【正文】 由此得 習(xí)題7－6 圖（2）此波波長(zhǎng)為。按此波長(zhǎng)值和波峰在處，即可畫出波形曲線如圖7－6所示。7－7. 波源做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為，并以它經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。若此振動(dòng)以的速度沿直線傳播。求：（1）距波源為處的點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程和初相；（2）距波源為和處兩點(diǎn)的相位差為多少？ 解. 由題意，角頻率為，波速。初相，則波函數(shù)為 位于處，質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程為 該質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相為。 m兩點(diǎn)的相位差為如果波源光的初相取，則波函數(shù)為 此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程為 相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)P振動(dòng)的初相為，但波線上任意兩點(diǎn)間的相位差并不改變。7－8. 一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中傳播，波速，波線上右側(cè)距離波源 O(坐標(biāo)原點(diǎn))為處的點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)方程為。求：（1）波向x軸正方向傳播時(shí)的波動(dòng)方程；（2）波向x軸負(fù)方向傳播時(shí)的波動(dòng)方程。 解法1. （1）以波源為原點(diǎn)O，沿x軸正向傳播的波函數(shù)為 將代入，且取得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程為 與題中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程比較可得、。則所求波函數(shù)為（2）當(dāng)波沿x軸負(fù)向傳播時(shí)，波函數(shù)為 將、代入后，與題給點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程比較得、則所求波函數(shù)為 解法2.（1）如題圖（a）所示，取點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)波沿軸向右的正方向傳播時(shí)，由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程，可得出以（即點(diǎn)P）為原點(diǎn)的波函數(shù)為 習(xí)題7－8（a）圖將代入上式，可得點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)方程為由此可寫出以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的波函數(shù)為習(xí)題7－8（b）圖（2）當(dāng)波沿軸負(fù)向傳播時(shí)，如題圖（b）所示，仍先寫出以（即點(diǎn)P）為原點(diǎn)的波函數(shù)為 將代入上式，可得點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)方程為則以點(diǎn)O為原點(diǎn)的波函數(shù)為7－9. 頻率為50 Hz的簡(jiǎn)諧波，波速為。（1）沿波的傳播方向，相位差為的兩點(diǎn)間相距多遠(yuǎn)？（2）在某點(diǎn)，時(shí)間間隔為的兩個(gè)振動(dòng)狀態(tài)其相位差為多大？解（1）由和，可得（2） 習(xí)題7－10圖O－－ mP7－10. 如題圖所示為平面簡(jiǎn)諧波在時(shí)的波形圖，設(shè)此簡(jiǎn)諧波的頻率為250 Hz，且此時(shí)圖中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向向上。（1）寫出該波的波函數(shù)；（2）求在距坐標(biāo)原點(diǎn)為處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程與時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。