量子力學(xué)思考題及解答(編輯修改稿)
2025-04-22 04:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 時(shí)波動(dòng)方程的解都是定態(tài)解。由此可以看出，由于定態(tài)是能量的本征態(tài)，本征值方程中明顯出現(xiàn)，體系中不同能量的本征態(tài)的線性疊加不可能再是原本征方程的解，而這種疊加態(tài)正是實(shí)際存在的最一般的可能態(tài)。1什么是束縛態(tài)？它有何特征？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？舉例說(shuō)明。解答：當(dāng)粒子被勢(shì)場(chǎng)約束在特定的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即在無(wú)限遠(yuǎn)處波函數(shù)等于零的態(tài)叫束縛態(tài)。 束縛態(tài)的能級(jí)是分立的。例如，一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化的能級(jí)。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)，例如限制在一維盒子中的粒子，最一般的可能態(tài)是一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包，這種疊加態(tài)是沒(méi)有確定能量的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，但定態(tài)也可能有非束縛態(tài)，例如在散射中，粒子并不局限于有限區(qū)域，但粒子處于能量本征態(tài)，這時(shí)粒子處于非束縛態(tài)，或者說(shuō)粒子處于散射定態(tài)（簡(jiǎn)稱為散射態(tài)）。1不確定關(guān)系如何體現(xiàn)微觀粒子的普遍本質(zhì)——波粒二象性？解答：對(duì)于微觀粒子使用“波粒二象性”的術(shù)語(yǔ)，這本身既反映了經(jīng)典物理概念的局限性，又反映了我們語(yǔ)言的局限性。我們可以認(rèn)為，物質(zhì)兼具粒子性和波動(dòng)性，但確切地說(shuō)，它們既不是經(jīng)典波，也不是經(jīng)典粒子，經(jīng)典物理中粒子和波的概念只有經(jīng)過(guò)修正才能被量子理論借用，不確定性關(guān)系就反映了這種修正，它給出了這兩個(gè)概念能夠被有效借用的限度，如給出了用粒子圖像描述物質(zhì)的局限性。1如何用矩陣表示量子態(tài)與力學(xué)量，并說(shuō)明理由。解答: 矩陣表示一般用于本征值為分立譜的表象（相應(yīng)希爾伯特空間的維數(shù)是可數(shù)的）。具體說(shuō)，如果力學(xué)量的本征函數(shù)為，相應(yīng)本征值為。任意態(tài)矢可展開(kāi)為態(tài)矢在表象的表示為展開(kāi)系數(shù)組成的一列矩陣 其意義是：在態(tài)中，力學(xué)量取值的幾率為，與坐標(biāo)表象波函數(shù)的意義相類似。力學(xué)量用厄密矩陣表示 可見(jiàn)列矩陣與方陣維數(shù)與希爾伯特空間維數(shù)相同。 用矩陣表示力學(xué)量，理由如下： （1）可以反映力學(xué)量作用一個(gè)量子態(tài)而得到另一個(gè)量子態(tài)的事實(shí)。設(shè)，則 簡(jiǎn)記為； （2）矩陣乘法一般不滿足交換律，這恰好能滿足兩個(gè)力學(xué)量一般不對(duì)易的要求； （3）厄密矩陣的性質(zhì)能體現(xiàn)力學(xué)量算符的厄密性。1算符（力學(xué)量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?解答：力學(xué)量本征值是分立譜時(shí)，它在其自身表象中的表示是對(duì)角化的，對(duì)角元素就是它的本征值 本征矢為單一元素列矩陣 ………1設(shè)，分別在坐標(biāo)和動(dòng)量表象中寫出的矩陣元。解答：（1）坐標(biāo)表象基矢為 （2）動(dòng)量表象基矢為 1試將坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象加以比較，再由坐標(biāo)表象的定態(tài)薛定諤方程直接寫出其在動(dòng)量表象的表達(dá)式。解答：坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象是一對(duì)共軛表象，表示形式十分類似 表象 表象 ： ： 本征態(tài)： 本征態(tài)： 一般波函數(shù)在表象的表示與在表象的表示之間的關(guān)系為 可見(jiàn)，只要令有關(guān)表達(dá)式中，便可由一個(gè)表象轉(zhuǎn)到另一
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