積分在計算物體體積和質量等問題中的應用(編輯修改稿)
2025-04-21 06:40 本頁面
【文章內容簡介】 單得多。由此可見，在利用截面面積求體積的問題中，選擇合適的截面是十分重要的。 【例2】 一平面經過半徑為的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,計算這個平面截圓柱體所得契形體的體積. 解 取該平面與底面圓的交線為軸建立直角坐標系,則底面圓的方程為,半圓的方程即為. 在軸的變化區(qū)間內任取一點,過作垂直于軸的截面,截得一直角三角形,其底長為,高度為,故其面積于是體積旋轉體的體積旋轉體是一種特殊的空間立體，它是一條平面圖形饒平面一直線l旋轉一周所得，特別地，直線為x軸，一般地，設旋轉體由曲線y=f(x),x=a,x=b,以及x軸所圍的曲邊梯形饒x軸旋轉一周所得的一個立體，用垂直于x軸的平面去截立體得到截面面積為A(x)=,則旋轉體的體積為：例1例過點作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉體體積解：設切點為切線方程Q 切點在切線上，（3,1）0 1 2 3∴ ， ∴切線方程：類型1:求由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成立體的體積. 過任意一點作垂直于軸的平面,截面是半徑為的圓,其面積為,于是所求旋轉體的體積 【例3】 求由及所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周而成立體的體積. 解 積分變量軸的變化區(qū)間為,此處,則體積 【例4】 連接坐標原點及點的直線,直線及軸圍成一個直角三角形,求將它繞軸旋轉一周而成的圓錐體的體積. 解 積分變量的變化區(qū)間為,此處為直線的方程,于是體積 類型2:求由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成的立體的體積. 過任意一點,作垂直于軸的平面,截面是半徑為的圓,其面積為,于是所求旋轉體的體積 【例5】 求由及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成的立體的體積. 解 積分變量的變化區(qū)間為, 【例6】求橢圓分別繞軸、軸旋轉而成橢球體的體積. 解 若橢圓繞軸旋轉,積分變量的變化區(qū)間為,此處,于是體積若橢圓繞軸旋轉,積分變量的變化區(qū)間為,此處,于是體積利用定積分的元素法可以解決許多求總量的問題，將這種思想方法推廣到重積分的情形，也可以計算一些幾何、物理以及其它的量值。三、重積分在幾何中的應用利用定積分的元素法可以解決許多求總量的問題，將這種思想方法推廣到重積分的情形，也可以計算一些幾何、物理以及其它的量值?？臻g立體的體積 由二重積分的幾何解釋可知，利用二重積分可以計算空間立體的體積V： 若空間立體為一曲頂柱體，設曲頂曲面的方程為，且曲頂柱體的底在平面上的投影為有界閉區(qū)域D，則 ()若空間立體為一上、下頂均是曲面的立體(圖41)，如何計算這個立體的體積V ？ 設立體上、下曲
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