數(shù)學(xué)二次函數(shù)與存在相似三角形(完整版)
【正文】 四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），已知點(diǎn)E（m，0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），∴，解得， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+4；（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；（3）在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似．∵y=﹣x2﹣x+4，∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D（﹣3，0）．當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，﹣3＜m＜0．設(shè)直線BD的解析式為y=kx+4，將D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=，∴直線BD的解析式為y=x+4，∴H（m，m+4）．分兩種情況：①如果△BGP∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1；②如果△PGB∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．綜上所述，在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似，此時(shí)m的值為﹣1或﹣．4.（2014T28）如圖，拋物線y=x2+x﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF． （1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式； （2）求△BCF的面積； （3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x﹣2=0，解得x1=2，x2=4，∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（4，0）.當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，﹣2）.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得．∴直線BC的解析式為y=x﹣3；（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，∴∠ECD=90176。威海T28）如圖，拋物線y=（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B，與x軸交于C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的
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