【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (2015執(zhí)信中學(xué))已知數(shù)列滿(mǎn)足⑴證明：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑶若數(shù)列滿(mǎn)足證明是等差數(shù)列.、10.(2008北京）數(shù)列滿(mǎn)足，是常數(shù).⑴當(dāng)時(shí)，求及的值；⑵數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；⑶求的取值范圍，使得存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有.第4講 等比數(shù)列★ 知 識(shí) 梳理 ★如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，常數(shù)稱(chēng)為等比數(shù)列的公比. ⑴通項(xiàng)公式：，為首項(xiàng)，為公比 .⑵前項(xiàng)和公式：①當(dāng)時(shí)， ②當(dāng)時(shí)，. 如果成等比數(shù)列，：是與的等差中項(xiàng)，成等差數(shù)列. ⑴定義法：（，是常數(shù)）是等比數(shù)列；⑵中項(xiàng)法：()且是等比數(shù)列.⑴數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列、（是常數(shù)）都是等比數(shù)列；3 等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為. ⑶4 ，則；5 等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則、是等比數(shù)列. 6 等比數(shù)列的判定方法：⑴定義法：（，是常數(shù)）是等比數(shù)列；⑵中項(xiàng)法：()且是等比數(shù)列.★ 重 難 點(diǎn) 突 破 ★：理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式并能解決實(shí)際問(wèn)題；理解等比中項(xiàng)的概念,掌握等比數(shù)列的性質(zhì).：利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.：正確理解等比數(shù)列的概念，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.⑴求等比數(shù)列的公比、求值、判定等比數(shù)列等通常運(yùn)用等比數(shù)列的概念、公式及其性質(zhì).問(wèn)題1：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和(是非零常數(shù)),則數(shù)列是( ) 問(wèn)題2：若實(shí)數(shù)數(shù)列是等比數(shù)列，則 .★ 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析★考點(diǎn)1等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和題型1已知等比數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng)【例1】已知為等比數(shù)列，則 【例2】⑴已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，，公比，則項(xiàng)數(shù) .⑵已知四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為，中間兩數(shù)之和為，求這四個(gè)數(shù).題型3 求等比數(shù)列前項(xiàng)和【例3】等比數(shù)列中從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.【例4】已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，求 【例5】已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，求. 【新題導(dǎo)練】，求的值.，則這個(gè)等比數(shù)列的公比為 .，則 ；，則其前3項(xiàng)的和的取值范圍是 .，，前項(xiàng)中的數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求.考點(diǎn)2 證明數(shù)列是等比數(shù)列【例6】已知數(shù)列和滿(mǎn)足：，，其中為實(shí)數(shù)，.⑴ 對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；⑵ 試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.【新題導(dǎo)練】，…．證明：數(shù)列是等比數(shù)列； 考點(diǎn)3 等比數(shù)列的性質(zhì)【例7】已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，，則 .【新題導(dǎo)練】，則 .考點(diǎn)4 等比數(shù)列與其它知識(shí)的綜合【例8】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知 ⑴證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；⑵求的通項(xiàng)公式【新題導(dǎo)練】，，.⑴ 設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵ 若，求的取值范圍．★ 搶 分 頻 道 ★拔高鞏固訓(xùn)練，若，則數(shù)列前7項(xiàng)的和為（ ） ， 前n項(xiàng)和為，則（ ） ，則（ ） ，，則（ ） A． B． C． D．，則=（ ） 6.(2014廣雅中學(xué))在等比數(shù)列中，已知，則 . 7.(2015執(zhí)信中學(xué))等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項(xiàng)的和．8.(2009金山中學(xué))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，； ⑴求，的值； ⑵證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求． 9.(2014湖北) 已知數(shù)列和滿(mǎn)足：，，其中為實(shí)數(shù)，.⑴ 對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；⑵ 證明：當(dāng)，數(shù)列是等比數(shù)列； ⑶設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.第4講 數(shù)列的通項(xiàng)的求法★ 知 識(shí) 梳理 ★ 1．?dāng)?shù)列通項(xiàng)的常用方法：⑴利用觀(guān)察法求數(shù)列的通項(xiàng).⑵利用公式法求數(shù)列的通項(xiàng)：①；②等差、等比數(shù)列公式.⑶應(yīng)用迭加（迭乘、迭代）法求數(shù)列的通項(xiàng)：①；②⑶構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)：2． ；②；③；④.★ 重 難 點(diǎn) 突 破 ★：掌握由常見(jiàn)數(shù)列遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的方法.：由數(shù)列遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，選擇合適的方法.★ 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析★考點(diǎn) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式題型1 利用公式法求通項(xiàng)【例1】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：⑴ ； ⑵.題型2 應(yīng)用迭加（迭乘、迭代）法求通項(xiàng)【例2】⑴已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.題型3 構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)【例3】已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【例4】已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【例5】已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【新題導(dǎo)練】， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.⑴已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.（2012全國(guó)卷理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，設(shè)， 求數(shù)列的通項(xiàng)公式．6.(2014廣東文節(jié)選) 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.★ 搶 分 頻 道 ★基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練（，且），則此數(shù)列是( )等差數(shù)列 等比數(shù)列 等差數(shù)列或等比數(shù)列 既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)( ) ，,且，則( ) ，且，則數(shù)列的通項(xiàng) . ，則的通項(xiàng) .