【正文】 人教版高中數(shù)學(xué)必修五培優(yōu)輔導(dǎo)拔高講義第一章 解三角形正弦定理：在中，、分別為角、的對(duì)邊，為的外接圓的半徑，則有．正弦定理的變形公式： ①，；②，； ③；④．（正弦定理主要用來(lái)解決兩類問題：已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其余的量。已知兩角和一邊，求其余的量。）⑤對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無(wú)解三中情況）DbsinAAbaC如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把a(bǔ)擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡與AD有無(wú)交點(diǎn)：、 2. 當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、 。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況： bsinA，則B無(wú)解a≤b,則B有兩解 3. 當(dāng)a=bsinA或ab時(shí)，B有一解注：當(dāng)A為鈍角或是直角時(shí)以此類推既可。三角形面積公式：．余弦定理：在中，有，．余弦定理的推論：，．CABD(余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角)如何判斷三角形的形狀：設(shè)、是的角、的對(duì)邊，則：①若，則；②若，則；③若，則．：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距千米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O, ∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。 “心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn). 外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn). 垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).第二章 數(shù)列數(shù)列：按照一定順序排列的一列數(shù)． 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列． 無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1an）．遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1an）．常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列（即：an+1=an）．?dāng)[動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系的公式．?dāng)?shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．1如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．符號(hào)表示:。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：① ②2() ③(為常數(shù))1由三個(gè)數(shù)，組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)．若，則稱為與的等差中項(xiàng)．1若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則．1通項(xiàng)公式的變形：①；②；③；④；⑤．1若是等差數(shù)列，且（、），則；若是等差數(shù)列，且（、），則．1等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：①；②．③1等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為，則，且，．②若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）．1如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號(hào)表示：（注：①等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；②同號(hào)位上的值同號(hào)） 注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：① ②(，) ③(為非零常數(shù)). ④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}（）成等比數(shù)列.1在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項(xiàng)．若，則稱為與的等比中項(xiàng)．（注：由不能得出，成等比，由，）若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則．2通項(xiàng)公式的變形：①；②；③；④．2若是等比數(shù)列，且（、），則；若是等比數(shù)列，且（、），則．2等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：①．②2對(duì)任意的數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系： [注]： ①（可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差{}前n項(xiàng)和 →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件. ③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）2幾種常見的數(shù)列的思想方法：⑴等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在時(shí)，有最大值. 如何確定使取最大值時(shí)的值，有兩種方法：一是求使，成立的值；、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時(shí)為一次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列前n項(xiàng)和公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時(shí)為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。2等差數(shù)列中，則 .分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點(diǎn)共線，所以利用每?jī)牲c(diǎn)形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡(jiǎn)潔。2等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，n為何值時(shí)最大？分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=，是拋物線=上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，則因?yàn)橛笞畲笾担势鋵?duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對(duì)稱軸為，即當(dāng)時(shí)，最大。2遞增數(shù)列，對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立，求構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列遞增得到：對(duì)于一切恒成立，即恒成立，所以對(duì)一切恒成立，設(shè)，則只需求出的最大值即可，顯然有最大值，所以的取值范圍是：。構(gòu)造二次函數(shù)，看成函數(shù)，它的定義域是，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對(duì)稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動(dòng)軸與已知區(qū)間的位置。從對(duì)應(yīng)圖像上看，對(duì)稱軸在的左側(cè)也可以（如圖），因?yàn)榇藭r(shí)B點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是，得⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和. 例如：⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù).29. 判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證都成立。30. 在等差數(shù)列｛｝中,有關(guān)Sn 的最值問題：(1)當(dāng)0,d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值. (2)當(dāng)0,d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。二、數(shù)列求和的常用方法1. 公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。:適用于其中{ }是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。:適用于其中{ }是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。: 類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n1) = 3） 4） 5） 6） 第三章 不等式1；；．不等式的性質(zhì)： ①；②；③；④，；⑤；⑥；⑦； ⑧．一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式．含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸（高次不等式）的解法穿根法（零點(diǎn)分段法）求解不等式：+——++——XX1X2X3Xn2Xn1Xn+解法：①將不等式化為a0(xx1)(xx2)…(xxm)0(0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便) ②求根，并將根按從小到大的在數(shù)軸上從左到右的表示出來(lái)；③由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶次根穿而不過，奇次根一穿而過），經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.（自右向左正負(fù)相間）一元二次不等式的求解：① 一元一次不等式axb解的討論； ②一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的討論. 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根 無(wú)實(shí)根 R 對(duì)于a0的不等式可以先把a(bǔ)化為正后用上表來(lái)做即可。（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為0(或0)； ≥0(或≤0)的形式，（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）：基本形式：①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集為：②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集為：變型：解得。其中cax+bc等價(jià)于不等式組 在解cax+bc得注意a的符號(hào)。型的不等式的解法可以由來(lái)解。 ③對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值的不等式：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論來(lái)解. ④絕對(duì)值不等式解法中常用幾何法：即根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.對(duì)稱軸x=yox+bx+c=0(a0)的實(shí)根的分布常借助二次函數(shù)圖像來(lái)分析：設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為，f(x)=ax2+bx+c,那么：①若兩根都大于0，即，則有對(duì)稱軸x=oxy②若兩根都小于0，即，則有oyx③若兩根有一根小于0一根大于0，即，則有X=nxmoy④若兩根在兩實(shí)數(shù)m,n之間，即，X=yomtnx則有 ⑤若兩個(gè)根在三個(gè)實(shí)數(shù)之間，即，則有常由根的分布情況來(lái)求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式．二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)，所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)．①若，則點(diǎn)在直線的上方．②若，則點(diǎn)在直線的下方．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線．（一）由B確定：①若，則表示直線上方的區(qū)域；表示直線下方的區(qū)域．②若，則表示直線下方的區(qū)域；表示直線上方的區(qū)域．（二）由A的符號(hào)來(lái)確定： 先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號(hào)方向：①若是“”號(hào)，則所表示的區(qū)域?yàn)橹本€l: 的右邊部分。②若是“”號(hào)，則所表示的區(qū)域?yàn)橹本€l: 的左邊部分。（三）確定不等式組所表示區(qū)域的步驟： ①畫線：畫出不等式所對(duì)應(yīng)的方程所表示的直線②定測(cè)：由上面（一）（二）來(lái)確定 ③求交：取出滿足各個(gè)不等式所表示的區(qū)域的公共部分。線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為，的一次解析式．線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解． 可行域：所有可行解組成的集合．最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．1設(shè)、是兩個(gè)正數(shù)，則稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)．1均值不等式定理： 若，則，即．1常用的基本不等式：①；②；③； ④．1極值定理：設(shè)、都為正數(shù)，則有：⑴若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值．⑵若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值．第1講 正弦定理和余弦定理★ 知 識(shí) 梳理 ★ 1. 內(nèi)角和定理：在中，；； : 3．正弦定理：在一個(gè)三角形中,各邊和它的所對(duì)角的正弦的比相等. 公式為：：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍..公式為： 變形為： ； ； ★ 重 難 點(diǎn) 突 破 ★：熟練掌握正弦定理、余弦定理和面積公式，利用內(nèi)角和定理實(shí)現(xiàn)三內(nèi)角之間的轉(zhuǎn)換，解題時(shí)應(yīng)注意四大定理的正用、逆用和變形用：根據(jù)已知條件,確定