【正文】 ，1 點(diǎn)與哪些點(diǎn)重合？　　分析與解：直接想象將展開(kāi)圖折疊成紙盒時(shí)的情景，也可以得到答案。現(xiàn)在我們從另一個(gè)角度來(lái)分析。在左下圖所示的立方體上觀察8個(gè)頂點(diǎn)，其中與A點(diǎn)不在一個(gè)　　表面上的只有B點(diǎn)，也就是說(shuō)，沿著表面走，這兩個(gè)點(diǎn)的路程最遠(yuǎn)。在展開(kāi)圖上，這兩個(gè)點(diǎn)恰好是相鄰兩個(gè)小正方形所構(gòu)成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線上的兩個(gè)端點(diǎn)。在上頁(yè)右下圖中，1，2，6點(diǎn)都距9點(diǎn)最遠(yuǎn)，也就是說(shuō)，1，2，6點(diǎn)都與9點(diǎn)不在一個(gè)表面上。而與9點(diǎn)不在一個(gè)表面上的只有一個(gè)點(diǎn)，所以1，2，6點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，即折疊成紙盒時(shí)，1，2，6點(diǎn)重合?！　±? 有兩塊六個(gè)面上分別寫(xiě)著1～6的相同的數(shù)字積木，擺放如下圖。在這兩塊積木中，相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字的乘積最小是多少？　　　分析與解：由兩圖看出，5與1，3，4，6都相鄰，所以5的對(duì)面只能是2；對(duì)右上圖使用右手方法，四指由5向4彎曲，大姆指指向6，將5，4，6的這個(gè)關(guān)系移到左上圖，立刻得到1的對(duì)面是4，3的對(duì)面是6?！　?2＝10，14＝4，36＝18，　　相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字的乘積最小是4。　　例5 有五顆相同的骰子放成一排（如下圖），五顆骰子底面的點(diǎn)數(shù)之和是多少？　　分析與解：五顆骰子有三顆露出了5，并且5和1，2，3，6相鄰，所以5的對(duì)面是4；2與1，3，5相鄰，因?yàn)?與4相對(duì)，故2也與4相鄰，所以2的對(duì)面是6；剩下的1與3必相對(duì)?！　∥孱w骰子底面的點(diǎn)數(shù)從左至右依次是4，6，3，1，4，其和為4＋6＋3＋1＋4＝18。　　例6 用一平面去截一個(gè)立方體，把立方體截成兩個(gè)部分，截口是一個(gè)矩形的。問(wèn)：這兩個(gè)部分各是幾個(gè)面圍成的？分析與解：截的方法有多種，所以一定要分情況討論。截口通過(guò)1條棱是1種情況，截口通過(guò)2條棱是1種情況，截口不通過(guò)任何棱有2種情況。所以共有下圖所示的四種可能?！【毩?xí)14　　，哪些是正方體的展開(kāi)圖？，它的相交于一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)面上的數(shù)字之和的最大值是多少？最小值是多少？　　，展開(kāi)圖如右上圖（1）。問(wèn)：在右上圖（2）中，從上往下數(shù)第二、三、四枚骰子的上頂面的點(diǎn)數(shù)之和是多少？　　，使之展開(kāi)成右圖所示的圖形，一共要剪開(kāi)幾條棱？　?。?）（2）（3）中哪個(gè)正方體的展開(kāi)圖？　　，B，C，D，E五個(gè)字母，其中兩個(gè)面寫(xiě)有相同的字母。下圖是它的三個(gè)視圖。問(wèn)：哪個(gè)字母被寫(xiě)了兩遍？　　，木塊六個(gè)面上分別寫(xiě)著A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母，其中A與D，B與E，C與F相對(duì)。如果將木塊沿著圖中方格滾動(dòng)，那么當(dāng)木塊滾動(dòng)到第21個(gè)格時(shí)，木塊向上的面寫(xiě)的是哪個(gè)字母？　答案與提示　練習(xí)14　　1.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11個(gè)?！　?；8?！　√崾荆鹤畲笫?+4+3=13；最小是1+2+5=8?！　?。　　提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上頂面的點(diǎn)數(shù)依次為3，6和1?！　?。　　提示：每剪開(kāi)一條棱，展開(kāi)圖的周長(zhǎng)就會(huì)增加2條棱長(zhǎng)。展開(kāi)圖的周長(zhǎng)是14條棱長(zhǎng)，所以剪開(kāi)了14247。2=7（條）棱。　　注：沿棱剪，無(wú)論剪成哪種連通的展開(kāi)圖，都要剪開(kāi)7條棱。也就是說(shuō)，無(wú)論哪種展開(kāi)圖，周長(zhǎng)都等于14條棱長(zhǎng)?！　。?）?！　√崾荆簣D（2）正面有兩個(gè)相連的陰影的正方形，展開(kāi)圖中找不到，所以不是圖（2）；圖（3）正面與右側(cè)面各有兩個(gè)陰影正方形，這四個(gè)陰影正方形沒(méi)有相鄰的邊，而展開(kāi)圖中有兩個(gè)陰影正方形的面，折疊后有兩個(gè)陰影正方形相鄰，所以不是圖（3）?！　?。　　解：假設(shè)C只寫(xiě)了一遍。