解. （1）從題圖中得知，波的振幅，波長(zhǎng)，則波速 根據(jù)時(shí)點(diǎn)P向上運(yùn)動(dòng)，可知波沿Ox軸負(fù)方向傳播，并判定此時(shí)位于原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)將沿Oy軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)。利用旋轉(zhuǎn)矢量法可得其初相。故波函數(shù)為 （2）距原點(diǎn)O為處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 時(shí)該點(diǎn)的振動(dòng)速度為 v 7－11. 如題圖所示，波長(zhǎng)為的平面簡(jiǎn)諧波向x軸負(fù)方向傳播，圖示為處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線，求此波的波函數(shù)。 解 由圖可知質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅，時(shí)位于處的質(zhì)點(diǎn)在處并向Oy軸正向移動(dòng)。－11（a）可知，時(shí)，質(zhì)點(diǎn)第一次回到平衡位置，由圖711（b） 將波速及代入波函數(shù)的一般形式中，并與上述處的運(yùn)動(dòng)方程作比較，可得，則波函數(shù)為 (a)(b)習(xí)題7－11圖7－12. 一彈性波在介質(zhì)中傳播的速度，振幅，頻率。若該介質(zhì)的密度為，求：（1）該波的平均能流密度；（2）一分鐘內(nèi)垂直通過面積的總能量。 解 （1）（2）7－13. 如題圖所示，兩相干波源分別在P、Q兩點(diǎn)處，它們發(fā)出頻率為，波長(zhǎng)為，初相相同的兩列相干波。設(shè)，R為PQ連線上的一點(diǎn)。求：（1）自P、Q發(fā)出的兩列波在R處的相位差；（2）兩列波在R處干涉時(shí)的合振幅。習(xí)題7－13圖PQR.解（1）兩列波在R處的相位差為 （2）由于，則合振幅為7－14. 如題圖所示，地面上波源S與高頻率波探測(cè)器D相距為d，從波源S直接發(fā)出的波與從S發(fā)出經(jīng)高度為H的水平層反射后的波在D處加強(qiáng)，反射波線及入射波線與水平層所成的角度相同。當(dāng)水平層逐漸升高h(yuǎn)距離時(shí)，在D處測(cè)不到訊號(hào)。不考慮大氣的吸收。求波源S發(fā)出的波的波長(zhǎng)。習(xí)題7－14圖dHSDh習(xí)題7－15圖r2ABr1解 設(shè)從點(diǎn)S到高為H的反射點(diǎn)的距離為r，則因在點(diǎn)D處，反射波與直接發(fā)出的波振動(dòng)加強(qiáng)，波程差 在反射點(diǎn)升高h(yuǎn)時(shí)，D處測(cè)不到訊號(hào)，反射波與直接發(fā)出的波振動(dòng)相消，波程差 式中 ， 代入后，得所求波長(zhǎng)7－15. 題圖所示是干涉型消聲器結(jié)構(gòu)的原理圖，利用這一結(jié)構(gòu)可以消除噪聲。當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)的排氣噪聲聲波經(jīng)管道到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，被分成兩路而后在點(diǎn)B處相遇，聲波因干涉而相消。如果要消除頻率為300 Hz的發(fā)動(dòng)機(jī)排氣噪聲，題圖中彎曲管道與直管道的長(zhǎng)度差至少應(yīng)為多少？（設(shè)聲波波速為） 解 聲波從點(diǎn)A分開到點(diǎn)B相遇，兩列波的波程差，故它們的相位差為由相消靜止條件，(，，…)得 根據(jù)題中要求令的至少應(yīng)為 7－16. 一駐波波函數(shù)為，求：（1）形成此駐波的兩行波的振幅和速度各為多少？（2）相鄰兩波節(jié)間的距離多大？（3）時(shí)，處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度多大？ 解（1）與比較，可得；（2）由于，相鄰兩波節(jié)之間的距離為（3） v 7－17. 兩列波在同一細(xì)繩上傳播，它們的波函數(shù)分別為和。（1）證明該細(xì)繩是做駐波式振動(dòng)，并求波節(jié)和波腹的位置；（2）波腹處的振幅多大？