數(shù)學(xué)二次函數(shù)與存在相似三角形(編輯修改稿)
2025-05-01 04:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當(dāng)點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？解：（1）拋物線y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點B（4，0），∴﹣4+b=0，解得b=，∴直線BD解析式為：y=﹣x+．當(dāng)x=﹣5時，y=3，∴D（﹣5，3）．∵點D（﹣5，3）在拋物線y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．（2）由拋物線解析式，令x=0，得y=k，∴C（0，﹣k），OC=k．因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2﹣1所示．設(shè)P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴D（x，x+k），代入拋物線解析式y(tǒng)=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（與點A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得k=．②若△ABC∽△ABP，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2﹣2所示．與①同理，可求得：k=．綜上所述，k=或k=．（3）由（1）知：D（﹣5，3），如答圖3，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30176。．過點D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30176。．過點F作FG⊥DK于點G，則FG=DF．由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即運動時間等于折線AF+FG的長度．由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．過點A作AH⊥DK于點H，則t最小=AH，AH與直線BD的交點，即為所求之F點．∵A點橫坐標為﹣2，直線BD解析式為：y=﹣x+，∴y=﹣（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．綜上所述，當(dāng)點F坐標為（﹣2，2）時，點M在整個運動過程中用時最少．5.（2014衡陽T28）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點為A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3m）（其中m＞0），頂點為D． （1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的
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