關(guān)于構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用及理論研究【畢業(yè)設(shè)計(jì)】【整理版】(編輯修改稿)
2025-05-04 02:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 維的鍛煉和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。 構(gòu)造法的特征靈活性：構(gòu)造法解決問(wèn)題非常簡(jiǎn)潔、巧妙，并且解決的方式常常突破常規(guī)模式，它的思考方式也常常是跳躍性的，所以具有很強(qiáng)的靈活性。思維的多樣性：構(gòu)造法解題要用到觀察、分析、聯(lián)想、綜合、等多種思維形式。發(fā)散性：這個(gè)也是構(gòu)造法的一個(gè)主要的特征，它在解決問(wèn)題的過(guò)程中從各個(gè)方向，各個(gè)角度進(jìn)行分析、聯(lián)想，整個(gè)思維都處于發(fā)散性狀態(tài)下，能對(duì)知識(shí)有很透徹的理解 構(gòu)造法與數(shù)學(xué)美之間的辯證關(guān)系數(shù)學(xué)中有美，美中也有數(shù)學(xué)，同樣在構(gòu)造法中也包含的美學(xué)的元素，數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，這也意味著這門學(xué)科相對(duì)而言會(huì)很枯燥，而數(shù)學(xué)中的美則是激發(fā)人們?nèi)パ芯繑?shù)學(xué)的動(dòng)力，研究構(gòu)造法中的美學(xué)能讓運(yùn)用構(gòu)造法的人對(duì)構(gòu)造法產(chǎn)生興趣，同時(shí)也能提高他們對(duì)數(shù)學(xué)中的美的感受，進(jìn)而提高人的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力。 構(gòu)造法與數(shù)學(xué)美的歷史淵源雖然構(gòu)造法的提出時(shí)在構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生之后，但在之前的很多大數(shù)學(xué)家都曾用過(guò)構(gòu)造法來(lái)解題，所以構(gòu)造法解題也是一種古老的解題方法，歷史上歐幾里得、高斯、歐拉、拉格朗日等人都曾用過(guò)構(gòu)造法來(lái)解決過(guò)數(shù)學(xué)中的難題，為數(shù)學(xué)做出了巨大的貢獻(xiàn)并向人們展示了數(shù)學(xué)中的美學(xué)，如歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)命題“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)有無(wú)限個(gè)”的證明，這個(gè)是反證法的范例也是用構(gòu)造法證明的范例，而在現(xiàn)代我們?cè)诖笠坏母叩葦?shù)學(xué)上講授的“拉格朗日中值定理”中通過(guò)輔助函數(shù)構(gòu)造來(lái)證明定理的正確性也是一個(gè)構(gòu)造法的范例，構(gòu)造法構(gòu)造的輔助函數(shù)的對(duì)稱，及思路的清晰感都能讓大一剛剛接觸到高等數(shù)學(xué)的同學(xué)感受到數(shù)學(xué)的美。在用構(gòu)造法構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)抽象的具體化更加的貼近人們本身的生活，數(shù)學(xué)知識(shí)很多都是理論上的，抽象性的，而通過(guò)模型來(lái)將數(shù)學(xué)的抽象的邏輯，知識(shí)變得更加易懂和現(xiàn)實(shí)，構(gòu)造法在其中表現(xiàn)出簡(jiǎn)潔、巧妙、讓人易懂等特點(diǎn)，同時(shí)將數(shù)學(xué)的美變得更加的形象。 恰如其分的構(gòu)造來(lái)襯托數(shù)學(xué)美構(gòu)造法是一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的方式，構(gòu)造法的目的就是使解題變得更加的簡(jiǎn)單、巧妙，而簡(jiǎn)單美則是數(shù)學(xué)美中的最基本的特征，數(shù)學(xué)的魅力就是在追求簡(jiǎn)單，從古道今數(shù)學(xué)無(wú)論是什么時(shí)候都是將證明解題過(guò)程變得更加的簡(jiǎn)潔、清晰、易懂，對(duì)于證明過(guò)程的化簡(jiǎn)在數(shù)學(xué)上是一種大的進(jìn)步，而構(gòu)造法就是將數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)的一中方式，在運(yùn)用過(guò)程中也能發(fā)現(xiàn)其中的美。在構(gòu)造過(guò)程中葉常常能遇到對(duì)稱、恒等式、符號(hào)的和諧之美，在構(gòu)造法的刻畫之下，在解決問(wèn)題的過(guò)程中也是對(duì)美的體驗(yàn)和創(chuàng)造。構(gòu)造中的構(gòu)造模型也是將數(shù)學(xué)的抽象思想變得具體化，模型的構(gòu)造很多時(shí)候是與現(xiàn)實(shí)進(jìn)行接軌，讓數(shù)學(xué)抽象的知識(shí)在模型建立的情況下發(fā)揮作用，同時(shí)能讓人在構(gòu)造模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)深刻的理解到數(shù)學(xué)本身的美。