數(shù)學(xué)二次函數(shù)與存在相似三角形(更新版)
【正文】 三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？解：（1）拋物線y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)B（4，0），∴﹣4+b=0，解得b=，∴直線BD解析式為：y=﹣x+．當(dāng)x=﹣5時(shí)，y=3，∴D（﹣5，3）．∵點(diǎn)D（﹣5，3）在拋物線y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．（2）由拋物線解析式，令x=0，得y=k，∴C（0，﹣k），OC=k．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2﹣1所示．設(shè)P（x，y），過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴D（x，x+k），代入拋物線解析式y(tǒng)=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得k=．②若△ABC∽△ABP，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2﹣2所示．與①同理，可求得：k=．綜上所述，k=或k=．（3）由（1）知：D（﹣5，3），如答圖3，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，則DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30176。2．當(dāng)x=0時(shí)，即y=0+4，解得y=4．∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)依次是A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得．所以直線BC的解析式為y=﹣2x+4．（2）∵點(diǎn)E在直線BC上，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，﹣2x+4），則△ODE的面積S可表示為：．∴當(dāng)x=1時(shí)，△ODE的面積有最大值1．此時(shí)，﹣2x+4=﹣21+4=2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）．（3）存在以點(diǎn)P、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+4），0＜x＜2．因?yàn)椤鱋AC與△OPD都是直角三角形，分兩種情況：①當(dāng)△PDO∽△COA時(shí)，解得，（不符合題意，舍去）．當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)△PDO∽△AOC時(shí)，解得，（不符合題意，舍去）．當(dāng)時(shí)，=．此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上可得，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：，．1. (2014?東營(yíng)衡陽(yáng)1
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