，則的通項(xiàng) .，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.第5講 數(shù)列求和★ 知 識(shí) 梳 理 ★ ⑴ 等差數(shù)列的前項(xiàng)和：⑵ 等比數(shù)列的前項(xiàng)和：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；⑶ 基本數(shù)列的前項(xiàng)和：.2. 數(shù)列求和的常用方法：公式法；性質(zhì)法；拆項(xiàng)分組法；裂項(xiàng)相消法；錯(cuò)位相減法；倒序相加法.★ 重 難 點(diǎn) 突 破 ★：掌握由數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的前項(xiàng)之和的方法；：利用裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)之和. ：靈活選擇數(shù)列求和的方法，注意裂項(xiàng)相消法求和中項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的處理.：公式法、性質(zhì)法、拆項(xiàng)分組法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法.⑴抓住等差，等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)，整體代值可簡(jiǎn)化解題過(guò)程.問(wèn)題1：⑴已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，公比，則 ；⑵等差數(shù)列中，公差，且，則 .⑵裂項(xiàng)相消法求和中注意項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的處理.問(wèn)題2：數(shù)列的前項(xiàng)和 ★ 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析★考點(diǎn) 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列前n項(xiàng)之和題型1 公式法、性質(zhì)法求和【例1】⑴等比數(shù)列中的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為： ⑵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為18，前項(xiàng)為和28，則前項(xiàng)和為 題型2 拆項(xiàng)分組法求和【例2】求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型3 裂項(xiàng)相消法求和【例3】求和：.題型4錯(cuò)位相減法求和【例4】若數(shù)列的通項(xiàng)，求此數(shù)列的前項(xiàng)和.題型5 倒序相加法求和【例5】設(shè)，求：⑴；⑵【新題導(dǎo)練】，為的兩個(gè)根，則 .，數(shù)列滿(mǎn)足且，則 .x1234541352..5.⑴ 求和：；⑵ 求和：；⑶ 求和：..：★ 搶 分 頻 道 ★ 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練，則數(shù)列的前項(xiàng)的絕對(duì)值之和為( ) ( ) ，所有奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比是( ) ，若的前項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)為( ) .，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 .，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 .，.⑴求的通項(xiàng)；⑵設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.9.(2015恩城中學(xué))觀(guān)察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣，回答下列問(wèn)題：⑴求第六行的第一個(gè)數(shù)；⑵求第20行的第一個(gè)數(shù)；⑶求第20行的所有數(shù)的和．第6講 數(shù)列的綜合問(wèn)題★ 知 識(shí) 梳理 ★ ⑴若有最大值，可由不等式組來(lái)確定； ⑵若有最小值，可由不等式組來(lái)確定. 、等比數(shù)列的設(shè)法 ⑴三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：.⑵三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：.、等比數(shù)列⑴等差數(shù)列中， 當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列，是的一次函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，是常數(shù)列，是的常數(shù)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，是的一次函數(shù).⑵等比數(shù)列中， 當(dāng)或時(shí)，是遞增數(shù)列； 當(dāng)或時(shí)，是遞減數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列. ⑴ 認(rèn)真審題、展開(kāi)聯(lián)想、溝通聯(lián)系； ⑵ 將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；⑶ 將數(shù)列與其它知識(shí)（如函數(shù)、方程、不等式、解幾、三角等）聯(lián)系起來(lái).★ 重 難 點(diǎn) 突 破 ★：掌握常見(jiàn)數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的解法；掌握數(shù)列與其它知識(shí)的綜合應(yīng)用.：如何將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題.★ 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析★考點(diǎn) 數(shù)列的綜合應(yīng)用題型1 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例1】已知等差數(shù)列與等比數(shù)列中，求的通項(xiàng).【例2】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，.⑴設(shè)數(shù)列中，求證：是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列中，求證：是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.題型2 數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用 【例3】（2014韶關(guān)模擬）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有．⑴求，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；⑵數(shù)列滿(mǎn)足,且 ①求通項(xiàng)公式；②當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)不小于的正整數(shù)恒成立，求的取值范圍. 題型3 數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題【例4】在一直線(xiàn)上共插有13面小旗，相鄰兩面之距離為，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?【例5】用磚砌墻,第一層(底層)用去了全部磚塊的一半多一塊,第二層用去了剩下的一半多一塊,…依次類(lèi)推,每一層都用去了上次剩下的磚塊的一半多一塊,到第十層恰好把磚塊用完，問(wèn)共用了多少塊?【例6】2002年底某縣的綠化面積占全縣總面積的％，從2003年開(kāi)始,計(jì)劃每年將非綠化面積的8％綠化,由于修路和蓋房等用地,原有綠化面積的2％被非綠化. ⑴設(shè)該縣的總面積為1,2002年底綠化面積為,經(jīng)過(guò)年后綠化的面積為,試用表示；⑵求數(shù)列的第項(xiàng)；⑶至少需要多少年的努力,才能使綠化率超過(guò)60%(參考數(shù)據(jù):)【新題導(dǎo)練】，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求原來(lái)的四個(gè)數(shù).，點(diǎn)在直線(xiàn)上．⑴若數(shù)列成等比，求常數(shù)的值； ⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑶數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 3.(2014金山中學(xué))數(shù)列首項(xiàng)，前項(xiàng)和與之間滿(mǎn)足（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)存在正數(shù)，使對(duì)于一切都成立，求的最大值。，每升高，降低℃，已知山頂處的溫度是℃，山腳處的溫度為℃，問(wèn)此山相對(duì)于山腳處的高度是多少米.