因?yàn)镃與A，B，D，E都相鄰，所以被寫(xiě)了兩遍的字母在C的對(duì)面。與C相鄰的四個(gè)字母的相互位置是確定的。圖（2）（3）都有D，C，用右手方法判斷，圖（2）與圖（3）不符。這個(gè)矛盾的出現(xiàn)，是因?yàn)榧僭O(shè)C只寫(xiě)了一遍，所以C寫(xiě)了兩遍。　　?！　√崾荆耗緣K沿直線滾動(dòng)4格，與原來(lái)的狀態(tài)相同，所以木塊到第5，9，13，17，21格時(shí)，與在第1格的狀態(tài)相同。第15講 棋盤(pán)的覆蓋　　同學(xué)們會(huì)下棋嗎？下棋就要有棋盤(pán)，下面是中國(guó)象棋的棋盤(pán)（圖1），圍棋棋盤(pán)（圖2）和國(guó)際象棋棋盤(pán)（圖3）?！　∮媚撤N形狀的卡片，按一定要求將棋盤(pán)覆蓋住，就是棋盤(pán)的覆蓋問(wèn)題。實(shí)際上，這里并不要求一定是某種棋盤(pán)，只要是有關(guān)覆蓋若干行、若干列的方格網(wǎng)的問(wèn)題，就是棋盤(pán)的覆蓋問(wèn)題?！　∑灞P(pán)的覆蓋問(wèn)題可以分為兩類(lèi)：一是能不能覆蓋的問(wèn)題，二是有多少種不同的覆蓋方法問(wèn)題?！　±? 要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？　　　分析與解：因?yàn)閳D形由3個(gè)小方格構(gòu)成，所以要拼成的正方形內(nèi)所含的小方格數(shù)應(yīng)是3的倍數(shù)，從而正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是3的倍數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)，不可能拼成邊長(zhǎng)為3的正方形。所以拼成的正方形的邊長(zhǎng)最少是6（見(jiàn)右圖），需要用題目所示的圖形　　36247。3= 12（個(gè)）?！　　》治雠c解：在五年級(jí)學(xué)習(xí)“奇偶性”時(shí)已經(jīng)講過(guò)類(lèi)似問(wèn)題。左上圖共有34個(gè)小方格，17個(gè)12的卡片也有34個(gè)小方格，好象能覆蓋住。我們將左上圖黑白相間染色，得到右上圖。細(xì)心觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，右上圖中黑格有16個(gè)，白格有18個(gè)，而12的卡片每次只能蓋住一個(gè)黑格與一個(gè)白格，所以17個(gè)12的卡片應(yīng)當(dāng)蓋住黑、白格各17個(gè)，不可能蓋住左上圖。　　例3 下圖的七種圖形都是由4個(gè)相同的小方格組成的?，F(xiàn)在要用這些圖形拼成一個(gè)47的長(zhǎng)方形（可以重復(fù)使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同的圖形？　　　分析與解：先從簡(jiǎn)單的情形開(kāi)始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個(gè)（7）；用2種圖形也沒(méi)問(wèn)題，例如用1個(gè)（7），6個(gè)（1）。經(jīng)試驗(yàn)，用6種圖形也可以拼成47的長(zhǎng)方形（見(jiàn)下圖）?！　　∧芊駥?種圖形都用上呢？7個(gè)圖形共有47=28（個(gè)）小方格，從小方格的數(shù)量看，如果每種圖形用1個(gè)，那么有可能拼成47的長(zhǎng)方形。但事實(shí)上卻拼不成。為了說(shuō)明，我們將47的長(zhǎng)方形黑、白相間染色（見(jiàn)右圖），圖中黑、白格各有14個(gè)。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個(gè)，共覆蓋黑、白格各12個(gè)，還剩下黑、白格各2個(gè)。第（2）種圖形只能覆蓋3個(gè)黑格1個(gè)白格或3個(gè)白格1個(gè)黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個(gè)黑格2個(gè)白格?！【C上所述，要拼成 47的長(zhǎng)方形，最多能用上 6種圖形?！　±? 用11，22，33的小正方形拼成一個(gè)1111的大正方形，最少要用11的正方形多少個(gè)？　　分析與解：用3個(gè)22正方形和2個(gè)33正方形可以拼成1個(gè)56的長(zhǎng)方形（見(jiàn)左下圖）。用4個(gè)56的長(zhǎng)方形和1 個(gè) 11的正方形可以拼成 1個(gè)1111的大正形（見(jiàn)右下圖）?！∩厦嬲f(shuō)明用1個(gè)11的正方形和若干22，33的正方形可以拼成 1111的大正方形。那么，不用11的正方形，只用22，33的正方形可以拼成1111的正方形嗎？　　將1111的方格網(wǎng)每隔兩行染黑一行（見(jiàn)下頁(yè)右上圖）。將22或33的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數(shù)個(gè)白格，所以無(wú)論放置多少個(gè)22或33的正方形，覆蓋住的白格數(shù)量總是偶數(shù)個(gè)。