六年級(jí)奧數(shù)(數(shù)的整除)(編輯修改稿)
2025-04-20 02:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是 233＝ 24. 在求最小公倍數(shù)時(shí)，而168中無5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51= 243257＝5040. 例12 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個(gè)數(shù)是90，另一個(gè)數(shù)是多少？ 解：180＝22325， 30＝235. 對(duì)同一質(zhì)因數(shù)來說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從22與2就知道，一數(shù)中含22，另一數(shù)中含2；從32與3就知道，一數(shù)中含32，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是 90＝2325. 就知道另一數(shù)是 2235＝60. 還有一種解法： 另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找 30， 60， 90， 120，…. 這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180，有時(shí)會(huì)較費(fèi)力. 例13 有一種最簡真分?jǐn)?shù)，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？ 解：把420分解質(zhì)因數(shù) 420＝22357. 為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母， 1，3，4，5，7，12，15，20. 分子再大就要超過分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是 兩個(gè)整數(shù)，. 例13實(shí)質(zhì)上是把420分解成兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù). 利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，是非?；居质呛苡杏玫姆椒?，再舉三個(gè)例題. 例14 將8個(gè)數(shù)6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個(gè)數(shù)，并且每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，請寫出一種分組. 解：要想每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，就要讓每組的質(zhì)因數(shù)一樣，. 6＝23， 24＝233， 45＝325， 65＝513， 77＝711， 78＝2313， 105＝357， 110＝2511. 先放指數(shù)最高的質(zhì)因數(shù)，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個(gè)2的因子，必須把6，78，110放在第二組中，為了平衡質(zhì)因數(shù)11和13，105應(yīng)放在第二組中，45放在第一組中，得到 第一組：24，65，77，45. 第二組：6，78，110，105. 在講述下一例題之前，先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)名詞完全平方數(shù). 一個(gè)整數(shù)，可以分解成相同的兩個(gè)整數(shù)的乘積，就稱為完全平方數(shù). 例如：4＝22， 9＝33， 144＝1212， 625＝25，9，144，625都是完全平方數(shù). 一個(gè)完全平方數(shù)寫出質(zhì)因數(shù)分解后，每一個(gè)質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，一定是偶數(shù). 例如：144＝3242， 100＝2252，… 例15甲數(shù)有9個(gè)約數(shù)，乙數(shù)有10個(gè)約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？ 解：一個(gè)整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，也就是這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)時(shí)，甲數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù). 2800＝24527. 在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有 1，22，24，52，2252，2452. 在這6個(gè)數(shù)中只有2252＝100，它的約數(shù)是（2＋1）（2+1）＝9（個(gè)）. 2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100＝2252，因此乙數(shù)至少要含有24和7，而247＝112恰好有（4+1）（1＋1）＝10（個(gè)）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112. 綜合起來，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112. 例16 ，（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍(lán)筆每支各多少元？ 解：35＝藍(lán)的單價(jià)不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是175＝12（元）和177＝10（元），否則另一種筆1支是5元或7元. 記?。簩?duì)筆價(jià)來說，已排除了5，7，10，12這四個(gè)數(shù). 筆價(jià)不能是3517=18（元），就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，：1，2，3，6，9. 當(dāng)然也不能是171＝16，172＝15，173＝14，176＝11， 179＝： 1，2，3，6，8，9，11，14，15，16. 綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4＋13＝17，就知道紅筆每支 13元，藍(lán)筆每支 4元.三、余數(shù) 在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95247。3， 48247
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