量子力學思考題及解答(編輯修改稿)
2025-04-22 04:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 時波動方程的解都是定態(tài)解。由此可以看出，由于定態(tài)是能量的本征態(tài)，本征值方程中明顯出現(xiàn)，體系中不同能量的本征態(tài)的線性疊加不可能再是原本征方程的解，而這種疊加態(tài)正是實際存在的最一般的可能態(tài)。1什么是束縛態(tài)？它有何特征？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？舉例說明。解答：當粒子被勢場約束在特定的區(qū)域內(nèi)運動，即在無限遠處波函數(shù)等于零的態(tài)叫束縛態(tài)。 束縛態(tài)的能級是分立的。例如，一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化的能級。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)，例如限制在一維盒子中的粒子，最一般的可能態(tài)是一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包，這種疊加態(tài)是沒有確定能量的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，但定態(tài)也可能有非束縛態(tài)，例如在散射中，粒子并不局限于有限區(qū)域，但粒子處于能量本征態(tài)，這時粒子處于非束縛態(tài)，或者說粒子處于散射定態(tài)（簡稱為散射態(tài)）。1不確定關系如何體現(xiàn)微觀粒子的普遍本質(zhì)——波粒二象性？解答：對于微觀粒子使用“波粒二象性”的術語，這本身既反映了經(jīng)典物理概念的局限性，又反映了我們語言的局限性。我們可以認為，物質(zhì)兼具粒子性和波動性，但確切地說，它們既不是經(jīng)典波，也不是經(jīng)典粒子，經(jīng)典物理中粒子和波的概念只有經(jīng)過修正才能被量子理論借用，不確定性關系就反映了這種修正，它給出了這兩個概念能夠被有效借用的限度，如給出了用粒子圖像描述物質(zhì)的局限性。1如何用矩陣表示量子態(tài)與力學量，并說明理由。解答: 矩陣表示一般用于本征值為分立譜的表象（相應希爾伯特空間的維數(shù)是可數(shù)的）。具體說，如果力學量的本征函數(shù)為，相應本征值為。任意態(tài)矢可展開為態(tài)矢在表象的表示為展開系數(shù)組成的一列矩陣 其意義是：在態(tài)中，力學量取值的幾率為，與坐標表象波函數(shù)的意義相類似。力學量用厄密矩陣表示 可見列矩陣與方陣維數(shù)與希爾伯特空間維數(shù)相同。 用矩陣表示力學量，理由如下： （1）可以反映力學量作用一個量子態(tài)而得到另一個量子態(tài)的事實。設，則 簡記為； （2）矩陣乘法一般不滿足交換律，這恰好能滿足兩個力學量一般不對易的要求； （3）厄密矩陣的性質(zhì)能體現(xiàn)力學量算符的厄密性。1算符（力學量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?解答：力學量本征值是分立譜時，它在其自身表象中的表示是對角化的，對角元素就是它的本征值 本征矢為單一元素列矩陣 ………1設，分別在坐標和動量表象中寫出的矩陣元。解答：（1）坐標表象基矢為 （2）動量表象基矢為 1試將坐標表象與動量表象加以比較，再由坐標表象的定態(tài)薛定諤方程直接寫出其在動量表象的表達式。解答：坐標表象與動量表象是一對共軛表象，表示形式十分類似 表象 表象 ： ： 本征態(tài)： 本征態(tài)： 一般波函數(shù)在表象的表示與在表象的表示之間的關系為 可見，只要令有關表達式中，便可由一個表象轉(zhuǎn)到另一
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