但是，右圖中的白格有117=77（個(gè)），是奇數(shù)，矛盾。由此得到，不用11的正方形不可能拼成1111的正方形。　　綜上所述，要拼成1111的正方形，至少要用1個(gè)11的小正方形?！　±? 用七個(gè)12的小長(zhǎng)方形覆蓋下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？　　　分析與解：盲目無(wú)章的試驗(yàn)，很難搞清楚。我們采用分類(lèi)討論的方法。　　如下圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左下圖中①②兩個(gè)小長(zhǎng)方形只能如圖覆蓋，其余部分有4種覆蓋方法：右下圖中①②③三個(gè)小長(zhǎng)方形只能如圖覆蓋，其余部分有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。　　　　例6 有許多邊長(zhǎng)為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形的紙板，共有多少種不同的拼法？（通過(guò)旋轉(zhuǎn)及翻轉(zhuǎn)能相互得到的拼法認(rèn)為是相同的拼法）　　解：有一個(gè)邊長(zhǎng)3厘米紙片有如下3種拼法：　　有兩個(gè)邊長(zhǎng)2厘米紙片的有如下4種拼法：　　有一個(gè)邊長(zhǎng)2厘米及11個(gè)邊長(zhǎng)1厘米紙片的有2種拼法，邊長(zhǎng)全是1 厘米紙片的有1種拼法。　　共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（種）。　　答：共有10種不同的拼法。練習(xí)15　　　在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個(gè)這樣的卡片？（要求卡片的邊緣與格線重合）　　?。ㄈ缬覉D），他自己要留下4張連在一起的票，其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？、邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為3的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的大正方形，共有多少種不同拼法？（只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法）　4的長(zhǎng)方形卡片拼成一個(gè)66的正方形？答案與提示　練習(xí)15　　。提示：左下圖是一種放法。　?。?）?！　√崾荆簣D（1）的小方格數(shù)不是3的倍數(shù)；圖（3）的小方格數(shù)是3的倍數(shù)但拼不成；圖（2）的拼法見(jiàn)右上圖?！　??！　√崾荆河覉D中黑、白格各18個(gè)，每張卡片蓋住的黑格數(shù)是奇數(shù)，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和仍是奇數(shù)，不可能蓋住18個(gè)黑格?！　　Ｐ稳鐖D（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6種?！　??！　〗猓河眯≌叫纹闯蛇呴L(zhǎng)為4的大正方形有6種情形：?。?）1個(gè)33，7個(gè)11；（2）1個(gè)22，12個(gè)11；　　（3）2個(gè)22，8個(gè)11；（4）3個(gè)22，4個(gè)11；　?。?）4個(gè)22；（6）16個(gè)11?！　?。　提示：蓋住A有下圖所示的5種方法，其中左下圖所示的3種都無(wú)法覆蓋；下中圖中，①放好后，左下方和右上方各有2種放法，共有4種覆蓋方法；右下圖只有1種覆蓋方法?！　??！　√崾荆河?，2，3，4對(duì)66棋盤(pán)中的小方格編號(hào)（見(jiàn)右圖）。一個(gè)14的矩形一次只能覆蓋1，2，3，4號(hào)各一個(gè)，而1，2，3，4號(hào)數(shù)目不等，分別有9，10，9，8個(gè)。第16講 找規(guī)律　　同學(xué)們從三年級(jí)開(kāi)始，就陸續(xù)接觸過(guò)許多“找規(guī)律”的題目，例如發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)字或數(shù)表的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)周期變化規(guī)律等等。這一講的內(nèi)容是通過(guò)發(fā)現(xiàn)某一問(wèn)題的規(guī)律，推導(dǎo)出該問(wèn)題的計(jì)算公式。　　例1 求99邊形的內(nèi)角和?！　》治雠c解：三角形的內(nèi)角和等于180176。，可是99邊形的內(nèi)角和怎樣求呢？我們把問(wèn)題簡(jiǎn)化一下，先求四邊形、五邊形、六邊形……的內(nèi)角和，找一找其中的規(guī)律。如上圖所示，將四邊形ABCD分成兩個(gè)三角形，每個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180176。，所以四邊形的內(nèi)角和等于180176。