在處，振幅多大？ 解（1）將已知兩波動(dòng)方程分別改寫為；可見它們的振幅，周期（頻率），上式與駐波方程具有相同形式，因此，這就是駐波的運(yùn)動(dòng)方程.由，得波節(jié)位置 (，，…)由，得波腹位置 (，，…)（2）駐波振幅，在波腹處；在處，振幅為 7－18. 公路上警察用雷達(dá)測(cè)速儀監(jiān)測(cè)來往車輛的速度，所用雷達(dá)波的頻率為。測(cè)速儀所發(fā)出的雷達(dá)波被一迎面開來的汽車反射回來，與入射波形成了頻率為的拍頻。問此汽車是否已超過了限定車速。 解 由可得v汽車超過了限定速度。7－19. 題圖中A、B處為兩汽笛，其頻率均為500 Hz 。汽笛A是靜止的，汽笛B以習(xí)題7－19圖ABOvOvsB60 的速度向右運(yùn)動(dòng)。在兩汽笛之間有一觀察者O，他以30 的速度也向右運(yùn)動(dòng)。已知空氣中的聲速為330 。求：（1）觀察者聽到來自汽笛A的頻率；（2）觀察者聽到來自汽笛B的頻率；（3）觀察者聽到的拍頻。 解已知，，；根據(jù) , 得(1) 由于觀察者遠(yuǎn)離波源A運(yùn)動(dòng)，v0應(yīng)取負(fù)號(hào)，故觀察者聽到來自波源A的頻率為 (2) 觀察者向著波源B運(yùn)動(dòng)，v0取正號(hào)；而波源B遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng)，也取正號(hào)，故觀察者聽到來自波源B的頻率為 (3) 拍頻 7－20. 遠(yuǎn)方一星系發(fā)來的光的波長(zhǎng)經(jīng)測(cè)量比地球上同類原子發(fā)出的光的波長(zhǎng)增大到倍。求該星系離開地球的退行速度。解 由于，則 即 ， 所以 第8章 氣體動(dòng)理論 81 如果將kg的水分子均勻地分布在地球表面上，則單位面積上將約有多少個(gè)水分子? 解 單位面積上的水分子數(shù)為 82 設(shè)想太陽是由氫原子組成的理想氣體，其密度可當(dāng)作是均勻的．若此理想氣體的壓強(qiáng)為Pa，試估計(jì)太陽的溫度．(已知?dú)湓拥馁|(zhì)量kg，太陽半徑m，太陽質(zhì)量，kg．)解 氫原子的數(shù)密度 由 ， 太陽溫度為 83 一容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)為，℃，求：(1)氣體分子的數(shù)密度；(2)氧氣的密度；(3)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；(4)分子間的平均距離．(設(shè)分子間均勻等距排列．)解 （1）單位體積的分子數(shù) （2）氧氣的密度 （3）氧氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 （4）氧氣分子的平均距離 84 kg氫氣裝在的容器內(nèi)，當(dāng)容器內(nèi)的壓強(qiáng)為Pa時(shí)，氫氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為多大? 解 氫氣的溫度 氫氣分子平均平動(dòng)動(dòng)能 85一體積為的容器中，含有的氦氣和的氫氣，它們的溫度為30℃，試求容器中混合氣體的壓強(qiáng)。 解 由道爾頓分壓定律 86一封閉的圓筒，內(nèi)部被導(dǎo)熱的、不漏氣的可移動(dòng)活塞隔為兩部分。最初活塞位于筒中央，則圓筒兩側(cè)的長(zhǎng)度，當(dāng)兩側(cè)各充以與的相同氣體后，問平衡時(shí)活塞將在什么位置上（即是多少）？（已知，）。 解 由題意及理想氣體方程 則 左側(cè)氣室 右側(cè)氣室 則有 87 計(jì)算在300 K溫度下，氫、氧和水銀蒸氣分子的方均根速率和平均平動(dòng)動(dòng)能。 解 88 溫度為O℃和100℃時(shí)理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能各為多少?欲使分子的平均平動(dòng)動(dòng)能等于1 eV，氣體的溫度需多高? 解 分子0℃和100℃施平均平動(dòng)動(dòng)能分別為 由 ， 所以 89 某些恒星的溫度可達(dá)到約K，這也是發(fā)生聚變反應(yīng)(也稱熱核反應(yīng))所需的溫度．在此溫度下，恒星可視為由質(zhì)子組成，問：(1)質(zhì)子的平均動(dòng)能是多少?(2)質(zhì)子的方均根速率為多大?