【文章內(nèi)容簡介】 兩種不同的定義。 　　（1）分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。　?。?）表示一個數(shù)（比較數(shù)）是另一個數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來表示兩個數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率?！　“俜?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號“％”來表示，叫做百分號?！　≡诘诙N定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如下：　　比較數(shù)247。標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率（百分?jǐn)?shù)），　　標(biāo)準(zhǔn)數(shù)分率=比較數(shù)，　　比較數(shù)247。分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。　　根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題?！　±? 紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？　　分析與解：因為“女工占全廠人數(shù)的80％”，所以男工占全廠人數(shù)的180％=20％?！　∮忠驗椤耙卉囬g的男工占全廠男工的25％”，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20％25％=5％?！　±? 學(xué)校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹？　　分析與解：去年春季種的樹活了50085％=425（棵），死了500425=75（棵）。去年秋季種的樹，死了7520=55（棵），活了 55247。（190％）90％=495（棵）。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920（棵）?！　±? 一次考試共有5道試題。做對第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？　　分析與解：因為百分?jǐn)?shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為100。　　由此得到做錯第1題的有100（185％）=15（人）；　　同理可得，做錯第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人?！　】偣沧鲥e15+5+10+25+20=75（題）。　　一人做錯3道或3道以上為不及格，由75247。3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75％?！　±? 育紅小學(xué)四年級學(xué)生比三年級學(xué)生多25％，五年級學(xué)生比四年級學(xué)生少10％，六年級學(xué)生比五年級學(xué)生多10％。如果六年級學(xué)生比三年級學(xué)生多38人，那么三至六年級共有多少名學(xué)生？　　分析：以三年級學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級是三年級的125％，五年級是三年級的125％（110％），六年級是三年級的125％（110％）（1+10％）。因為已知六年級比三年級多38人，所以可根據(jù)六年級的人數(shù)列方程?！　〗猓涸O(shè)三年級有x名學(xué)生，根據(jù)六年級的人數(shù)可列方程：　　 x125％（110％）（1+10％）=x+38，　　 x125％90％110％=x+38，　　 =x+38，　　 =38，　　 x=　　三年級有160名學(xué)生?！　∷哪昙売袑W(xué)生 160125％=200（名）?！　∥迥昙売袑W(xué)生200（110％）＝180（名）?！　×昙売袑W(xué)生 160+38=198（名）?！　?60+200+180+198=738（名）?！　〈穑喝亮昙壒灿袑W(xué)生738名。　　在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說，糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值決定的，這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下基本關(guān)系：　　溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，　　溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量247。溶液重量，　　溶液重量=溶質(zhì)重量247。溶質(zhì)含量，　　溶質(zhì)重量=溶液重量溶質(zhì)含量?！　∪苜|(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶　　　例5 有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？　　分析與解：在600克含糖量為7％的糖水中，有糖（溶質(zhì)）6007％=42（克）?！≡O(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時溶質(zhì)有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程　　　　需要再加入20克糖。　　