【文章內(nèi)容簡介】 擺錘達最高點（v3為擺錘在最高點的速率） 擺錘從最低點到最高點 所以 4－24 如題圖所示，有一自動卸貨礦車，滿載時的質(zhì)量為M ，從與水平成傾角a ＝ 30o斜面上的點B由靜止下滑。，礦車下滑距離l時，與緩沖彈簧一道沿斜面運動。當?shù)V車使彈簧產(chǎn)生最大壓縮形變時，礦車自動卸貨，然后礦車借助彈簧的彈性力作用，使之返回原位置B再裝貨。試問要完成這一過程，空載時與滿載時車的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？MB習(xí)題4－24 用圖αl解 設(shè)彈簧被壓縮的最大距離為x，礦車在下滑和上行的全過程中，摩擦力所做的功為 式中M和m分別為礦車滿載和空載時的質(zhì)量。根據(jù)功能原理，在礦車運動的全過程中，摩擦力所做的功應(yīng)等于系統(tǒng)機械能增量的負值，故有 由于礦車返回原位時速度為零，故DEk = 0 ；而,故有 可解得 m1m2v習(xí)題4－25 用圖4－25 如圖所示，質(zhì)量為m1的鋼球以速率為v射向質(zhì)量為m2 的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k的彈簧，此靶最初處于靜止狀態(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動。求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離 .解 設(shè)彈簧的最大壓縮量為x0 。小球與靶共同運動的速率為v1 。 由機械能守恒定律，有 所以 4－26 質(zhì)量為，速率為的粒子A與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B發(fā)生二維完全彈性碰撞，碰撞后粒子A的速率為。求：（1）粒子B的速率及相對粒子A原來速度方向的偏角；（2）粒子A 的偏轉(zhuǎn)角。習(xí)題4－26 用圖yxv162。AavAvBb解 取如題圖所示的坐標，在碰撞前后系統(tǒng)動量守恒定律，有 又由機械能守恒定律，有 碰撞后B粒子的速率為 各粒子相對原粒子方向的偏角分別為 mα習(xí)題4－27 用圖??Ah v0M4－27 如圖所示，一質(zhì)量為M的物塊放置在斜面的最低端A處，斜面的傾角為a ，高度為h ，物塊與斜面的動摩擦因數(shù)為 m ，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑動。求物塊滑出頂端時的速度大小 .解 子彈與物塊撞擊過程，在沿斜面的方向上，根據(jù)動量守恒有在物塊上滑的過程中，物塊剛滑出斜面頂端時的速度為v2 ,并取A點的重力勢能為零。由系統(tǒng)的功能原理可得 所以 第5章 角動量守恒定律及剛體的轉(zhuǎn)動51 質(zhì)點在有心力作用下沿光滑水平面上的圓周運動，當圓的半徑為r0時，質(zhì)點的速率為v0 。若在有心力作用下使圓半徑逐漸減小。試求圓半徑減小到r 時，質(zhì)點的速率v 是多少？解 在有心力作用下，質(zhì)點的角動量守恒 由此可得 52 哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓。彗星離太陽最近的距離是，近日點時它的速率是。彗星離太陽最遠的距離，遠日點時彗星的速率是多少？解 彗星運行受的引力指向太陽，所以它對太陽的角動量守恒 由此得 43 若將月球軌道看作是圓。試求月球?qū)Φ厍蛑行牡慕莿恿考奥用嫠俣取＝? 月球?qū)Φ厍蛑行牡慕莿恿繛? =1034 kg m2 / s月球?qū)Φ匦牡穆用嫠俣? 54 1988年12月，我國發(fā)射的通信衛(wèi)星在到達同步軌道之前，先要在一個大的橢圓形“轉(zhuǎn)移軌道”上運行若干圈。此轉(zhuǎn)移軌道的近地點高度為h1 = km，遠地點高度為h2 = km ，衛(wèi)星越過近地點時的速率為v1 = km / s 。已知地球半徑為。（1）求衛(wèi)星越過遠地點時的速率v2 ；（2）求衛(wèi)星在此軌道上運行的周期；（提示：橢圓面積公式）。解 （1）由衛(wèi)星對地心的角動量守恒 可得衛(wèi)星越過遠地點時的速率為 = k m / s（2）橢圓面積 掠面速度 衛(wèi)星的運行周期 55（1）設(shè)氫原子中電子在圓形軌道上以速率v繞質(zhì)子運動。作用在電子上的向心力大小為（庫侖力），其中e為電子的電量，r為軌道半徑，為恒量（真空中電容率）。試證明軌道半徑為 （2）假設(shè)電子繞核的角動量為h/2p的整數(shù)倍，其中h為普朗克常量。試證明電子的可能軌道半徑由下式確定： （3）是由以上兩式消去v，從而證明符合這兩個要求的軌道半徑必須滿足以下關(guān)系式： 證 （1）電子繞質(zhì)子作圓周運動的向心力是，有 則電子的軌道半徑為 （2）根據(jù)題意，即，有 則電子可能的軌道半徑為 （3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)果消去v ，得 56 質(zhì)量m = 5 kg的質(zhì)點在xoy平面上運動，作用在質(zhì)點上的力為 （力的單位為N ，時間的單位為s ），已知t = 0 時，質(zhì)點靜止于坐標原點處。