高一數(shù)學競賽講座2函數(shù)方程與函數(shù)迭代(編輯修改稿)
2025-05-01 05:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 8】求所有的函數(shù)f：R→R，使得對任意實數(shù)x，y，z有 ①：題設(shè)所給的是一個不等式，而不是方程，而且變元有三個，即x，y，z。我們設(shè)法通過取一些特殊值來尋求結(jié)果。令x=y=z=1，代入①，得 所以 故 ②令y=z=1，代入①并利用②，得 所以 ③令x=y=z=0，代入①，得 所以 ④令x=0，代入①并利用④，得 故 即 ⑤綜合③和⑤，即得?！挤治觥阶⒁獾绞嵌囗検竭@一條件，故其解析式的形式是固定的，只需確定最高次項的次數(shù)，然后利用待定系數(shù)法便可求得解析式.【例9】確定符合下列條件的所有多項式使 ①9.【解】設(shè) 代入原方程，得比較兩端的最高次冪，得所以或當時，原式化為解得所以當時，原式化為由多項式恒等定理得：因為所以從而故所求的函數(shù)方程的解為或〖說明〗本例根據(jù)“是多項式”這一條件，故其解析式的形式是固定的，只需確定最高次項的次數(shù)，然后利用待定系數(shù)法和多項式相等便可求得解析式.〖分析〗本題是關(guān)于函數(shù)的迭代問題，可令得出函數(shù)的一個不動點，從而可得到問題的解決過程.【例10】若是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)，且滿足則〖分析〗由題條件可以猜想當時，我們能將其轉(zhuǎn)化為整數(shù)的形式，然后再加以證明即可.【證明】由題設(shè)條件知取得取，則得 取則取，則，得 取且令，則所以 由可知，對任意有理數(shù)均有另一方面，對于任意的無理數(shù)，因為連續(xù)，取以為極限的有理序列，則有綜上所述，對于任意的實數(shù)，都有【例11】試求出所有滿足下列條件的函數(shù)（1）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)；（2）對任意的實數(shù)都有（3）【解】引理：設(shè)A、都有則A=B.引理的證明：假定，則根據(jù)題意知下面解答原題：依據(jù)題意，當為整數(shù)時，歸納易得到由且不恒為0知且當時，因為所以在R上為增函數(shù).對任一個，設(shè)，則由，得兩邊取對數(shù)得故以取代得：即由引理得即當時，同理可證故所有滿足條件的函數(shù)為【例12】設(shè)連續(xù)且恒不為0,求滿足的解.12〖分析〗由于本題滿足的條件可以看出對于大于零的等式兩側(cè)分別取對數(shù)，利用柯西函數(shù)解的定理即可解決.【解】因為，又恒不為0,所以對題設(shè)兩邊取自然對數(shù)，得令因為且連續(xù)，由柯西函數(shù)方程解的定理知故，所以令則〖說明〗本題是例6的拓展與延伸，利用柯西方程解的定理，在連續(xù)或單調(diào)性的條件下，我們還可以得到：（1）若（），則（2）若則（3）若則（4）若則這幾個問題，同學們可以作為課下練習加以證明.【例13】設(shè)為實數(shù)集，確定所滿足下列條件的函數(shù)（注：符號“”是“任意的”）.13.〖分析〗根據(jù)題設(shè)條件中所給出的等式的形式，可猜想到是所求的函數(shù)，可是還有其它的函數(shù)也具有這些性質(zhì)嗎？這就需要我們對函數(shù)的唯一性加以證明.13.【解】令得令得 令得 故是奇函數(shù)，只需在上討論即可.由式有，將改寫成，則得到即 （這里令即可）
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