積分在計算物體體積和質(zhì)量等問題中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-04-21 06:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 單得多。由此可見，在利用截面面積求體積的問題中，選擇合適的截面是十分重要的。 【例2】 一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,計算這個平面截圓柱體所得契形體的體積. 解 取該平面與底面圓的交線為軸建立直角坐標系,則底面圓的方程為,半圓的方程即為. 在軸的變化區(qū)間內(nèi)任取一點,過作垂直于軸的截面,截得一直角三角形,其底長為,高度為,故其面積于是體積旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是一種特殊的空間立體，它是一條平面圖形饒平面一直線l旋轉(zhuǎn)一周所得，特別地，直線為x軸，一般地，設(shè)旋轉(zhuǎn)體由曲線y=f(x),x=a,x=b,以及x軸所圍的曲邊梯形饒x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的一個立體，用垂直于x軸的平面去截立體得到截面面積為A(x)=,則旋轉(zhuǎn)體的體積為：例1例過點作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積解：設(shè)切點為切線方程Q 切點在切線上，（3,1）0 1 2 3∴ ， ∴切線方程：類型1:求由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體的體積. 過任意一點作垂直于軸的平面,截面是半徑為的圓,其面積為,于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積 【例3】 求由及所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體的體積. 解 積分變量軸的變化區(qū)間為,此處,則體積 【例4】 連接坐標原點及點的直線,直線及軸圍成一個直角三角形,求將它繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐體的體積. 解 積分變量的變化區(qū)間為,此處為直線的方程,于是體積 類型2:求由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積. 過任意一點,作垂直于軸的平面,截面是半徑為的圓,其面積為,于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積 【例5】 求由及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積. 解 積分變量的變化區(qū)間為, 【例6】求橢圓分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成橢球體的體積. 解 若橢圓繞軸旋轉(zhuǎn),積分變量的變化區(qū)間為,此處,于是體積若橢圓繞軸旋轉(zhuǎn),積分變量的變化區(qū)間為,此處,于是體積利用定積分的元素法可以解決許多求總量的問題，將這種思想方法推廣到重積分的情形，也可以計算一些幾何、物理以及其它的量值。三、重積分在幾何中的應(yīng)用利用定積分的元素法可以解決許多求總量的問題，將這種思想方法推廣到重積分的情形，也可以計算一些幾何、物理以及其它的量值?？臻g立體的體積 由二重積分的幾何解釋可知，利用二重積分可以計算空間立體的體積V： 若空間立體為一曲頂柱體，設(shè)曲頂曲面的方程為，且曲頂柱體的底在平面上的投影為有界閉區(qū)域D，則 ()若空間立體為一上、下頂均是曲面的立體(圖41)，如何計算這個立體的體積V ？ 設(shè)立體上、下曲
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