試求：2秒末（1）該質(zhì)點的動量；（2）作用力F對原點的力矩；（3）該質(zhì)點對原點的角動量。解（1） 由得 兩邊積分得： 當時 ， （2）由得 兩邊積分得： 當時 ， （3）由質(zhì)點角動量定義得：162。 57 飛輪的質(zhì)量為60 kg， m，轉(zhuǎn)速為1 000 r/min， s內(nèi)使其制動，求制動力F，假定閘瓦與飛輪之間的摩擦因數(shù)= ，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。解 如圖所示。根據(jù)閘桿的力矩平衡，有 而，則閘瓦作用于輪的摩擦力矩為 （1）摩擦力矩是恒力矩，飛輪作勻角加速轉(zhuǎn)動，有 （2）飛輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量，根據(jù)轉(zhuǎn)動定理，由式（1）、（2）可得制動力 58 一燃氣輪機在試車時，103 ， kg?m2。103 r/min 104 r/min時，所經(jīng)歷的時間t為多少？解：在勻變速轉(zhuǎn)動中 （1）由轉(zhuǎn)動定理有： （2）由式（1）、（2）得 = s59 用落體觀察法測定飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，如圖所示使質(zhì)量為m的重物由靜止開始下落，帶動飛輪轉(zhuǎn)動。記錄重物下落的距離和時間，便可計算出飛輪的轉(zhuǎn)動慣量。試寫出它的計算式（軸承進摩擦忽略不計）。162。解 對滑輪，根據(jù)轉(zhuǎn)動定理，有 對重物，由牛頓定律，有 由于 重物勻加速下落，則有 由上述各式可解得 510 半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，求通過圓盤邊緣且與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解 根據(jù)平行軸定理和繞圓盤中心軸O的轉(zhuǎn)動慣量可得 162。162。511 試證明質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)球體，以直徑為軸的轉(zhuǎn)動關(guān)量為，如以和球體相切的線為軸，其轉(zhuǎn)動慣量又為多少？證 在垂直于轉(zhuǎn)軸方向取小圓盤為微元，微元盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量 式中，則 又由平行軸定理可得 512 質(zhì)量面密度為的勻質(zhì)矩形板，試證通過與板面垂直的幾何中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量為，其中a為矩形板的長，b為它的寬。證 取矩形板的幾何中心為坐標原點，在板上取一質(zhì)元，它對與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為 整個矩形板對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為 513 質(zhì)量為m，內(nèi)外半徑分別為R1和R2（R1 R2）的、長為L的勻質(zhì)圓筒。試求該圓筒對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：以為軸、r為半徑取厚度為的薄圓筒，其體積，質(zhì)量圓柱體的體密度為 514 如題圖所示的系統(tǒng)，滑輪C可視為半徑為R = m、質(zhì)量為mC = 15kg的勻質(zhì)圓盤，滑輪與繩子間無滑動，水平面光滑，若滑塊A的質(zhì)量為mA = 50 kg，重物B的質(zhì)量為mB=200kg。求重物B的加速度及繩中的張力。162。162。解： 對A，有 對B，有 對滑轉(zhuǎn)C，有 又因為 ， 可解得 ， ，515 如題圖所示，質(zhì)量為m1=16 kg 的實心圓柱體A，其半徑為r =15 cm可以繞其固定水平軸轉(zhuǎn)動，阻力忽略不計，一條輕繩繞在圓柱體上，其另一端系一個質(zhì)量為m2 = kg的物體B，求：（1） s后的距離；（2）繩的張力。162。T A解 （1）對實心圓柱體A, 對物體B ，有 又因為 ， 可解得物體下落的加速度 在t = s時，B 下落的距離為 （2）繩中的張力為 516 如題圖所示之裝置，定滑輪是半徑為R，質(zhì)量為2m勻質(zhì)圓盤，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量均為m的物體A、B。