【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 【分析】在AD上截取AF=AB，連接EF，根據(jù)SAS證△BAE≌△FAE，推出∠B=∠EFA，求出∠C=∠EFD，證△CDE≌△FDE，推出DC=DF，即可得出答案．【解答】答：AD=AB+DC，證明：在AD上截取AF=AB，連接EF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵在△BAE和△FAE中∴△BAE≌△FAE（SAS），∴∠B=∠EFA，∵AB∥DC，∴∠B+∠C=180176。，∵∠EFD+∠EFA=180176。，∴∠C=∠EFD，∵DE平分∠CDA，∴∠CDE=∠FDE，∵在△CDE和△FDE中∴△CDE≌△FDE（AAS），∴DC=DF，∴AD=AF+DF=AB+DC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確作輔助線．　14．如圖，已知△ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，G是BC上一點(diǎn)，△DGH是等邊三角形．求證：EG=FH．【分析】連接DE、DF，根據(jù)三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，可證明△DEG≌△DFH，即可得結(jié)論．【解答】證明：連接DE、DF，（如圖）∵D、E、F是各邊中點(diǎn)，∴DE平行且等于AC，DF平行且等于BC，∵AB=BC=CA，∴∠A=∠B=∠C=60176。，∴DE=DF，∠EDF=∠DFA=∠C=60176。∵已知等邊△DHG，∴DG=DH，∠HDG=60176。=∠EDF，∴∠EDF﹣∠FDG=∠HDG﹣∠FDG，即∠1=∠2，∴△DEG≌△DFH（SAS），∴FH=EG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，涉及到三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等判定方法是解題的關(guān)鍵．　15．已知如圖，CD是RT△ABC斜邊上的高，∠A的平分線交CD于H，交∠BCD的平分線于G，求證：HF∥BC．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)作輔助線連接FE，進(jìn)而證得HCEF是菱形從而證得．【解答】證明：連接FE，∵CD是Rt△ABC斜邊上的高，∴∠A=∠DCB，又∵AE平分∠A，CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠DAE，又∵∠AHD=∠CHE，∠ADH=90度，∴∠CGE=90度，在三角形ACF中，AE是高，中線，角平分線，∴CF⊥HE，CG=FG，∴CH=FH，CE=EF，∴CF是△CHE的高，中線，角平分線，∴CH=CE，∴CH=HF=EF=CE，∴四邊形HCEF是菱形，∴HF∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)以及其應(yīng)用，問題有一定難度．　16．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90176。．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作CD的垂線交AB于點(diǎn)P，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．點(diǎn)F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120176。，求證：AM=2MB；（2）試猜想∠MPB與∠FCM數(shù)量關(guān)系并證明．【分析】（1）連接MD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得MD=MC，然后利用“邊邊邊”證M明△MFC與△MAD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MAD=∠MFC，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BAD，然后求出∠BAM=30176。，然后根據(jù)直角三角形30176。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半證明；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等和軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠BMP=∠FMD=∠DMA，然后用∠BMP表示出∠FCM，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解．【解答】（1）證明：連接MD，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，ME⊥D，∴MD=MC，在△MFC與△MAD中，∴△MFC≌△MAD（SSS），∴∠MAD=∠MFC=120176。，∵AD∥BC，∠ABC=90176。，∴∠BAD=180176。﹣∠ABC=180176。﹣90176。=90176。，∴∠BAM=∠MAD﹣∠BAD=120176。﹣90176。=30176。，∵∠ABM=90176。，∴AM=2MB；（2）解：2∠MPB+∠FCM=180176。．理由如下：由（1）可知∠BMP=∠FMD=∠DMA，∵∠FCM=∠ADM=∠DMC=2∠BMP，∴∠BMP=∠FCM，∵∠ABC=90176。，∴∠MPB+∠BMP=90176。，∴∠MPB+∠FCM=90176。，∴2∠MPB+∠FCM=180176。．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．　17．如圖，在△ABC中AC＞BC，E、D分別是AC、BC上的點(diǎn)，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求證：∠BAD=∠C．【分析】作∠OBF=∠OAE交AD于F，由已知條件用“ASA”可判定△AOE≌△BOF，所以AE=BF，再有條件AE=BD得BF=BD，所以∠BDF=∠BFD，再利用三角形的外角關(guān)系證得∠BOF=∠C，又因?yàn)椤螧OF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，所以：∠BAD=∠C．【解答】證明：作∠OBF=∠OAE交AD于F，∵∠BAD=∠ABE，∴OA=OB．又∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA）．∴AE=BF．∵AE=BD，∴BF=BD．∴∠BDF=∠BFD．∵∠BDF=∠C+∠OAE，∠BFD=∠BOF+∠OBF，∴∠BOF=∠C．∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，∴∠BAD=∠C，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，常用的判斷方法為：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性質(zhì)是：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．在證明中還要注意圖形中隱藏條件的挖掘如：本題中的對(duì)頂角∠AOE=∠BOF．　18．已知A，C，B在同一條直線上，△ACE，△BCF都是等邊三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MG⊥CN，垂足為G．求證：CG=NG．【分析】先證△ACF與△ECB全等，得到∠AFC=∠ABE，再證△FMC≌△BNC得到MC=MN，有條件MG垂直于NC而得到結(jié)論．【解答】證明：∵△ACE，△BCF都是等邊三角形，∴AC=EC，F(xiàn)C=BC，∠ACE=∠BCF=60176。，∴∠ECN=60176。，∠BCE=∠ACF，∴△ACF≌△ECB，∴∠AFC=∠ABE，∵∠FCM=∠BCN=60176。，CF=CB，∴△FMC≌△BNC，∴CM=CN，∵∠ECN=60176。，∴△CNMN是等邊三角形，∴CM=MN，∵M(jìn)G⊥NC，∴GC=GN．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，通過兩次全等得到MC=MN，通過MG垂直于NC得到結(jié)論．　19．如圖所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD為BC邊上的高，延長(zhǎng)AB到E點(diǎn)，使BE=BD，過點(diǎn)D、E引直線交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)判定AF與FC的數(shù)量關(guān)系，并證明之．【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠E=∠BDE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠ABC=2∠BDE，從而求出∠C=∠BDE，再求出∠C=∠CDF，然后根據(jù)等角對(duì)等邊求出DF=FC，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CAD=∠ADF，根據(jù)等角對(duì)等邊求出DF=AF，即可得到AF=FC．