用構(gòu)造法能探究到數(shù)學(xué)中的很多美，而恰如其分的構(gòu)造就是對(duì)美的最大的最求，數(shù)學(xué)中的很多題都是依靠巧妙的構(gòu)造來(lái)進(jìn)行解決的，這個(gè)巧妙的方法本身就是一種數(shù)學(xué)的美，而很多問(wèn)題就在追求這種美的過(guò)程中將構(gòu)造進(jìn)一步深化和挖掘從而達(dá)到進(jìn)步，所以數(shù)學(xué)美和構(gòu)造法是相互依存的來(lái)發(fā)展和前進(jìn)的。3 構(gòu)造法在數(shù)學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用 構(gòu)造法是在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題是常規(guī)的方法或按照定勢(shì)思維難以解決時(shí)來(lái)使用的，此時(shí)我們應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的條件和結(jié)構(gòu)特征等從新的角度出發(fā)，用新的角度去觀察分析，抓住問(wèn)題的條件或結(jié)構(gòu)之間的特征結(jié)合原有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行類比分析，構(gòu)造一個(gè)我們更容易解決的輔助問(wèn)題，在解決這個(gè)輔助問(wèn)題后原有問(wèn)題也迎刃而解，構(gòu)造法在解題過(guò)程中注重的不是計(jì)算而是從策略上的思考，也就是先分析聯(lián)想后在行動(dòng)，所以運(yùn)用構(gòu)造法有以下的特點(diǎn)： （1）構(gòu)造法是通過(guò)構(gòu)造輔助問(wèn)題或是等價(jià)的問(wèn)題來(lái)使原問(wèn)題進(jìn)行策略上的轉(zhuǎn)化從而得到原問(wèn)題的解決方法。 （2）構(gòu)造法是根據(jù)原問(wèn)題的條件和結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行分析觀察的，然后通過(guò)想象、聯(lián)想將原有的知識(shí)進(jìn)行遷移變換，因?yàn)槊總€(gè)人的知識(shí)層次的不同，解題經(jīng)驗(yàn)不同，思考的方向不同，這也決定了構(gòu)造的形式也是不同的，所以構(gòu)造法的靈活性很大，一個(gè)問(wèn)題可能有多種不同的構(gòu)造方式。 構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)構(gòu)造的方向主要有三個(gè)大的方向：代數(shù)構(gòu)造法、幾何構(gòu)造法和向量構(gòu)造法，這三個(gè)方面分別從數(shù)學(xué)，形和數(shù)學(xué)結(jié)合的三個(gè)大的方向進(jìn)行構(gòu)造。 代數(shù)構(gòu)造法代數(shù)構(gòu)造法主要是有函數(shù)構(gòu)造法、方程構(gòu)造法、數(shù)列構(gòu)造法三個(gè)方面。 函數(shù)構(gòu)造法函數(shù)思想是數(shù)學(xué)上的重要思想方式，函數(shù)構(gòu)造法主要運(yùn)用的是函數(shù)思想，在問(wèn)題中找出可以作為自變量的因素，或者是表示成某一個(gè)變量的函數(shù)從而構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)，在構(gòu)造函數(shù)的過(guò)程中主要是根據(jù)已給的條件進(jìn)行分析聯(lián)想構(gòu)造出不同的函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、高次函數(shù)等，利用函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和函數(shù)圖像等方面進(jìn)行分析來(lái)討論問(wèn)題。例題1：求證：。構(gòu)造函數(shù)的優(yōu)勢(shì)：這個(gè)問(wèn)題用做差比較明顯比較困難，化簡(jiǎn)也比較繁瑣，通過(guò)先觀察，我們可以明顯看出不等式兩邊的形式是一樣的，那么就能聯(lián)想到是否能構(gòu)造一個(gè)相同的函數(shù)模型，而且根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)必定存在，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)中的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行不等式的證明。解：構(gòu)造函數(shù)， 對(duì)于任意的有 將帶入做差得： 所以函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，又因?yàn)? 所以 即存在，命題得證。例題2：證明：拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足 （1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 那么內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式成立這個(gè)是我們?cè)诖髮W(xué)的高等數(shù)學(xué)中所學(xué)到的拉格朗日中值定理，這個(gè)定理是由羅爾定理來(lái)一出的，而根據(jù)拉格朗日中值定理和羅爾定理的關(guān)系，我們肯定是用到羅爾定理來(lái)
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