用有限差分演算找到一個(gè)公式，但是并不能保證該公式對(duì)于無(wú)限序列也成立。這一點(diǎn)尚需證明。在薄餅公式這一例子中，不難通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法做出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明。 從這點(diǎn)出發(fā)，你可以發(fā)現(xiàn)大量的引人入勝的研究方向，其中有許多將導(dǎo)致非同尋常的數(shù)字序列，公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明。這里有一些問(wèn)題可供你作為初步嘗試。采用下列各種方法，最多可以切成幾塊？ 1。在馬蹄形的薄餅上切 n 刀。 2。在球形或羅西所切的那種圓柱形乳酪上切 n 刀。 3。用切小圓甜餅的刀在薄餅上切 n 刀。 4。在狀如燭環(huán)狀（即中心有一個(gè)圓孔）的薄餅上切 n 刀。 5。在油炸圈（圓環(huán)）上切 n 刀。 關(guān)于以上這些問(wèn)題，假設(shè)切分是同時(shí)進(jìn)行的，若改成連切方式，并且允許重新安排切開(kāi)的部分，其答案如何變化？【隱蔽的尺寸】　　在城市廣場(chǎng)的中央有一片很大的圓形憩息地。市議會(huì)擬在該地建造一個(gè)菱形淺水池。多里斯。萊特市長(zhǎng)看到這一計(jì)劃，她找來(lái)了建筑師。萊特市長(zhǎng)：“我喜歡呈菱形的水池，用紅瓷磚砌成，不知道這水池的每邊有多長(zhǎng)？”建筑師弗蘭克。勞埃德。朗被問(wèn)住了。朗先生：“從A至B是5米，從B至C是4米。唔，應(yīng)求出BD。也許我需要應(yīng)用畢達(dá)格拉斯定理。朗先生正疑惑不解，市長(zhǎng)閣下忽然叫起來(lái)。萊特市長(zhǎng)：“啊哈！水池每邊長(zhǎng)為9米，這是毫無(wú)疑問(wèn)的?！?朗先生：“我的天哪！怪不得你姓萊特（Wright）我姓朗（Wrong）呢。”有了什么好主意使這個(gè)問(wèn)題迎刃而解？ 既是對(duì)角線又是半徑 萊特夫人忽然悟到水池每邊即為矩形的對(duì)角線。這個(gè)矩形的另一條對(duì)角線就是圓形棲息地的半徑。而矩形的兩條對(duì)角線是相等的，所以水池每邊邊長(zhǎng)就是圓半徑的長(zhǎng)度。半徑是5+4=9米，因此水池每邊也是9米，無(wú)需應(yīng)用畢達(dá)格拉斯定理。 你再找一種更簡(jiǎn)便的方法試試看，這樣你就更能體會(huì)我們這種解法的優(yōu)點(diǎn)。如果你僅應(yīng)用畢達(dá)格拉斯定理和相似三角形，其解法一定很冗長(zhǎng)，繁瑣。但你如果想到下列平面幾何定理：一個(gè)圓的兩條內(nèi)部相交的弦，一條弦的兩部分之積等于另一根弦兩部分之積，那么就可以得出稍微簡(jiǎn)短的解法。根據(jù)這一定理，可以求得直角三角形的高為 √56，在應(yīng)用畢達(dá)格拉斯定理，算出直角三角形的斜邊為9。 有一個(gè)與此密切相關(guān)的問(wèn)題，那就是詩(shī)人亨利。朗非羅在其小說(shuō)《卡瓦諾》中所提出的有名的水仙花問(wèn)題。當(dāng)水仙花花莖垂直時(shí)，花朵伸出水面10厘米。如果把水仙花拉向一邊，使花莖保持直線，花朵沾水的位置離原來(lái)的位置是21厘米，問(wèn)水深多少厘米？ 要解這個(gè)問(wèn)題，可以先畫(huà)一張草圖，此圖與水池問(wèn)題的圖相似。我們要確定的就是x的長(zhǎng)度。與水池問(wèn)題一樣，這個(gè)問(wèn)題也不止一種解法。若你還記得兩弦相交的定理，解這個(gè)問(wèn)題是輕而易舉的。 還有一個(gè)有趣的游泳池難題，靈機(jī)一動(dòng)則迎刃而解。