人教版高一數學函數(編輯修改稿)
2025-05-04 02:12 本頁面
【文章內容簡介】 。易知是不等式，即的解。比較系數，得。例13 求下列函數的值域：（1） （2） （3） （4） 解 （1）因為，所以值域為。 （2）因為，所以值域為。注 此題容易誤解為。 （3）因為，所以，所以值域為。 （4）令，則，從而。因為，所以。于是，故值域為。例14 已知是的二次函數，且，求。解 設，則有。所以又，比較系數，得，所以所求函數為。例15 已知，且，求。解 令，代入，得。又，所以。函數單調性例1 下列函數中，屬于增函數的是 [ ]A、 B、 C、 D、解 D例2 若一次函數在上是單調遞減函數，則點在直角坐標平面的 [ ]A、上半平面B、下半平面 C、左半平面D、右半平面解 C 因為。例3 函數在區(qū)間上是減函數，則實數a的取值范圍是 [ ]A、 B、 C、 D、解 B 因拋物線開口向上，對稱軸方程為，所以，即。例4 已知，如果，那么 [ ]A、在區(qū)間(1，0)內是減函數 B、在區(qū)間(0，1)內是減函數C、在區(qū)間(2，0)內是增函數 D、在區(qū)間(0，2)內是增函數解 A 。畫出草圖可知在(1，0)上是減函數。例5 若在上都是減函數，則在(0，+∞)上是______函數(選填“增”或“減”)。解 減函數 由條件知，所以。例6 函數的單調遞增區(qū)間是 。解 [2，1]已知函數的定義域是。設，可知當時，隨增大時，也增大但值減?。划敃r，隨增大時，減小，但值增大，此時是的單調增函數，即時，是增函數。注 在求函數單調區(qū)間時，應先求函數的定義域。例7 在定義域上是單調遞增函數，且，那么在同一定義域上，是單調 函數；是單調 函數；y=[f(x)]2是單調______函數。解 遞減；遞減；遞增。例8 已知，證明是定義域上的減函數，且滿足等式的實數值至多只有一個。解 設，且，則，所以。所以是上的減函數。假設使成立的的值有兩個，設為，且，則。但因為上的減數，故有。矛盾。所以使成立的的值至多有一個。例9 定義域為的函數，對任意，都有，其中為常數。又知時，該函數為減函數，判斷當時，函數的單調狀況，證明自己的結論。解 當時，函數是增函數。設，則。因為函數在上是減函數，所以，注意到對任意，都有，可見對于實數，也有，即。同理。所以，所以函數在上是增函數。例10 是定義在上的遞增函數，且。（1）求證；(2)若，且，求的取值范圍。解（1）因為，所以。(2)因為，于是。由題設有，解得。反函數例1 求下列函數的反函數（1） （2） （3）解 （1）由得。原函數的反函數為。（2）由，得?！?，∴。 又∵ ∴，即，所求函數的反函數為。 （3）由，得。∴，∴。 ，故。又當時，故?！?，所求函數的反函數為。評注 對于用解析法表示的函數，求其反函數，實際上只要做三件事：①把給出的函數解析式中的自變量當作未知數，因變量當作系數的方程而解之；②求給出函數的值域，③把①②中的互換。例2 如果點既在函數的圖像上，又在函數的反函數的圖象上，那么____ ____。分析 確定，只要列出關于的兩個方程，而由可得一方程，但直接用則需先求出反函數，應注意。解 依題意可有：且，即，解得。例3 給定實數，設函數，求證：這個函
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