人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)(編輯修改稿)
2025-05-04 02:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。易知是不等式，即的解。比較系數(shù)，得。例13 求下列函數(shù)的值域：（1） （2） （3） （4） 解 （1）因?yàn)?，所以值域?yàn)椤? （2）因?yàn)?，所以值域?yàn)?。? 此題容易誤解為。 （3）因?yàn)椋?，所以值域?yàn)椤? （4）令，則，從而。因?yàn)椋?。于是，故值域?yàn)?。?4 已知是的二次函數(shù)，且，求。解 設(shè)，則有。所以又，比較系數(shù)，得，所以所求函數(shù)為。例15 已知，且，求。解 令，代入，得。又，所以。函數(shù)單調(diào)性例1 下列函數(shù)中，屬于增函數(shù)的是 [ ]A、 B、 C、 D、解 D例2 若一次函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則點(diǎn)在直角坐標(biāo)平面的 [ ]A、上半平面B、下半平面 C、左半平面D、右半平面解 C 因?yàn)?。? 函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 [ ]A、 B、 C、 D、解 B 因拋物線開口向上，對稱軸方程為，所以，即。例4 已知，如果，那么 [ ]A、在區(qū)間(1，0)內(nèi)是減函數(shù) B、在區(qū)間(0，1)內(nèi)是減函數(shù)C、在區(qū)間(2，0)內(nèi)是增函數(shù) D、在區(qū)間(0，2)內(nèi)是增函數(shù)解 A 。畫出草圖可知在(1，0)上是減函數(shù)。例5 若在上都是減函數(shù)，則在(0，+∞)上是______函數(shù)(選填“增”或“減”)。解 減函數(shù) 由條件知，所以。例6 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 。解 [2，1]已知函數(shù)的定義域是。設(shè)，可知當(dāng)時，隨增大時，也增大但值減?。划?dāng)時，隨增大時，減小，但值增大，此時是的單調(diào)增函數(shù)，即時，是增函數(shù)。注 在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先求函數(shù)的定義域。例7 在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，且，那么在同一定義域上，是單調(diào) 函數(shù)；是單調(diào) 函數(shù)；y=[f(x)]2是單調(diào)______函數(shù)。解 遞減；遞減；遞增。例8 已知，證明是定義域上的減函數(shù)，且滿足等式的實(shí)數(shù)值至多只有一個。解 設(shè)，且，則，所以。所以是上的減函數(shù)。假設(shè)使成立的的值有兩個，設(shè)為，且，則。但因?yàn)樯系臏p數(shù)，故有。矛盾。所以使成立的的值至多有一個。例9 定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，對任意，都有，其中為常數(shù)。又知時，該函數(shù)為減函數(shù)，判斷當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)狀況，證明自己的結(jié)論。解 當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)。設(shè)，則。因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，注意到對任意，都有，可見對于實(shí)數(shù)，也有，即。同理。所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)。例10 是定義在上的遞增函數(shù)，且。（1）求證；(2)若，且，求的取值范圍。解（1）因?yàn)?，所以?2)因?yàn)椋谑?。由題設(shè)有，解得。反函數(shù)例1 求下列函數(shù)的反函數(shù)（1） （2） （3）解 （1）由得。原函數(shù)的反函數(shù)為。（2）由，得?！?，∴。 又∵ ∴，即，所求函數(shù)的反函數(shù)為。 （3）由，得。∴，∴。 ，故。又當(dāng)時，故?！啵蠛瘮?shù)的反函數(shù)為。評注 對于用解析法表示的函數(shù)，求其反函數(shù)，實(shí)際上只要做三件事：①把給出的函數(shù)解析式中的自變量當(dāng)作未知數(shù)，因變量當(dāng)作系數(shù)的方程而解之；②求給出函數(shù)的值域，③把①②中的互換。例2 如果點(diǎn)既在函數(shù)的圖像上，又在函數(shù)的反函數(shù)的圖象上，那么____ ____。分析 確定，只要列出關(guān)于的兩個方程，而由可得一方程，但直接用則需先求出反函數(shù)，應(yīng)注意。解 依題意可有：且，即，解得。例3 給定實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，求證：這個函
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