軸對稱圖形典型例題(編輯修改稿)
2025-04-22 04:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∠EAF＋∠BAC＝180176。，∴ ∠B＋∠BFK＝90176。，即∠FKB＝90176。，∴ EF⊥BC．注 本題考察等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線，建立EF與BC的聯(lián)系，仔細(xì)體會以上各種不同的添加輔助線的方法．例7 如下圖，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一點．求證：∠ABP＝∠ACP．證明：連結(jié)BC，∵ AB＝AC（已知），∴ ∠ABC＝∠ACB（等邊對等角），又∵ 點A、D在線段BC的垂直平分線上（與線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上），而兩點確定一條直線，∴ AD就是線段BC的垂直平分線，∴ PB＝PC（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等），∴ ∠PBC＝∠PCB（等邊對等角），（線段垂直平分線的性質(zhì)）∴ ∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB（等式性質(zhì)），即∠ABP＝∠ACP．注 本題若用三角形全等，至少需要證兩次，現(xiàn)用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，就顯得比較簡潔．例8 如下圖，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E，若△ABC的周長為28，BC＝8，求△BCE的周長．解：∵ 等腰△ABC的周長＝28，BC＝8，∴ 2AC＋BC＝28，∴ AC＝10，?。ɡ碛墒鞘裁?？）∵ DE垂直平分AB，∴ AE＝BE，∴ △BCE的周長＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18．注 本題考察線段垂直平分線的性質(zhì)定理的運用，關(guān)鍵是運用線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系．例9 已知，如下圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120176。，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E，求證：．證法一：連結(jié)AF，則AF＝BF，∴ ∠B＝∠FAB（等邊對等角），∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C（等邊對等角），∵ ∠BAC＝120176。，∴ ∠B＝∠C＝（三角形內(nèi)角和定理），∴ ∠FAB＝30176。，∴ ∠FAC＝∠BAC－∠FAB＝120176。－30176。＝90176。，又∵ ∠C＝30176。，（線段的垂直平分線是常見的對稱軸之一）∴ （直角三角形中30176。角所對的直角邊等于斜邊的一半），∴?。C法二：連結(jié)AF，過A作AG∥EF交FC于G，∵ EF為AB的垂直平分線，∴ AF＝BF，又∵ ∠B＝30176。，∴ ∠AFG＝60176。， ∠BAG＝90176。，∴ ∠AGB＝60176。，△AFG為等邊三角形，又∵ ∠C＝30176。，∴ ∠GAC＝30176。，∴ AG＝GC，（構(gòu)造等邊三角形是證明線段相等的一種好方法）∴ BF＝FG＝GC＝．例10 已知，如下圖，AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB＝75176。，∠DMC＝45176。，AM＝MD．求證：AB＝BC．思路分析從結(jié)論分析，要證AB＝BC，可連結(jié)AC，使BC與AB能落在一個三角形內(nèi)，再看∠BAC與∠BCA能否相等？證明：連結(jié)AC，交DM于H，∵ ∠AMB＝75176。，∠DMC＝45176。（已知），∴∠AMD＝60176。（平角定義）又∵ AM＝MD，∴ △AMD為等邊三角形（有一個角是60176。的等腰三角形是等邊三角形），∴ AM＝AD（等邊三角形三邊相等），∵ CD⊥BC，∴ ∠DCM＝90
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