2= 360176。；同理，將五邊形ABCDE分成三個(gè)三角形，得到五邊形的內(nèi)角和等于180176。3＝540176。；將六邊形ABCDEF分成四個(gè)三角形，得到六邊形的內(nèi)角和等于180176。4＝720176?！　⊥ㄟ^(guò)上面的圖形及分析可以發(fā)現(xiàn)，多邊形被分成的三角形數(shù)，等于邊數(shù)減2。由此得到多邊形的內(nèi)角和公式：　　n邊形的內(nèi)角和=180176。（n2）（n≥3）?！　∮辛诉@個(gè)公式，再求99邊形的內(nèi)角和就太容易了?！　?9邊形的內(nèi)角和=180176。（992）＝17460176?！　±? 四邊形內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和這10個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，最多能剪出多少個(gè)小三角形？　　分析與解：在10個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)A，連結(jié)A與四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形。再在剩下的9個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)B。如果B在某個(gè)三角形中，那么連結(jié)B與B所在的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)三角形總數(shù)增加2個(gè)（見(jiàn)左下圖）。如果B在某兩個(gè)三角形的公共邊上，那么連結(jié)B與B所在邊相對(duì)的頂點(diǎn)，此時(shí)三角形總數(shù)也是增加2個(gè)（見(jiàn)右下圖）?！　☆?lèi)似地，每增加一個(gè)點(diǎn)增加2個(gè)三角形?！　∷裕部杉舫鋈切?4＋ 2 9= 22（個(gè)）。　　如果將例2的“10個(gè)點(diǎn)”改為n個(gè)點(diǎn)，其它條件不變，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形　　4＋2（n1）=2n＋2=2（n＋1）（個(gè)）?！　⊥瑢W(xué)們都知道圓柱體，如果將圓柱體的底面換成三角形，那么便得到了三棱柱（左下圖）；同理可以得到四棱柱（下中圖），五棱柱（右下圖）。　　　如果底面是正三角形、正四邊形、正五邊形……那么相應(yīng)的柱體就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱……　　例3 n棱柱有多少條棱？如果將不相交的兩條棱稱為一對(duì)，那么n棱柱共有多少對(duì)不相交的棱？　　分析與解：n棱柱的底面和頂面都是n邊形，每個(gè)n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，所以n棱柱共有2n個(gè)頂點(diǎn)。觀察三棱柱、四棱柱、五棱柱的圖形，可以看出，每個(gè)頂點(diǎn)都與三條棱相連，而每條棱連接 2個(gè)頂點(diǎn)，所以n棱柱共有棱 2n3247。2=3n（條）。進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，n棱柱中每條棱都與4條棱相交，與其余的3n－41 =（3n－5）條棱不相交。共有3n條棱，所以不相交的棱有 3n（3n 5）（條），因?yàn)椴幌嘟坏睦馐浅蓪?duì)出現(xiàn)的，各計(jì)算一遍就重復(fù)了一遍，所以不相交的棱共有 3n（3n5）247。2（對(duì)）?！　±? 用四條直線最多能將一個(gè)圓分成幾塊？用100條直線呢？　　分析與解：4條直線時(shí)，我們可以試著畫(huà)，100條直線就不可能再畫(huà)了，所以必須尋找到規(guī)律。如下圖所示，一個(gè)圓是1塊；1條直線將圓分為2塊，即增加了1塊；2條直線時(shí)，當(dāng)2條直線不相交時(shí)，增加了1塊，當(dāng)2條直線相交時(shí)，增加了2塊。由此看出，要想分成的塊盡量多，應(yīng)當(dāng)使后畫(huà)的直線盡量與前面已畫(huà)的直線相交?！　≡佼?huà)第3條直線時(shí)，應(yīng)當(dāng)與前面2條直線都相交，這樣又增加了3塊（見(jiàn)左下圖）；畫(huà)第4條直線時(shí)，應(yīng)當(dāng)與前面3條直線都相交，這樣又增加了4塊（見(jiàn)右下圖）。所以4條直線最多將一個(gè)圓分成1＋1＋2＋3＋4=11（塊）?！　∮缮厦娴姆治隹梢钥闯?，畫(huà)第n條直線時(shí)應(yīng)當(dāng)與前面已畫(huà)的（n—1）條直線都相交，此時(shí)將增加n塊。因?yàn)橐婚_(kāi)始的圓算1塊，所以n條直線最多將圓分成　　1＋（1＋2＋3＋…＋n）　　=1＋n（n+1）247。2（塊）?！　‘?dāng)n=100時(shí)，可分成　　1＋100（100＋1）247。2=5051（塊）。例5 用3個(gè)三角形最多可以把平面分成幾部分？10個(gè)三角形呢？分析與解：平面本身是1部分。一個(gè)三角形將平面分成三角形內(nèi)、外2部分，即增加了1部分。兩