例6 倉庫運來含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％?，F(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？分析與解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開始，果重　　100（190％）=10（千克）?！　∫恍瞧诤蠛孔?yōu)?0％，“果”與“水”的比值為　因為“果”始終是10千克，可求出此時“水”的重量為　　所以總重量是10+40=50（千克）?！【毩?xí)9　　，5天完成了全長的20％。照此計算，完成任務(wù)還需多少天？　?。ィ囬g人數(shù)比一車間少20％，三車間人數(shù)比二車間多30％。已知三車間有156人，全廠有多少人？　　，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃?！　。?，86％，92％，94％。問：全年全勤的人至少占百分之幾？　?。サ木凭芤喝舾桑恿艘欢〝?shù)量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再加入同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌?？　　％的硫酸溶?000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？　　％的煤，經(jīng)過一段時間的風(fēng)干，含水量降為10％，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來的百分之幾？答案與提示　練習(xí)9　　?！　〗猓?247。20％5=20（天）?！　?。解：156247。[(120％) (1+30％)]247。25％=600（人）。　　、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69247。[1+80％+80％(1+20％)]=25（公頃），第二塊地為2580％=20（公頃），第三塊地為6925=24（公頃）。　?。ァ＝?；設(shè)全廠有100人，則四個季度沒有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。當(dāng)四個季度沒有全勤的人互不相同時，全年沒有全勤的人最多，為38人，所以至少有10036=62（人）全勤，即全年全勤率至少為62％。　　％?！　〗猓涸O(shè)酒精含量為30％的酒精溶液有100克，則溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24％的酒精溶液需加水30247。24％100=25（克）。若再加入25克水，則酒精含量變?yōu)椤　?0247。(100+25+25)=20％?！　?，400克?！　√崾荆涸O(shè)需要18％的溶液x克，則需要23％的溶液(100x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得　　x18％+(1000x)23％=100020％。解得x=600?！　。?。　　解：設(shè)原有100噸煤。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，則由含　　現(xiàn)在煤的重量為1005=95（噸），是原來的95％。第十講 商業(yè)中的數(shù)學(xué)市場經(jīng)濟(jì)中有許多數(shù)學(xué)問題。同學(xué)們可能都有和父母一起去買東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價，但是這個價格是怎樣定的？這就涉及到商品的成本、利潤等聽起來有些陌生的名詞?！　∵@一講的內(nèi)容就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識在商業(yè)中的應(yīng)用?！　±麧?售出價成本，　　例如，一件商品進(jìn)貨價是80元，售出價是100元，則這件商品的利潤是10080=20（元），利潤率是　　在這里我們用“進(jìn)貨價”代替了“成本”，實際上成本除了進(jìn)貨價，還包括運輸費、倉儲費、損耗等，為簡便，有時就忽略不計了?！　±?某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12個的錢一樣多。這種商品的進(jìn)貨價是每個多少元？　　解：設(shè)進(jìn)貨價是每個x元。由“售出價=進(jìn)貨價+利潤”，根據(jù)前、后兩次賣出的錢相等，可列方程　　　?。▁+7）13=（x+11）12，　　　　 13x+91=12+132　　 　　　　x=41。　　答：進(jìn)貨價是每個41元?！　±? 租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計劃要銷售3個月，由于降低了價格，結(jié)果2個月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉庫的租金，所以結(jié)算下來，反而比原計劃多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？　　分析與解：原計劃租倉庫3個月，現(xiàn)只租用了2個月，節(jié)約了1個月的租金7000元。如果不降低價格，那么應(yīng)比原計劃多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1000元，說明降價損失是70001000=6000（元）?！　∫驗楣灿?噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000247。