數(shù)學二次函數(shù)與存在相似三角形(完整版)
【正文】 四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．（1）求該拋物線的解析式；（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，4），∴，解得， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+4；（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；（3）在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似．∵y=﹣x2﹣x+4，∴當y=0時，﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D（﹣3，0）．當點P在直線BC上方時，﹣3＜m＜0．設直線BD的解析式為y=kx+4，將D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=，∴直線BD的解析式為y=x+4，∴H（m，m+4）．分兩種情況：①如果△BGP∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1；②如果△PGB∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．綜上所述，在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為﹣1或﹣．4.（2014T28）如圖，拋物線y=x2+x﹣2交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，分別過點B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點D，將△BDC繞點C逆時針旋轉，使點D旋轉到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF． （1）求點B，C所在直線的函數(shù)解析式； （2）求△BCF的面積； （3）在線段BC上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）當y=0時，﹣x2+x﹣2=0，解得x1=2，x2=4，∴點A，B的坐標分別為（2，0），（4，0）.當x=0時，y=﹣2，∴C點的坐標分別為（0，﹣2）.設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得．∴直線BC的解析式為y=x﹣3；（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，∴∠ECD=90176。威海T28）如圖，拋物線y=（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B，與x軸交于C，經(jīng)過點B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的
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