置于傾角為的光滑斜面上，若B向下作加速運動時，求：（1）其下落的加速度大?。唬?）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不及，繩與滑輪間無滑動，滑輪與軸承近光滑）。 AmgNT1BmgT2T1162。T2162。解 對A，沿斜面方向有 對B，有 對滑輪 且有 由于 解上述各方程可得 ， ，習(xí)題5－17圖mk517 如題圖所示，質(zhì)量可忽略不計的細繩，繞過半徑為30 cm， kg?m2的定滑輪，一端與勁度系數(shù)k = N?m－1的彈簧連接， kg的物體。 m時的速率是多大？（設(shè)開始時物體靜止且彈簧無伸長） 解 物體下落過程中，物體彈簧滑輪和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，設(shè)物體下落h時，速度為v，滑輪角速度為，設(shè)物體初始位置勢能為零。于是有習(xí)題5－18圖 Mm 1m2a考慮到 得 518 一不變的力矩作用在鉸車的鼓輪上使輪轉(zhuǎn)動，如題圖所示，勻質(zhì)圓柱形鼓輪的半徑為r，質(zhì)量為m1。繞在鼓輪上的輕繩系以質(zhì)量為m2的重物，使其沿傾角為的斜面上升。重物和斜面的滑動摩擦因數(shù)為。在開始時此系統(tǒng)靜止，試求鼓輪轉(zhuǎn)過角時的角速度。解 根據(jù)質(zhì)點系動能定理，在鼓輪轉(zhuǎn)過角的過程中，（設(shè)鼓輪轉(zhuǎn)過角時的角速度為）則有 習(xí)題5－19圖519 如題圖所示，半徑分別為rr2的兩個薄傘形輪，它們各自對通過盤心且垂直面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1和J2。開始時輪Ⅰ以角速度轉(zhuǎn)動，問與輪Ⅱ成正交嚙合后，兩輪的角速度分別為多大？解 設(shè)相互作用力為F ，在嚙合的短時間內(nèi)，根據(jù)角動量定理，對輪Ⅰ有 對輪Ⅱ有 兩輪嚙合后應(yīng)有相同的線速度，故有 由上述各式可解得 520 kg的小孩， m，轉(zhuǎn)動慣量為450 kg?m2的靜止水平轉(zhuǎn)臺邊緣上，轉(zhuǎn)臺與軸間的摩擦不計。 m?s1的速率沿轉(zhuǎn)臺邊緣行走，問轉(zhuǎn)臺的角速度有多大？解 人相對地面的角速度為 根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒定律，有 習(xí)題5－21圖qAPmv0rOw式中分別為轉(zhuǎn)臺、人對轉(zhuǎn)臺中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 。可得轉(zhuǎn)臺的角速度為 式中負號表示轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的方向與人對地面的轉(zhuǎn)動方向相反 。521 如題圖所示，有一根質(zhì)量很小的長度為L的勻質(zhì)細桿，可繞通過其中心點O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，當細桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率v0垂直落在距轉(zhuǎn)軸為1／4處，并背離點O向細桿的斷點爬行。設(shè)小蟲的質(zhì)量與細桿的質(zhì)量均為m。問欲使細桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動，小蟲向細桿端點A爬行的速率為多少？解 設(shè)細桿與小蟲一起轉(zhuǎn)動的角速度為，在碰撞前后，小蟲和細桿系統(tǒng)的角動量守恒，有 即 （1）因細桿對轉(zhuǎn)軸的重力矩始終為零，當小蟲爬到距轉(zhuǎn)軸為的點時，作用在小蟲和細桿系統(tǒng)的外力矩僅為小蟲對轉(zhuǎn)軸的重力矩，即 （2）由題意，角速度恒定，所以有 （3）式中J為小蟲爬到點p 時，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量，有 （4）即得 （5）將式（2）和式（4）代入式（5），得 考慮到，上式為 522 kg， m的均勻細棒，支點在棒的上端點，開始時棒自由懸掛，以100N的力打擊它的下端點。 s，（1）若打擊前棒是靜止的，求打擊時其角動量的變化；（2）求棒的最大偏轉(zhuǎn)角。解（1）由剛體的角動量定理得 （2）選O處為重力勢能零點，棒和地球系統(tǒng) 所以 523 如圖所示，A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器使之連接，A輪的轉(zhuǎn)動慣量J1= kg?m2，開始時B輪靜止，A輪以n1=600 r/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，然后使A與B連接，因而B輪得到加速