【解答】解：AF=FC．理由如下：∵BE=BD，∴∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠BDE，∠ABC=2∠C，∴∠C=∠BDE，又∵∠BDE=∠CDF，∴∠C=∠CDF，∴DF=FC，∵AD為BC邊上的高，∴∠CDF+∠ADF=∠ADC=90176。，∠C+∠CAD=180176。﹣90176。=90176。，∴∠CAD=∠ADF，∴DF=AF，∴AF=FC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與判定并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．　20．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為l的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120176。的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60176。角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形成一個(gè)三角形，求證：△AMN的周長(zhǎng)等于2．【分析】可在AC延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDM1，得出邊角關(guān)系，再求解△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，再通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【解答】證明：如圖，在AC延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，∵△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120176。的等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60176。，∠DBC=∠DCB=30176。，∴∠ABD=∠ACD=90176。，∴∠DCM1=90176。，∵BD=CD，∵在△BDM和△CDM1中，∴△BDM≌△CDM1（SAS），得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC，∴∠MDM1=120176。﹣∠MDB+∠M1DC=120176。，∴∠NDM1=60176。，在△MDN和△M1DN中，∵，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN=NM1，故△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠通過線段之間的轉(zhuǎn)化進(jìn)而求解一些簡(jiǎn)單的結(jié)論．　21．已知如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE=（AB+AD），求證：∠B與∠D互補(bǔ)．【分析】可在AB上截取AF=AD，可得△ACF≌△ACD，得出∠AFC=∠D，再由線段之間的關(guān)系A(chǔ)E=（AB+AD）得出BC=CF，進(jìn)而通過角之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【解答】證明：在AB上截取AF=AD，連接CF，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，又AC=AC，∴△ACF≌△ACD（SAS），∴AF=AD，∠AFC=∠D，∵AE=（AB+AD），∴EF=BE，又∵CE⊥AB，∴BC=FC，∴∠CFB=∠B，∴∠B+D=∠CFB+∠AFC=180176。，即∠B與∠D互補(bǔ)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練運(yùn)用三角形的性質(zhì)求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明問題．　22．如圖，已知△ABC中，∠A=90176。，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求證：BD=2CE．【分析】延長(zhǎng)CE、BA交于F，根據(jù)角邊角定理，證明△BEF≌△BEC，進(jìn)而得到CF=2CE的關(guān)系．再證明∠ACF=∠1，根據(jù)角邊角定理證明△ACF≌△ABD，得到BD=CF，至此問題得解．【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)CE、BA交于F．∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90176。，∴∠1=∠2，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EF=EC，∴CF=2CE，∵∠BAC=90176。，∴∠FAC=90176。=∠BAC∵CE⊥BD，∴∠ACF=∠1，在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)．解決本題主要是恰當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，將所求問題轉(zhuǎn)化為全等三角形內(nèi)邊間的關(guān)系來解決．　23．AD是△ABC的角平分線，M是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)M∥AD交AB的延長(zhǎng)線于F，交AC于E．（1）求證：CE=BF；（2）探索線段CE與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）延長(zhǎng)CA交FM的平行線BG于G點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)得到BM=CM、CE=GE，從而證得CE=BF；（2）利用上題證得的EA=FA、CE=BF，進(jìn)一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)CA交FM的平行線BG于G點(diǎn)，∠G=∠CAD、∠GBA=∠BAD∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴AG=AB，∵FM∥AD∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC∵∠BAD=∠DAC，∴∠F=∠FEA，∴EA=FA，∴GE=BF，∴M為BC邊的中點(diǎn)，∴BM=CM，∵EM∥GB，∴CE=GE，∴CE=BF；（2）AB+AC=2EC．證明：∵EA=FA、CE=BF，∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是正確地構(gòu)造輔助線，另外題目中還考查了平行線等分線段定理．　24．如圖，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90176。．判斷線段AD與EF數(shù)量和位置關(guān)系．【分析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD．證明：延長(zhǎng)AD到M，使得AD=DM，連接MC，延長(zhǎng)DA交EF于N，易證BD=CD，即可證明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可證明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解題．【解答】解：EF=2AD，EF⊥AD．證明：延長(zhǎng)AD到M，使得AD=DM，連接MC，延長(zhǎng)DA交EF于N，∴AD=DM，AM=2AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△MCD中，∴△ABD≌△MCD，（SAS）∴AB=MC，∠BAD=∠M，∵AB=AE，∴AE=MC，∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90176。，∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360176。，∴∠BAC+∠EAF=180176。，∵∠CAD+∠M+∠MCA=180176。，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180176。，即∠BAC+∠MCA=180176。，∴∠EAF=∠MCA．在△AEF和△CMA中，∴△AEF≌△CMA，∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；∵∠CAF=90176。，∴∠CAM+∠FAN=90176。，∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90176。，∴∠ANF=90176。，∴EF⊥