黃昆固體物理部分習(xí)題解答(編輯修改稿)
2025-05-01 02:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 兩邊微分得到 代入一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)．設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有求證：頻率分布函數(shù)為。. 解 依據(jù)，并帶入上邊結(jié)果有所以．有N個(gè)相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比于。證明：在到間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則．寫(xiě)出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為證明:量子諧振子的自由能為經(jīng)典極限意味著（溫度較高）應(yīng)用所以因此其中． 設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，使用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。證明:根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無(wú)關(guān)，故T=0K時(shí)振動(dòng)能就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為~，可見(jiàn)零點(diǎn)振動(dòng)能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬．．一維復(fù)式格子求（1），光學(xué)波，聲學(xué)波。（2），相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。（3），在300k時(shí)的平均聲子數(shù)。（4），與相對(duì)應(yīng)的電磁波波長(zhǎng)在什么波段。解 （1）， （2）（3）（4）．根據(jù)狀態(tài)簡(jiǎn)并微擾結(jié)果，求出與及相應(yīng)的波函數(shù)及。說(shuō)明它們都代表駐波，并比較兩個(gè)電子云分布（即）說(shuō)明能隙的來(lái)源(假設(shè)=)。解 令，簡(jiǎn)并微擾波函數(shù)為 取 帶入上式，其中 V(x)0,從上式得到B= A,于是=取， = 由教材可知，及均為駐波． 在駐波狀態(tài)下，電子的平均速度為零．產(chǎn)生駐波因?yàn)殡娮硬ㄊ笗r(shí)，電子波的波長(zhǎng)，恰好滿(mǎn)足布拉格發(fā)射條件，這時(shí)電子波發(fā)生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對(duì)應(yīng)不同代入能量。．寫(xiě)出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶(n=1，2，3)中，簡(jiǎn)約波數(shù)的0級(jí)波函數(shù)。解：第一能帶：第二能帶：第三能帶：． 電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能． 0 ， 其中a＝4b，是常數(shù)．(1) 試畫(huà)出此勢(shì)能曲線(xiàn)，求其平均值.(2) 用近自由電子近似模型求出晶體的第一個(gè)及第二個(gè)帶隙寬度．解：(I)題設(shè)勢(shì)能曲線(xiàn)如下圖所示．(2)勢(shì)能的平均值：由圖可見(jiàn)，是個(gè)以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分．這時(shí)，于是 。（3），勢(shì)能在[2b,2b]區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)利用積分公式得第二個(gè)禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有解 面心立方晶格—— s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)s原子態(tài)波函數(shù)具有球?qū)ΨQ(chēng)性—— 任選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)—— 最近鄰格點(diǎn)有12個(gè)12個(gè)最鄰近格點(diǎn)的位置 —— 類(lèi)似的表示共有12項(xiàng)—— 歸并化簡(jiǎn)后得
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