解（1） （2） ℃時(shí)氫氣分子和氧氣分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。 解 氫氣 ， 氧氣 ， 811 圖中I、Ⅱ兩條曲線是兩種不同氣體(氫氣和氧氣)在同一溫度下的麥克斯韋分子速率分布曲線。試由圖中數(shù)據(jù)求:(1)氫氣分子和氧氣分子的最概然速率；(2)兩種氣體所處的溫度. 習(xí)題8－11圖 f (v)v()O2000ⅡⅠ解 （1）由知，曲線Ⅱ所標(biāo) 為氫氣分子的最概然速率由 ，則氧氣分子的最概然速率 （2）由 ，則 812 體積為的容器中含有個(gè)氫氣分子，如果其中壓強(qiáng)為。求該氫氣的溫度和分子的方均根速率． 解： 由p=nkT 則 813 在容積為的容器中，有內(nèi)能為J的剛性雙原子分子理想氣體．(1)求氣體的壓強(qiáng)；(2)若容器中分子總數(shù)為個(gè)，求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體的溫度．解 （1）由 則 （2）分子數(shù)密度 n=N/V 則氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 814 在的容器中裝有氣體，容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為，求氣體分子的最概然速率．解 由 則最概然速率 815 聲波在理想氣體中傳播的速率正比于氣體分子的方均根速率．問聲波通過氧氣的速率與通過氫氣的速率之比為多少?設(shè)這兩種氣體都為理想氣體并具有相同的溫度．解 由題意 而 則 816 在萬有引力一章中，曾介紹過質(zhì)點(diǎn)離開地球引力作用所需的逃逸速率為，其中r為地球半徑．(1)若使氫氣分子和氧氣分子的平均速率分別與逃逸速率相等，它們各自應(yīng)有多高的溫度；(2)說明大氣層中為什么氫氣比氧氣要少．(取).解 （1）由題意逃逸速率 ， 分子熱運(yùn)動(dòng)平均速率 Nf(v)aO習(xí)題8－17圖v2v0v0當(dāng) 時(shí) ， 則 ， 817 有N個(gè)質(zhì)量均為m的同種氣體分子，它們的速率分布如圖所示．(1)說明曲線與橫坐標(biāo)所包圍面積的含義；(2)由N和求a值；(3)求在速率到間隔內(nèi)的分子數(shù)；(4)求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能．解 ：（1）由歸一化條件知曲線下面積表分子總數(shù)（2）由， 得 （3）速率在到間隔內(nèi)的分子數(shù)為 （4） 由 ， 故分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為 818 試用麥克斯韋分子速率分布定律導(dǎo)出方均根速率和最概然速率． 解 （1）令 ，則有 （2）令，即 得 819 設(shè)N個(gè)粒子系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為 （V v 0, k為常量） (v V )(1) 畫出分布函數(shù)圖；（2）用N和V定出常數(shù)K；（3）用V表示出平均速率和方均根速率。 解 ：（2）由 , 則 （3） 820 一飛機(jī)在地面時(shí)機(jī)艙中的壓力計(jì)指示為,到高空后壓強(qiáng)降為 ．設(shè)大氣的溫度均為27．0℃．問此時(shí)飛機(jī)距地面的高度為多少?(設(shè)空氣的摩爾質(zhì)量為 )解 由, 則有 821 在壓強(qiáng)為下，氮?dú)夥肿拥钠骄杂沙虨椋?dāng)溫度不變時(shí)，在多大壓強(qiáng)下，．解 由 及 p=nkT 822 目前實(shí)驗(yàn)室獲得的極限真空約為，這與距地球表面km處的壓強(qiáng)大致相等．試求在27℃時(shí)單位體積中的分子數(shù)及分子的平均自由程．(設(shè)氣體分子的有效直徑(cm．)解 由p=nkT 823 容器內(nèi)儲(chǔ)有1 mol的某種氣體，今從外界輸入的熱量，測(cè)得溫度升高10K，求該氣體分子的自由度。解 由 1mol氣體，外界輸入的熱量 即 i =5824 若氖氣分子有有效直徑為，問在溫度為600K，壓強(qiáng)為時(shí)氖分子1s內(nèi)的平均碰撞次數(shù)為多少？ 解 825 如果理想氣體的溫度保持不變，當(dāng)壓強(qiáng)降為原值的一半時(shí)，分子的碰撞頻率和平均自由程如何變化? 解 由 則 則 826 對(duì)于氣體有范德瓦斯常,當(dāng)0℃時(shí)其摩爾體積為,試求其壓強(qiáng)．如果將其當(dāng)作理想氣體