一條海豚位于一個(gè)圓形水池的西邊A點(diǎn)，它筆直地游了12米，鼻子觸到水邊的B點(diǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)身后，又筆直地游了5米，到達(dá)水池邊上的C點(diǎn)，此位置正好與水池邊上的A點(diǎn)遙遙相對(duì)，試問(wèn)如果它直接從A點(diǎn)游向C點(diǎn)，需要游多長(zhǎng)距離？ 啊哈！要解決這個(gè)問(wèn)題只需知道下列定理：半圓上的圓周角是直角，所以三角形ABC是直角三角形。已知兩直角邊長(zhǎng)分別為12米和5米，所以斜邊為13米。上述問(wèn)題都給我們以啟示：在許多情況下，如果思路正確，幾何問(wèn)題的求解會(huì)變得極其容易。而要做到這一點(diǎn)，這取決于你是否想到了歐幾里德幾何的某個(gè)基本定理。【分整為半】 鮑勃和海倫都熱衷于解難題，他們的最大樂(lè)趣就是彼此用難題來(lái)難住對(duì)方和難倒他們的朋友。一天，鮑勃和海倫經(jīng)過(guò)一家音響商店。鮑勃說(shuō)，你的那些西部田園音樂(lè)唱片還在嗎？海倫：沒(méi)有了。我已經(jīng)把一半唱片和半張唱片送給了蘇席。然后握又把剩下的一半唱片和半張唱片送給了喬。我現(xiàn)在只剩下一張唱片了，假如你能說(shuō)出我原來(lái)有幾張西部田園音樂(lè)唱片，那么我就把這張送給你。鮑勃給弄糊涂了，因?yàn)樗趺匆膊幻靼装霃埑€有什么用處。突然，他叫了一聲。啊哈！他明白了，一張唱片也沒(méi)有掰開(kāi)過(guò)。他答出了這道難題，海倫就把最后一張唱片給了鮑勃。 你有沒(méi)有上當(dāng)，以為某物的一半加 1/2就不可能是一個(gè)整數(shù)？假如是這樣的話，也許你會(huì)從掰開(kāi)唱片的角度來(lái)考慮解決這個(gè)問(wèn)題，那可就立即誤入歧途了。啊哈！竅門(mén)在于看出：數(shù)量為奇數(shù)的唱片，取其一半再加上半張唱片，一定是一個(gè)整數(shù)。因?yàn)楹愒谧詈笠淮嗡投Y后只剩下了一張唱片，所以在她把唱片送給喬之前，一定有三張唱片。 3的一半為3/2，而3/2+1/2=2，所以海倫最后一次送禮是兩張唱片，末了自己留有一張完整的唱片?，F(xiàn)在倒過(guò)來(lái)往前算就很簡(jiǎn)單，她原來(lái)一定有七張唱片，給了蘇席四張。當(dāng)然，這個(gè)問(wèn)題可用代數(shù)方法求解。列出這個(gè)問(wèn)題的方程式，然后求解。這是初等代數(shù)的一個(gè)很好的習(xí)題。不過(guò)令人驚奇的是，這么簡(jiǎn)單的小問(wèn)題卻要列出十分復(fù)雜的方程式： x（x/2+1/2）[（x（x/2+1/2））/2+1/2]=1 改變參數(shù)，很容易構(gòu)成同類(lèi)的新問(wèn)題。例如，假使海倫遵循同樣的贈(zèng)送方式，每次把唱片總數(shù)的一半加半張唱片送給別人，但一共贈(zèng)送三次而不是兩次，最后全部送完，一張不留。那么她原來(lái)共有幾張唱片呢？你會(huì)很有趣地發(fā)現(xiàn)，答案同上例完全相同，起初共有七張唱片！第三次送禮是把最后一張唱片也送給別人了。假如按照這樣的依次“分半”辦法送禮四次，最后還留下一張唱片，那么原來(lái)共有幾張唱片呢？若送禮五次呢？這些數(shù)產(chǎn)生怎樣的一個(gè)數(shù)列？ 現(xiàn)在就來(lái)解這個(gè)問(wèn)題：設(shè)x表示原來(lái)所有的唱片數(shù)，y是最后剩下的唱片數(shù)，y（n）是第n1次送禮后所剩下的唱片數(shù)，那么有， y（0）=x，y（n）=y（n1）（y（n1）/2+1/2）=y（n1）/21/2解此遞推公式得到 y =(y（0）+1）/2^n1=（x+1）/2^n1，所以原來(lái)有160