3000=2（元）?！　±? 張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件。張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件?！鄙痰杲?jīng)理算了一下，若減價5％，則由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的成本是多少元？　　分析與解：設(shè)這種商品的成本是x元。減價5％就是每件減1005％=5（元），張先生可多買45=20（件）。由獲得利潤的情況，可列方程　?。?00x）80 +100=（1005x）（80 + 20），　　 　　 800080x+100=9500100x，　　 　　　　　　　20x=1400，　　 　　　　　　　　x=70，　　這種商品的成本是70元。　　由例例3看出，商品降價后，由于增加了銷售量，所以獲得的利潤有時反而比原來多?！　±? 某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米。如果在運輸及銷售過程中的損耗是10％，商店要想實現(xiàn)25％的利潤率，零售價應(yīng)是每千克多少元？　　分析與解：本題的成本包括收購價、運費、損耗。+400247。1000=（元）?！　∫驗橛?0％的損耗，247。（110％）=（元）　　售出價=成本（利潤率+1）　　 　　=（25％+1）　　　　 =（元），　　。　例5 小明到商店買了相同數(shù)量的紅球和白球，紅球原價2元3個，白球原價3元5個。新年優(yōu)惠，兩種球都按1元2個賣，結(jié)果小明少花了8元錢。問：小明共買了多少個球？　　例6 某廠向銀行申請甲、乙兩種貸款共40萬元，每年需付利息5萬元。甲種貸款年利率為12％，乙種貸款年利率為14％。該廠申請甲、乙兩種貸款的金額各是多少？　　解：設(shè)申請甲種貸款x萬元，則申請乙種貸款（40x）萬元。根據(jù)需付利息可得方程　　 　　x12％+（40x）14％=5，　　 　　　　　+＝5，　　　　 　　　　　　　　＝，　　 　　　　　　　　　　　　x=30（萬元）?！　　　?　　　　　　　　4030=10（萬元）?！　〈穑荷暾埣追N貸款30萬元，乙種貸款10萬元。練習(xí)10，用零售價10元賣出20支與用零售價11元賣出15支的利潤相同。這批鋼筆的進(jìn)貨價每支多少元？　　，這幾天的價格每天都是前一天的80％。媽媽第一天買了2個，第二天買了3個，第三天買了5個，共花了38元。若這10個蜜瓜都在第三天買，則能少花多少錢？　　，賣到還剩5雙時，除去購進(jìn)這批涼鞋的全部開銷外還獲利88元。問：這批涼鞋共多少雙？　　。零售時足球加價9％，籃球加價11％，全部賣出后獲利潤298元。問：每個足球和籃球的進(jìn)價是多少元？　　％。如果進(jìn)貨價降低20％，售出價保持不變，那么利潤率將是多少？　　。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米。如果不計損耗，那么商店要想實現(xiàn)25％的利潤率，零售價應(yīng)是每千克多少元？減價10元出售，全部售完，共獲利潤3000元。書店共售出這種掛歷多少本？答案與提示　練習(xí)10　　?！　〗猓海?0201115）247。（2015）=7（元）?！　?。　　解：設(shè)第一天每個蜜瓜x元。由　　2x+3x80％+5x80％=38，　　解得x=5（元）。10個瓜都在第三天買要花　　51080％80％=32（元），　　少花3832=6（元）?！　　！　〗猓?88+5)247。()=90（雙）?！　?，籃球35元?！　〗猓涸O(shè)50個足球的進(jìn)價為x元，則40個籃球的進(jìn)價為(3000x)元。根據(jù)利潤可得方程　　x9％+(3000x)11％=298。　　解得x=1600。每個足球的進(jìn)價為1600247。50=32（元），每個籃球的進(jìn)價為(3000x)247。40=35（元）。　?。?。解：設(shè)原來進(jìn)價為1元，則售出價為1(1+20％)=（元）?！　‖F(xiàn)在的進(jìn)價為1(120％)=（元），利潤率為（）247。=50％?！　　！　〗猓?+400247。1000)(1+25％)=（元）?！　??！　〗猓簩⑹鄢龅膾鞖v分組，每組5本，其中原價的2本，減價的3本。每組可獲利潤182+83=60（元），推知共有3000247。60=50（組），　　所以共售出550=250（本）。第11講 圓與扇形　　五年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關(guān)問題，這一講學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的周長、面積等問題?！　A的面積=πr2，　　圓的周長=2πr，　　　　本書中如無特殊說明，圓周率都取π=。　　例1 如下圖所示，200米賽跑的起點和終點都在直跑道上，中間的彎道是一個半圓。，那么外道的起點在內(nèi)道起點前面多少米？（）　　分析與解：半徑越大，周長越長，所以外道的彎道比內(nèi)道的彎道長，要保證內(nèi)、外道的人跑的距離相等，外道的起點就要向前移，移的距離等于外道彎道與內(nèi)道彎道的長度差。雖然彎道的各個半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等于一條跑道之寬?！　≡O(shè)外彎道中心線的半徑為R，內(nèi)彎道中心線的半徑為r，則兩個彎道的長度之差為　　πRπr＝π（Rr）　　　　　 ＝≈（米）。　　?！　±? 有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆（如左下圖），此時橡皮筋的長度是多少厘米？　　分析與解：由右上圖知，繩長等于6個線段AB與6個B